Lógica/Cálculo Quantificacional Clássico/Tablôs semânticos no CQC

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Tablôs Semânticos no CQC

Tablôs semânticos no CQC seguem as mesmas regras que no CPC, adicionando regras para lidar com os quantificadores e as variáveis.

Este texto partirá do princípio que já tenha sido lido o artigo: Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Tablôs semânticos.

Tablôs de Fórmulas

Recapitulemos as regras de construção de tablôs já conhecidas:

Em vista destas regras já conhecidas podemos facilmente verificar que a seguinte fórmula é válida: $\exists x\left(Px\land Qx\right)\to \exists x\left(Px\land Qx\right)$.

Relembremos o procedimento de construção de tablôs:

• Supor que a fórmula seja falsa.
• Desenvolver esta suposição.
• Caso cair em contradição (a mesma fórmula receber dois valores distintos) em todos ramos do tablô, concluir que ela não pode ser falsa. O que no caso do CQC significa concluir que ela é universalmente válida.

Façamos o tablô da fórmula em questão:

$\mathbf {F} \quad \exists x\left(Px\land Qx\right)\to \exists x\left(Px\land Qx\right)$

$\mathbf {V} \quad \exists x\left(Px\land Qx\right)$

$\mathbf {F} \quad \exists x\left(Px\land Qx\right)$

$\times$

Muito simples! De fato, $\exists x\left(Px\land Qx\right)\to \exists x\left(Px\land Qx\right)$ consiste numa instância de tautologia, do Princípio de Identidade ($\alpha \to \alpha$).

Obviamente, nem todas fórmulas válidas do CQC são instâncias de tautologia. Não tardemos a tratar delas.

Exemplo 1

Comecemos por uma fórmula simples que envolva o quantificador universal: $\forall x\left(Gx\right)\to Ge$

Ela poderia significar algo como “Se todos [indivíduos do sistema em questão] são geômetras, então Euclides é geômetra”. O que intuitivamente parece válido e, como veremos, de fato o é.

• Primeiro passo, supor que ela seja falsa:

$\mathbf {F} \quad \forall x\left(Gx\right)\to Ge$

Temos a falsidade de uma implicação. Então temos que supor que o antecedente seja verdadeiro e o conseqüente falso:

$\mathbf {F} \quad \forall x\left(Gx\right)\to Ge\quad$

$\mathbf {V} \quad \forall x\left(Gx\right)$

$\mathbf {F} \quad Ge$

Já estamos diante de uma novidade: a verdade de uma fórmula geral formada por um quantificador universal. Vejamos como lidar com isto.

$\forall x\left(Gx\right)$ significa que $G$ é predicado de todas constantes individuais do sistema. Assim, sendo $\forall x\left(Gx\right)$ verdade no tablô, então podemos inserir nele $Ga$, $Gb$, $Gc$, $Gd$, $Ge$ etc., sendo todas verdadeiras. Não precisamos ter certeza que $a$, $b$, $c$, $d$ etc. realmente estão inseridas no sistema. Podemos apenas supor isto (aliás, todo tablô é uma suposição).

Obviamente, inserir no tablô que $Ga$, $Gb$, $Gc$, $Gd$, $Gf$, $Gh$... são verdadeiras, em nada nos serve neste caso. Contudo, se inserirmos que $Ge$ é verdadeira, o único ramo do tablô fecha e a validade de $\forall x\left(Gx\right)\to Ge$ fica provada:

$\mathbf {F} \quad \forall x\left(Gx\right)\to Ge\quad$

$\mathbf {V} \quad \forall x\left(Gx\right)$

$\mathbf {F} \quad Ge$

$\mathbf {V} \quad Ge$

$\times$

Repare que não marcamos $\forall x\left(Gx\right)$ com um como fazíamos com outras fórmulas usadas. Afinal, ainda há infinitas outras fórmulas além de $Ge$ que podem ser extraídas da verdade de :$\forall x\left(Gx\right)$.

Exemplo 2

$Ge\to \forall x\left(Gx\right)$

Intuitivamente podemos dizer que a fórmula não é válida. Afinal, não é porque $G$ é predicado de uma constante, que necessariamente $G$ seja predicado de todas constantes. De qualquer forma, façamos o tablô:

$\mathbf {F} \quad Ge\to \forall x\left(Gx\right)$

$\mathbf {V} \quad Ge$

$\mathbf {F} \quad \forall x\left(Gx\right)$

O que fazer com a falsidade de uma fórmula geral que contém o quantificador universal? Se é falso que $G$ é predicado de todas as constantes individuais, então deve haver alguma(s) constante(s) individual(is) que, se $G$ for predicado a elas, tem-se uma fórmula falsa. Mas quais? Podemos supor quaisquer constantes individuais, desde que elas ainda não tenham aparecido no ramo do tablô. Ou seja, podemos inserir no tablô a falsidade de $Ga$, $Gb$, $Gc$, $Gd$ etc. Contudo, não podemos inserir a falsidade de $Ge$, pois a constante $e$ já aparece no ramo. Então o tablô fica aberto e concluímos que a fórmula não é válida.

Exemplo 3

Vejamos como fazer um tablô de uma fórmula que não contenha constantes individuais: $\forall x\left(Ax\to Ax\right)$.

$\mathbf {F} \quad \forall x\left(Ax\to Ax\right)$

Já vimos que, dada a falsidade de uma fórmula geral que contém o quantificador universal, podemos remover o quantificador e substituir a variável por uma constante individual, desde que ela ainda não tenha aparecido no ramo do tablô. Como não há constantes individuais no tablô em questão, estamos livres para usar de qualquer constante:

$\mathbf {F} \quad \forall x\left(Ax\to Ax\right)\quad$

$\mathbf {F} \quad Af\to Af\quad$

$\mathbf {V} \quad Af$

$\mathbf {F} \quad Af$

$\times$

Exemplo 4

Vejamos finalmente uma fórmula que contém o quantificador existencial: $Ge\to \exists x\left(Gx\right)$ .

$\mathbf {F} \quad Ge\to \exists x\left(Gx\right)\quad$

$\mathbf {V} \quad Ge$

$\mathbf {F} \quad \exists x\left(Gx\right)$

Como lidar com a falsidade de uma fórmula geral formada por um quantificador existencial? Vejamos... se é falso que existe alguma constante individual a qual forme uma fórmula atômica verdadeira com a constante de predicado $G$, então podemos inserir no tablô a falsidade de qualquer fórmula atômica formada por $G$ ($Ga$, $Gb$, $Gc$, $Gd$, $Ge$ etc.). Se inserirmos a falsidade de $Ge$, o tablô fecha e concluímos a validade da fórmula $Ge\to \exists x\left(Gx\right)$ :

$\mathbf {F} \quad Ge\to \exists x\left(Gx\right)\quad$

$\mathbf {V} \quad Ge$

$\mathbf {F} \quad \exists x\left(Gx\right)$

$\mathbf {F} \quad Ge$

$\times$

A validade desta fórmula também é intuitivamente evidente. “Se Euclides é geômetra, então alguém é geômetra” é bastante óbvio. Vejamos agora um exemplo mais complicado.

Exemplo 5

Anteriormente foi dito que $\forall x\left(Mx\to \neg Rx\right)$ é equivalente a $\neg \exists x\left(Mx\land Rx\right)$, ou seja, que :$\forall x\left(Mx\to \neg Rx\right)\leftrightarrow \neg \exists x\left(Mx\land Rx\right)$ é válida. Façamos o tablô para verificar se isto está correto.

Foi feito todo ramo esquerdo do tablô e o direito até chegarmos a uma novidade: a verdade de uma fórmula geral formada por um quantificador existencial. Antes de tratar disto, vejamos o que foi feito do lado esquerdo.

• A fórmula não continha constantes individuais, nos deixando livres para inserir qualquer constante, que no caso é $f$.
• Não foi gratuitamente que comecei pela falsidade de $\forall x\left(Mx\to \neg Rx\right)$. Como vimos acima, dada a falsidade de uma fórmula geral que contém o quantificador universal, podemos remover o quantificador e substituir a variável por uma constante individual, desde que ela ainda não tenha aparecido no ramo do tablô. Se começássemos pela falsidade de $\exists x\left(Mx\land Rx\right)$, depois não poderíamos usar a mesma constante individual a fim de encontrar a contradição.

Agora vejamos como lidar com a verdade de uma fórmula geral formada pelo quantificador existencial. Se é verdade que $M$ e $R$ são predicados de algumas das constantes individuais, então deve haver alguma(s) constante(s) individual(is) que, se $M$ e $R$ forem predicadas a elas, tem-se uma fórmula verdadeira. Mas quais? Podemos supor quaisquer constantes individuais, desde que elas ainda não tenham aparecido no ramo do tablô.

Em vista disto, procederemos na construção do tablô da seguinte forma: trabalhar primeiro com a verdade de $\exists x\left(Mx\land Rx\right)$ e depois com a verdade de $\forall x\left(Mx\to \neg Rx\right)$. Assim, seja qual for a constante individual que aplicarmos na primeira, poderemos aplicar na segunda.

Exemplo 6

Vejamos agora um tablô de uma fórmula de múltiplos quantificadores.

$\mathbf {F} \quad \forall x\exists y\left(Pxy\right)\to \exists y\left(Pay\right)\quad$

$\mathbf {V} \quad \forall x\exists y\left(Pxy\right)$

$\mathbf {F} \quad \exists y\left(Pay\right)$

$\mathbf {V} \quad \exists y\left(Pay\right)$

$\times$

Regras de construção de tablôs para fórmulas quantificadas

Sendo $x$ uma variável individual, $\alpha$ uma fórmula onde $x$ ocorre, e $c$ alguma constante que substitui $x$ na fórmula $\alpha$, temos:

${\mathrm {V} \quad \forall x\left(\alpha \right) \over \mathrm {V} \quad \alpha \left[x{\mathcal {n}}c\right]}$

Para qualquer $c$.

${\mathrm {F} \quad \forall x\left(\alpha \right) \over \mathrm {F} \quad \alpha \left[x{\mathcal {n}}c\right]}$

Desde que $c$ seja nova no ramo.

${\mathrm {V} \quad \exists x\left(\alpha \right) \over \mathrm {V} \quad \alpha \left[x{\mathcal {n}}c\right]}$

Desde que $c$ seja nova no ramo.

${\mathrm {F} \quad \exists x\left(\alpha \right) \over \mathrm {F} \quad \alpha \left[x{\mathcal {n}}c\right]}$

Para qualquer $c$.

Nos casos em que a constante adicionada deve ser nova no ramo, a fórmula recebe marcação pois não pode novamente ser usada.

Um tablô que envolve fórmulas quantificadas está terminado se:

• todos ramos do tablô fecharem (caírem em contradição). Neste caso a fórmula ou argumento é válido(a)

Ou se:

• Foram utilizadas todas fórmulas moleculares.
• Todos existenciais e todos universais falsos que ocorrem em cada ramo foram utilizados.
• Foram utilizados cada universal verdadeiro e cada existencial falso para cada constante individual do ramo.

Se atendidas estas três condições o tablô não fechar, então a fórmula ou argumento é inválido(a).

Tablôs de Argumentos

Os tablôs das fórmulas acima – fora o exemplo 5 - são bastante simples. Afinal, estavam sendo apresentadas as regras de construção de tablôs para quantificadores. Compensemos isto agora lidando com algo mais sofisticado: a formalização e construção de tablôs de argumentos da lógica aristotélica.

Relembrando o processo de construção de tablôs de argumentos:

• Supor que o argumento seja inválido, ou seja, que a premissas podem ser verdadeiras e a conclusão falsa.
• Desenvolver esta suposição.
• Caso cair em contradição (a mesma fórmula receber dois valores distintos) em todos ramos do tablô, concluir que a conclusão não pode ser falsa enquanto as premissas são verdadeiras.

Exemplo 1

Vejamos o silogismo categórico Barbara:

Todo A é um B.

Todo B é um C.

∴ Todo A é um C.

Na linguagem simbólica do CQC, ele pode ser expresso assim:

$\left\{\forall x\left(Ax\to Bx\right),\forall x\left(Bx\to Cx\right)\right\}\vDash \forall x\left(Ax\to Cx\right)$

O primeiro passo é supor que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa:

$\mathbf {V} \quad \forall x\left(Ax\to Bx\right)$

$\mathbf {V} \quad \forall x\left(Bx\to Cx\right)$

$\mathbf {F} \quad \forall x\left(Ax\to Cx\right)$

A estratégia adotada para resolver o tablô será começar pela conclusão e depois usar as premissas. Assim, podemos inserir qualquer constante individual na conclusão, e depois remeter a esta mesma constante nas premissas.

$\mathbf {V} \quad \forall x\left(Ax\to Bx\right)$

$\mathbf {V} \quad \forall x\left(Bx\to Cx\right)$

$\mathbf {F} \quad \forall x\left(Ax\to Cx\right)\quad$

$\mathbf {F} \quad Al\to Cl\quad$

$\mathbf {V} \quad Al$

$\mathbf {F} \quad Cl$

Agora utilizaremos as premissas, aplicando a mesma constante individual $l$:

Exemplo 2

Vejamos o silogismo categórico Darii:

Todo B é um A.

Alguns Cs são Bs.

∴ Alguns Cs são As.

Na linguagem simbólica do CQC, ele pode ser expresso assim:

$\left\{\forall x\left(Bx\to Ax\right),\exists x\left(Cx\land Bx\right)\right\}\vDash \exists x\left(Cx\land Ax\right)$

O primeiro passo:

$\mathbf {V} \quad \forall x\left(Bx\to Ax\right)$

$\mathbf {V} \quad \exists x\left(Cx\land Bx\right)$

$\mathbf {F} \quad \exists x\left(Cx\land Ax\right)$

Pelo mesmo motivo do exemplo acima, nossa estratégia começa usando a segunda premissa, na qual temos a verdade de um existencial:

$\mathbf {V} \quad \forall x\left(Bx\to Ax\right)$

$\mathbf {V} \quad \exists x\left(Cx\land Bx\right)\quad$

$\mathbf {F} \quad \exists x\left(Cx\land Ax\right)$

$\mathbf {V} \quad Cd\land Bd\quad$

$\mathbf {V} \quad Cd$

$\mathbf {V} \quad Bd$

E agora usamos as demais fórmulas gerais do tablô aplicando a constante $d$

Exemplo 3

Vejamos alguns casos de conversões lícitas.

Do tipo E: Nenhum A é B. Logo nenhum B é A.

Este argumento pode ser expresso na linguagem do CQC da seguinte forma:

$\forall x\left(Ax\to \neg Bx\right)\vDash \forall x\left(Bx\to \neg Ax\right)$

O tablô para este argumento fica:

Poderíamos expressar o mesmo argumento da seguinte forma:

$\neg \exists x\left(Ax\land Bx\right)\vDash \neg \exists x\left(Bx\land Ax\right)$

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