Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Tablôs semânticos

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Tablôs semânticos[editar | editar código-fonte]

Como vimos, as tabelas de verdade são uma ferramenta que nos permite analisar as fórmulas para cada caso de valoração, o que nos permite determinar se elas são tautologias, contradições ou contingentes. Também podemos usar as tabelas de verdade para comparar fórmulas, e assim dizer se são contraditórias entre si, equivalentes ou se uma é conseqüencia lógica da outra.

Contudo, digamos que nosso interesse seja apenas determinar se uma fórmula é tautológica ou um argumento é válido. Caso a fórmula ou o argumento seja complexo, poderíamos demorar muito até terminar a tabela, ou, no caso de ser uma contingência ou um argumento inválido, encontrar a valoração na qual a fórmula é falsa, ou a premissa seja verdadeira enquanto a conclusão é falsa, respectivamente.

Neste caso, seria interessante um método que permite rapidamente determinar se existe alguma valoração na qual a fórmula seja falsa ou a premissa seja verdadeira, ou uma valoração na qual a premissa seja verdadeira enquanto a conclusão seja falsa. Este metodo é a construção dos tablôs semânticos.

Tablôs semânticos - também conhecidos como tableaux ou árvores - consistem num método de provar que uma fórmula é tautologia ou que um argumento é válido por contradição.

Provar por contradição consiste em provar a verdade de supondo que é falso, desenvolvendo a idéia da falsidade até chegar a uma contradição. Oras, se é falso é contraditório, então é verdadeiro.

Em outras palavras, se então devemos inferir .

Tablôs de Fórmulas[editar | editar código-fonte]

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Comecemos então com as tautologias. Vamos provar que a fórmula (ou mais precisamente, esquema de fórmula) é uma tautologia.
O primeiro passo consiste em supor que ela seja falsa:
Agora desenvolveremos esta suposição. A fórmula consiste em uma implicação que tem como antecedente e como conseqüente. Como vimos anteriormente, o valor de uma implicação é falso se e somente se o antecedente é verdadeiro e o consequente, falso. Portanto, vamos inserir isto no tablô.
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É feita uma marca (Crystal Clear gray action button ok.png) nas fórmulas usadas, pois estas não podem ser usadas novamente.
Mais uma vez, se é falso, então o antecedente é verdadeiro enquanto o conseqüente é falso:
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Este tablô nos mostra que .

Oras, a fórmula está com dois valores. Isto é contradição. Supor que seja falso nos leva a uma contradição. Assim sendo, sempre é verdadeira, ou seja, é uma tautologia.

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Passemos agora para um caso mais complicado. Vamos provar que a fórmula que descreve o modus tollens, , é tautológica.


O primeiro passo. Supor que ela seja falsa:

Já sabemos como proceder no caso da falsidade de uma implicação:

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Na terceira linha temos a falsidade da negação de . Oras, se estamos supondo que a negação de uma fórmula é falsa, então temos que supor que a fórmula seja verdadeira:
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Como acabamos com o fragmento , marcamos isto. Agora voltemos nossa atenção à segunda linha, na qual temos a verdade de uma conjunção. Uma conjunção é verdadeira se e somente se as subfórmulas conjuntas são verdadeiras:
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Na quinta linha temos a verdade da negação de . Oras, se estamos supondo que a negação de uma fórmula é verdadeira, devemos supor que a fórmula seja falsa.
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Agora, lidar com a verdade de é mais complicado. Afinal, uma implicação entre duas fórmulas é verdadeira em dois casos, quando o antecedente é falso ou o conseqüente é verdadeiro.
O tablô fica, então, desta forma:

Tablo2a.jpg

Sempre que uma fórmula tem duas condições alternativas para receber uma determinada valoração, o tablô é ramificado; e é necessário que todos os ramos caiam em contradição para que a fórmula seja tautológica.

Exemplo 3[editar | editar código-fonte]

Façamos um tablô de uma fórmula que envolva vários conectivos usuais. Uma das leis de Morgan,

, parece bastante adequada para este fim.

O primeiro passo já sabemos muito bem qual é:


Se estamos supondo a falsidade da bi-implicação entre duas subfórmulas, temos que supor que uma é falsa e a outra é verdadeira. Já temos uma ramificação:

Tablo3x.jpg

Analisemos primeiramente no ramo da esquerda, a fórmula , que está marcada como verdadeira. Já sabemos bem como lidar com a verdade de uma negação:

Tablo4x.jpg

Agora temos uma situação nova: a falsidade de uma disjunção. Oras! Se estamos supondo que a disjunção entre duas fórmulas é falsa, temos que supor que ambas são falsas:

Tablo5x.jpg

Mais uma novidade para nós: a falsidade de uma conjunção. Sabemos que a conjunção entre duas fórmulas é falsa quando ao menos uma delas é falsa, o que nos obriga a ramificar o tablô:

Tablo5ax.jpg

Fecharam todos ramos do lado esquerdo. Voltemos nossa atenção para o direito:

Tablo6x.jpg

Já estão feitos todos casos conhecidos até chegarmos a um caso novo: a verdade de uma disjunção. Sabemos que uma disjunção entre duas fórmulas é verdadeira se e somente se ao menos uma das fórmulas for verdadeira. Isto nos obriga a ramificar o tablô:


Tablo7x.jpg

Como podemos ver, o tablô fechou em todos os seus ramos. A fórmula é, portanto, tautológica.

Obs: Na verdade estamos trabalhando aqui com esquemas de fórmulas. Como já foi explicado, chamar "esquemas de fórmulas" por "fórmulas" é uma economia de linguagem.

Exemplo 4[editar | editar código-fonte]

Agora vejamos como fica o tablô no caso de uma contradição, tal como a negação da primeira tautologia que fizemos tablô, :

Tablo8x.jpg

Todas fórmulas moleculares foram usadas. Não hás mais como proceder. Os ramos do tablo ficaram abertos. Não caímos em contradição ao supor que a fórmula seja falsa. Portanto ela não consiste numa tautologia.

Exemplo 5[editar | editar código-fonte]

Vejamos agora como fica um tablô de uma fórmula contingente, tal como  :

Tablo9.png

Mesmo que algum(ns) ramo(s) feche(m), e não necessariamente um tablô de uma fórmula contingente terá ramos fechados, outro(s) continua(m) aberto(s).

Regras de Construção de Tablôs[editar | editar código-fonte]

Segue adiante as regras de construção de tablôs:

Regras de construção de tablos.gif

Um tablô está completo se:
  • todos ramos do tablô fecharem (caírem em contradição). Neste caso a fórmula é tautológica ou argumento é válido.
Ou se:
  • todas fórmulas moleculares do tablô foram usadas. Neste caso, se algum ramo ficar aberto (não cair em contradição) então a fórmula não é tautológica ou o argumento não é válido.

Exercício[editar | editar código-fonte]

Determine por tablôs semânticos se as seguintes fórmulas são ou não são tautológicas:

Confira suas respostas

Tablôs de Argumentos[editar | editar código-fonte]

Para verificar se uma fórmula é tautológica, ou seja, sempre verdadeira, supomos que ela seja falsa, desenvolvemos esta suposição e, se cairmos em contradição, é porque a fórmula é mesmo tautológica.
De forma análoga, para verificar se um argumento é válido - ou seja, é de forma tal que sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão também é verdadeira – supomos que ele seja inválido.
Se um argumento é inválido então as premissas podem ser verdadeiras enquanto a conclusão é falsa. É justamente isto que vamos supor.

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Vejamos como ficara o tablô de um argumento que já conhecemos, o Modus tollens,
Oras, só muda o passo inicial em relação aos tablôs de fórmulas. Já sabemos como proceder agora:

Tabloexemplo2.png

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Agora vejamos como fica uma falácia no tablô. Peguemos uma que já conhecemos, tal como a afirmação do termo disjunto:

Tabloxx.png

Não caímos em contradição ao supor que seja falsa enquanto e são verdadeiras. Portanto, não é conclusão de um argumento válido do conjunto de premissas

Exercício[editar | editar código-fonte]

Determine por meio dos tablôs semânticos se os seguintes argumentos são válidos ou não. Lembre-se que as fórmulas à esquerda do símbolo "" são as premissas, enquanto as fórmulas à direita, as respectivas conclusões.

Confira suas respostas