Lógica/Cálculo Quantificacional Clássico/Dedução Natural no CQC

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Este módulo pressupõe a leitura prévia dos módulos Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Dedução Natural - Parte I e Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Dedução Natural - Parte II.

Regras para Quantificadores[editar | editar código-fonte]

Vamos estabelecer duas regras para cada quantificador: uma para removê-lo e outra para inserí-lo na derivação.

Temos que ser muito cautelosos na aplicação destas regras, pois elas tem muitas restrições. Algumas regras terão a restrição de substitualidade, a qual cabe definir agora:

Dada uma constante , uma variável e uma fórmula quantificada, se não ocorre em no escopo do quantificador para , então dizemos que é substituível por em .

Eliminação do Universal[editar | editar código-fonte]

Ou seja, dada uma fórmula , aplica-se a eliminação do universal, derivando uma fórmula tal que a variável dá lugar a uma constante .

  • Exemplo

 
1.     Premissa
2.     Premissa
3.     1
4.     3,2 MP
  • CUIDADOAchtung.svg

Lembre-se que esta regra é aplicável a fórmulas quantificadas universalmente, e não a quaisquer fórmulas que contém o quantificador universal. Por exemplo, a eliminação do universal não é aplicável à fórmula .

Introdução do Universal[editar | editar código-fonte]

Ou seja, dada uma fórmula na qual ocorre a constante , aplica-se a introdução do universal, derivando uma fórmula tal que a constante dá lugar à variável . A esta regra coloca-se as seguintes restrições:

  1. a constante não pode ocorrer em premissa ou hipótese vigente.
  2. deve ser substituível por em .
  • Exemplo 1

 
1.     Premissa
2.     Premissa
3.     1
4.     2
5.     3,4 SH
6.     5
  • Exemplo 2

 
1.     Premissa
2.     1
3.     2
4.     3
5.     4
  • CUIDADOAchtung.svg

O desrespeito à primeira restrição acarretará em derivações falaciosas. Por exemplo:

 
1.     Premissa
2.     1

Algo como "Frege é lógico. Logo, todos são lógicos". O que é obviamente inválido.

O desrespeito à segunda restrição também acarretará em derivações absurdas, tais como:

 
1.     Premissa
2.     1
3.     2

Introdução do Existencial[editar | editar código-fonte]

Ou seja, dada uma fórmula na qual ocorre a constante , aplica-se a introdução do existencial, derivando uma fórmula tal que a constante dá lugar à variável . A esta regra coloca-se a restrição de que deve ser substituível por em .

  • Exemplo 1

 
1.     Premissa
2.     1
3.     2
  • Exemplo 2

 
1.     Premissa
2.     1 S
3.     2
4.     1 S
5.     4
6.     3,5 C
  • CUIDADOAchtung.svg

Lembre-se que apenas uma constante por vez pode ser substituída pela variável. Caso o contrário, ter-se-ia derivações absurdas como:

 
1.     Premissa
2.     1

Algo como "Colombo descobriu a América e Armstrong andou sobre a Lua. Logo, alguém descobriu a América e andou sobre a Lua". O que é obviamente inválido.

Eliminação do Existencial[editar | editar código-fonte]

Trataremos aqui a eliminação do existencial como uma regra de inferência hipotética:

Dada uma fórmula , levanta-se como hipótese uma fórmula tal que a variável dá lugar a uma constante . Desta hipótese, deriva-se uma fórmula . Ao aplicar a eliminação do existencial, descarta-se a hipótese e é inserida na derivação. A esta regra coloca-se a seguinte restrição: a constante não pode ocorrer em premissa, hipótese vigente, em ou .

  • Exemplo 1

 
1.     Premissa
2.     Premissa
 
3.       Hipótese para
4.       3 DN
5.       4
6.       2,5 MP
7.     1,3-5
  • Exemplo 2

 
01.     Premissa
02.     Premissa
 
03.       Hipótese
   
04.         Hipotese para
05.         1
06.         4 S
07.         5,6 MP
08.         4 S
09.         7,8 C
10.         9
11.       3,4-10
12.       11,2 C
13.     3,12 RAA

Exercício[editar | editar código-fonte]

Demonstre:

Confira aqui as respostas

Regras Derivadas para Quantificadores[editar | editar código-fonte]

A única regra derivada para quantificadores que trataremos aqui é o Intercâmbio de Quantificadores (IQ):

       

Vamos provar cada caso deste regra:

Intercâmbio de Quantificadores 1[editar | editar código-fonte]

 
1.     Premissa
2.     1
 
3.       Hipótese
   
4.         Hipótese para
5.         4,2 C
6.         5
7.       3,4-6
8.       7
9.     3,8 RAA

Intercâmbio de Quantificadores 2[editar | editar código-fonte]

 
1.     Premissa
 
2.       Hipótese
3.       2
4.       3,1 C
5.     2,4 RAA
6.     5

Intercâmbio de Quantificadores 3[editar | editar código-fonte]

 
01.     Premissa
 
02.       Hipótese
   
03.         Hipótese
04.         3
05.         2,4 C
06.       3,5 RAA
07.       6 DN
08.       7
09.       1,8 C
10.     2,9 RAA
11.     10 DN

Intercâmbio de Quantificadores 4[editar | editar código-fonte]

 
1.     Premissa
 
2.       Hipótese
   
3.         Hipótese
4.         3
5.         2,4 C
6.       3,5 RAA
7.     1,2-6

Aplicando o Intercâmbio de Quantificadores[editar | editar código-fonte]

Segue abaixo alguns exemplos que ilustram o quanto a regra de intercâmbio de quantificadores é útil.

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

 
01.       Hipótese
   
02.         Hipótese
03.         2 DM
04.          3 S
05.          3 S
06.          4 IQ
07.          5 IQ
08.          6
09.          7
10.          8,9 C
11.          10 DM
12.          11
13.          12 IQ
14.          1,13 C
15.       2,14 RAA
16.       15 DN
 
17.     1,16 RPC

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

 
01.       Hipótese
   
02.               Hipótese
03.               2 IQ
04.               3
05.               4 DM
     
06.           Hipótese
07.           1,6 SD
08.           5 S
09.           8
10.           9 IQ
11.           6,10 C
       
12.         6,11 RAA
13.         12 DN
14.         5 S
15.         14
16.         15 IQ
17.         13,16 C
     
18.       2,17 RAA
19.       18 DN
 
20.     1,19 RPC

Exemplo 3[editar | editar código-fonte]

 
01.     Premissa
02.     Premissa
 
03.       Hipótese
04.       1
05.       4
06.       3,4 MP
07.       3,5 MP
08.       6,7 C
09.     3,8 RAA
10.     9
11.     10 IQ

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Prove os seguintes teoremas:

Confira aqui as respostas

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