Logística/Gestão de existências/Encomendas únicas/Procura variável, tempo de aprovisionamento conhecido

De acordo com Tersine (1988, p.304-305) , quando e procura é variável e o tempo de aprovisionamento é conhecido, o problema de existências relacionado com as encomendas únicas consiste na definição do tamanho da encomenda. Se a procura não é conhecida, mas se disponibiliza de uma distribuição da probabilidade da procura, o problema pode ser resolvido com uma tomada de decisão sob risco. É seleccionado o tamanho da encomenda com maior lucro ou com o menor custo esperados.

O procedimento, para a tomada de decisão sob risco, é determinar a estratégia da procura que conduza a um valor óptimo esperado. A probabilidade da procura ser menor ou igual à quantidade única de encomenda, para uma distribuição discreta, é a seguinte:

${P(M\leq Q)}=\sum _{M=0}^{Q}P(M)=1-\sum _{M=Q+1}^{M_{max}}P(M)$,

onde

Q = quantidade da encomenda única, em unidades,

M = procura em unidades (uma variável aleatória),

P(M) = probabilidade de uma procura de M unidades,

$M_{max}$ = procura máxima, em unidades.

A probabilidade da procura exceder a quantidade de encomenda única, é:

${P(M>Q)}=\sum _{M=Q+1}^{M_{max}}P(M)=1-\sum _{M=0}^{Q}P(M)$.

O procedimento, para calcular o valor esperado para cada estratégia de procura discreta, $Q_{i}$, é:

$E(Q_{i})\,\!$ $=P(M_{0})F(Q_{i}M_{0})+P(M_{1})F(Q_{i}M_{1})+\cdots +P(M_{n})F(Q_{i}M_{n})$ $=\sum _{j=0}^{n}P(M)F(Q_{i}M_{j})$,

onde F(Q_iM_j) é o resultado da estratégica da procura, $Q_{i}$, quando a procura actual está no estado de natureza $M_{j}$. A determinação dos resultados pode assumir duas formas, consoante a quantidade encomendada ($Q_{i}$), é menor ou maior do que o nível da procura ($M_{j}$). Quando os resultados são expressos em termos de lucro ou benefício, aplicam-se as seguintes relações:

$F(Q_{i}M_{j})\,\!$ $=Q_{i}J\,\!$ para $Q_{i}\leq M_{j}$ (condição de ruptura de stock),

$F(Q_{i}M_{j})\,\!$ $=M_{i}J-(Q_{i}-M_{j})l\,\!$ para $\,\!Q_{i}>M_{j}$ (condição de excesso de stock),

onde

J = lucro ou benefício unitário,

l = perda por disponibilidade de stock não utilizado,

$Q_{i}$ = quantidade única de encomenda de i unidades,

$M_{j}$ = nível de procura de j unidades,

$Q_{i}-M_{j}$ = número de unidades em excesso de stock.

Quando os resultados são expressos em termos de custo ou sacrifício, aplicam-se as seguintes relações:

$F(Q_{i}M_{j})\,\!$ $=Q_{i}P\,\!$ para $Q_{i}\geq M_{j}$ (condição de excesso de produção),

$F(Q_{i}M_{j})\,\!$ $=Q_{i}P+(M_{j}-Q_{i})A\,\!$ para $\,\!Q_{i}<M_{j}$ (condição de subprodução),

onde

P = custo unitário,

A = custo de ruptura de stock, por unidade,

$(M_{j}-Q_{i})$ = tamanho da ruptura de stock, em unidades.

Análise (marginal) do benefício

Segundo Tersine (1988, p.307-308), a secção anterior delineou um apuramento exaustivo da perspectiva de cada quantidade de encomenda para determinar o tamanho do lote com o valor óptimo esperado. Embora o método seja aplicável à quantidade única de encomenda envolvendo unidades de procura discretas, pode ser um processo tedioso quando o número de alternativas é grande. Nesta secção, é desenvolvida uma relação de optimização mais simples para indicar a quantidade de encomenda mais rentável. O objectivo é determinar o tamanho da encomenda (Q) que deve ser comprado no início do período (assumido que não há stock inicial) para maximizar o benefício esperado no final do período:

benefício esperado (EP) = receita esperada (ER) - custo esperado (EC);

receita esperada (ER) = receita de vendas esperada + receita de segurança esperada,

$ER\,\!$ $=P_{1}{\Big [}Q-\textstyle \int \limits _{0}^{Q}(Q-M)f(M)dM\ {\Big ]}+V\textstyle \int \limits _{0}^{Q}(Q-M)f(M)dM$ $=P_{1}Q+(V-P_{1})\textstyle \int \limits _{0}^{Q}(Q-M)f(M)dM$;

custo esperado (EC) = custo de compra + custo de encomenda + custi de ruptura esperado,

$EC\,\!$ $=PQ+C+A\textstyle \int \limits _{Q}^{\infty }(M-Q)f(M)dM$,

$EP\,\!$ $=P_{1}Q+(V-P_{1})\textstyle \int \limits _{0}^{Q}(Q-M)f(M)dM-PQ-C-A\textstyle \int \limits _{Q}^{\infty }(M-Q)f(M)dM$ $=P_{1}Q+(V-P_{1})(Q-{\bar {M}})-(P_{1}-V+A)\times \textstyle \int \limits _{Q}^{\infty }(M-Q)f(M)dM-PQ-C$,

onde

A = custo de ruptura por unidade,

C = custo de encomenda, por cada encomenda realizada,

M = procura em unidades (uma variável aleatória),

f(M) = função da densidade de probabilidade da procura,

M - Q = tamanho da ruptura de stock, em unidades,

Q = quantidade da encomenda única, em unidades,

Q - M = quantidade de stock em excesso, em unidades,

P = custo de compra unitário,

P_1 = preço de venda unitário;

$P(M>Q)$ = probabilidade de uma ruptura de stock (probabilidade de haver uma procura superior a Q),

V = valor de segurança, por unidade,

$\textstyle \int \limits _{0}^{Q}(Q-M)f(M)dM$ = número de unidades em excesso (segurança) esperado,

$\textstyle \int \limits _{Q}^{\infty }(M-Q)f(M)dM$ = quantidade da ruptura de stock esperada, em unidades.

Para determinar o benefício máximo esperado, para uma distribuição contínua, é necessário derivar o benefício esperado em ordem à quantidade de encomenda e igualar a expressão a zero:

${\frac {dEP}{dQ}}\ =P_{1}+V-P_{1}+(P_{1}+A-V)P(M>Q)-P=0$,

$P(M>Q)\,\!$ $=P(s)\,\!$ $={\frac {P-V}{P_{1}+A-V}}$ $={\frac {ML}{MP+ML+A}}$ = probabilidade de ruptura de stock óptima,

onde

ML = P - V = perda marginal,

MP = $P_{1}-P$ = benefício marginal.

Análise da perda

Quando os itens são para uso interno, sem haver receita, a selecção do tamanho da encomenda única é baseada no menor custo esperado. Os componentes do custo são os custos por ordem, o custo de aquisição, custo de ruptura de stock e valor de segurança. A seguinte fórmula é relativa ao custo esperado para uma distribuição contínua:

custo esperado = custo de encomenda + custo de compra + custo de ruptura de stock esperado - segurança esperada,

$EC\,\!$ $=C+PQ+A\textstyle \int \limits _{Q}^{\infty }(M-Q)f(M)dM-V\textstyle \int \limits _{0}^{Q}(Q-M)f(M)dM$, $=C+PQ+(A-V)\textstyle \int \limits _{Q}^{\infty }(M-Q)f(M)dM+V({\bar {M}}-Q)$,

onde

C = custo de encomenda, por cada encomenda realizada ou custo de instalação,

P = custo de compra unitário,

Q = quantidade da encomenda única, em unidades,

A = custo de ruptura por unidade,

M = procura em unidades (uma variável aleatória),

M - Q = tamanho da ruptura de stock, em unidades,

f(M) = função da densidade de probabilidade da procura,

V = valor de segurança, por unidade.

Para determinar a perda mínima esperada, para uma distribuição contínua, é necessário derivar o custo esperado em ordem à quantidade de encomenda e igualar a expressão a zero:

${\frac {dEC}{dQ}}\ =P-(A-V)P(M>Q)-V=0$,

$P(M>Q)\,\!$ $=P(s)\,\!$ $={\frac {P-V}{A-V}}$ = probabilidade óptima de ruptura de stock.

É de observar que, se o custo de aquisição é igual ou superior ao custo de ruptura de stock, a probabilidade de ruptura desejada é 1. Nestas condições, nenhuma ordem seria instituída até existir uma procura conhecida. Além disso, se um item não tem valor de segurança, a probabilidade de ruptura de stock ideal é $P(s)={\frac {P}{A}}$. A expressão $1-P(s)\,\!$ é o nível de serviço e $P(s)\,\!$ é a probabilidade de ruptura de stock. Assim, se a procura para o item é normalmente distribuída com uma média conhecida ${\bar {M}}$ e desvio padrão $\sigma \,\!$, a seguinte expressão determina o menor custo esperado para a quantidade única de encomenda:

$Q_{0}={\bar {M}}+Z\sigma$ = tamanho óptimo da encomenda única,

onde Z é o desvio padrão normal obtido a partir da tabela normal, para uma probabilidade de ruptura de stock, $P(s)\,\!$ (Tersine, 1988, p.310-312) .