Este módulo pressupõe a leitura prévia dos módulos Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Dedução Natural - Parte I e Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Dedução Natural - Parte II.
Vamos estabelecer duas regras para cada quantificador: uma para removê-lo e outra para inserí-lo na derivação.
Temos que ser muito cautelosos na aplicação destas regras, pois elas tem muitas restrições. Algumas regras terão a restrição de substitualidade, a qual cabe definir agora:
- Dada uma constante
, uma variável
e uma fórmula
quantificada, se
não ocorre em
no escopo do quantificador para
, então dizemos que
é substituível por
em
.
![{\displaystyle {\frac {\forall x(\alpha )}{\alpha \left[x/\mathrm {c} \right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b07911997f605a08c7121b5079a47a4a1884c0b)
Ou seja, dada uma fórmula
, aplica-se a eliminação do universal, derivando uma fórmula
tal que a variável
dá lugar a uma constante
.
|
1.
|
|
|
|
Premissa
|
2.
|
|
|
|
Premissa
|
3.
|
|
|
|
1
|
4.
|
|
|
|
3,2 MP
|
|
- CUIDADO
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Achtung.svg/25px-Achtung.svg.png)
Lembre-se que esta regra é aplicável a fórmulas quantificadas universalmente, e não a quaisquer fórmulas que contém o quantificador universal. Por exemplo, a eliminação do universal não é aplicável à fórmula
.
![{\displaystyle {\frac {\alpha \left(\mathrm {c} \right)}{\forall x\alpha \left(\mathrm {c} /x\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e786e385142722136cb4430bb34053527810460d)
Ou seja, dada uma fórmula
na qual ocorre a constante
, aplica-se a introdução do universal, derivando uma fórmula
tal que a constante
dá lugar à variável
. A esta regra coloca-se as seguintes restrições:
- a constante
não pode ocorrer em premissa ou hipótese vigente.
deve ser substituível por
em
.
|
1.
|
|
|
|
Premissa
|
2.
|
|
|
|
Premissa
|
3.
|
|
|
|
1
|
4.
|
|
|
|
2
|
5.
|
|
|
|
3,4 SH
|
6.
|
|
|
|
5
|
|
|
1.
|
|
|
|
Premissa
|
2.
|
|
|
|
1
|
3.
|
|
|
|
2
|
4.
|
|
|
|
3
|
5.
|
|
|
|
4
|
|
- CUIDADO
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Achtung.svg/25px-Achtung.svg.png)
O desrespeito à primeira restrição acarretará em derivações falaciosas. Por exemplo:
|
1.
|
|
|
|
Premissa
|
2.
|
|
|
|
1
|
|
Algo como "Frege é lógico. Logo, todos são lógicos". O que é obviamente inválido.
O desrespeito à segunda restrição também acarretará em derivações absurdas, tais como:
|
1.
|
|
|
|
Premissa
|
2.
|
|
|
|
1
|
3.
|
|
|
|
2
|
|
![{\displaystyle {\frac {\alpha \left(\mathrm {c} \right)}{\exists x\alpha \left(\mathrm {c} /x\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8689aa86714c69ce83309550dcbcc71ad09521)
Ou seja, dada uma fórmula
na qual ocorre a constante
, aplica-se a introdução do existencial, derivando uma fórmula
tal que a constante
dá lugar à variável
. A esta regra coloca-se a restrição de que
deve ser substituível por
em
.
|
1.
|
|
|
|
Premissa
|
2.
|
|
|
|
1
|
3.
|
|
|
|
2
|
|
|
1.
|
|
|
|
Premissa
|
2.
|
|
|
|
1 S
|
3.
|
|
|
|
2
|
4.
|
|
|
|
1 S
|
5.
|
|
|
|
4
|
6.
|
|
|
|
3,5 C
|
|
- CUIDADO
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Achtung.svg/25px-Achtung.svg.png)
Lembre-se que apenas uma constante por vez pode ser substituída pela variável. Caso o contrário, ter-se-ia derivações absurdas como:
|
1.
|
|
|
|
Premissa
|
2.
|
|
|
|
1
|
|
Algo como "Colombo descobriu a América e Armstrong andou sobre a Lua. Logo, alguém descobriu a América e andou sobre a Lua". O que é obviamente inválido.
Trataremos aqui a eliminação do existencial como uma regra de inferência hipotética:
Dada uma fórmula
, levanta-se como hipótese uma fórmula
tal que a variável
dá lugar a uma constante
. Desta hipótese, deriva-se uma fórmula
. Ao aplicar a eliminação do existencial, descarta-se a hipótese e
é inserida na derivação. A esta regra coloca-se a seguinte restrição: a constante
não pode ocorrer em premissa, hipótese vigente, em
ou
.
|
1.
|
|
|
|
Premissa
|
2.
|
|
|
|
Premissa
|
|
|
|
3.
|
|
|
|
|
Hipótese para
|
4.
|
|
|
|
|
3 DN
|
5.
|
|
|
|
|
4
|
6.
|
|
|
|
|
2,5 MP
|
7.
|
|
|
|
1,3-5
|
|
|
01.
|
|
|
|
Premissa
|
02.
|
|
|
|
Premissa
|
|
|
|
|
|
03.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
|
|
|
|
04.
|
|
|
|
|
|
Hipotese para
|
05.
|
|
|
|
|
|
1
|
06.
|
|
|
|
|
|
4 S
|
07.
|
|
|
|
|
|
5,6 MP
|
08.
|
|
|
|
|
|
4 S
|
09.
|
|
|
|
|
|
7,8 C
|
10.
|
|
|
|
|
|
9
|
11.
|
|
|
|
|
3,4-10
|
12.
|
|
|
|
|
11,2 C
|
13.
|
|
|
|
3,12 RAA
|
|
Demonstre:
![{\displaystyle \left\{\forall x\left(Px\lor Qx\right),\neg Qa\right\}\vdash Pa}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1e54c21577852c7f3d2455cf80d866cc445f7f)
![{\displaystyle \left\{\forall x\left(Ax\land Bx\right),\forall x\left(Cx\land Dx\right)\right\}\vdash \forall x\left(Ax\land Cx\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1e2b8d30bca5334fc7c0742122835c37220c8e)
![{\displaystyle \left\{\forall x\left(Ax\to Bx\right),Al\right\}\vdash \exists xBx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9df3eb42eed17df706258df3ab33b472aeb81ce)
![{\displaystyle \exists x\left(Px\land Qx\right)\vdash \exists xPx\land \exists xQx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb6ab70fd12226fccf7beca3d0ae8452b7a91ba0)
![{\displaystyle \left\{\exists xPx,\forall xQx\right\}\vdash \exists x\left(Px\land Qx\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d199078b19d9161144c86da00bb3315a71b5640d)
Confira aqui as respostas
A única regra derivada para quantificadores que trataremos aqui é o Intercâmbio de Quantificadores (IQ):
![{\displaystyle {\frac {\neg \exists x\alpha }{\overline {\forall x\neg \alpha }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508a21204e15436441706f2b83f3fbb96f156709)
Vamos provar cada caso deste regra:
|
1.
|
|
|
|
Premissa
|
2.
|
|
|
|
1
|
|
|
|
3.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
|
|
|
4.
|
|
|
|
|
|
Hipótese para
|
5.
|
|
|
|
|
|
4,2 C
|
6.
|
|
|
|
|
|
5
|
7.
|
|
|
|
|
3,4-6
|
8.
|
|
|
|
|
7
|
9.
|
|
|
|
3,8 RAA
|
|
|
1.
|
|
|
|
Premissa
|
|
|
|
2.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
3.
|
|
|
|
|
2
|
4.
|
|
|
|
|
3,1 C
|
5.
|
|
|
|
2,4 RAA
|
6.
|
|
|
|
5
|
|
|
01.
|
|
|
|
Premissa
|
|
|
|
02.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
|
|
|
03.
|
|
|
|
|
|
Hipótese
|
04.
|
|
|
|
|
|
3
|
05.
|
|
|
|
|
|
2,4 C
|
06.
|
|
|
|
|
3,5 RAA
|
07.
|
|
|
|
|
6 DN
|
08.
|
|
|
|
|
7
|
09.
|
|
|
|
|
1,8 C
|
10.
|
|
|
|
2,9 RAA
|
11.
|
|
|
|
10 DN
|
|
|
1.
|
|
|
|
Premissa
|
|
|
|
2.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
|
|
|
3.
|
|
|
|
|
|
Hipótese
|
4.
|
|
|
|
|
|
3
|
5.
|
|
|
|
|
|
2,4 C
|
6.
|
|
|
|
|
3,5 RAA
|
7.
|
|
|
|
1,2-6
|
|
Segue abaixo alguns exemplos que ilustram o quanto a regra de intercâmbio de quantificadores é útil.
|
01.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
|
|
|
|
|
02.
|
|
|
|
|
|
|
Hipótese
|
03.
|
|
|
|
|
|
|
2 DM
|
04.
|
|
|
|
|
|
|
3 S
|
05.
|
|
|
|
|
|
|
3 S
|
06.
|
|
|
|
|
|
|
4 IQ
|
07.
|
|
|
|
|
|
|
5 IQ
|
08.
|
|
|
|
|
|
|
6
|
09.
|
|
|
|
|
|
|
7
|
10.
|
|
|
|
|
|
|
8,9 C
|
11.
|
|
|
|
|
|
|
10 DM
|
12.
|
|
|
|
|
|
|
11
|
13.
|
|
|
|
|
|
|
12 IQ
|
14.
|
|
|
|
|
|
|
1,13 C
|
15.
|
|
|
|
|
|
2,14 RAA
|
16.
|
|
|
|
|
|
15 DN
|
|
|
|
|
|
17.
|
|
|
|
1,16 RPC
|
|
|
01.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
|
|
|
|
|
02.
|
|
|
|
|
|
Hipótese
|
03.
|
|
|
|
|
|
2 IQ
|
04.
|
|
|
|
|
|
3
|
05.
|
|
|
|
|
|
4 DM
|
|
|
|
|
|
|
|
06.
|
|
|
|
|
|
|
Hipótese
|
07.
|
|
|
|
|
|
|
1,6 SD
|
08.
|
|
|
|
|
|
|
5 S
|
09.
|
|
|
|
|
|
|
8
|
10.
|
|
|
|
|
|
|
9 IQ
|
11.
|
|
|
|
|
|
|
6,10 C
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.
|
|
|
|
|
|
6,11 RAA
|
13.
|
|
|
|
|
|
12 DN
|
14.
|
|
|
|
|
|
5 S
|
15.
|
|
|
|
|
|
14
|
16.
|
|
|
|
|
|
15 IQ
|
17.
|
|
|
|
|
|
13,16 C
|
|
|
|
|
|
|
|
18.
|
|
|
|
|
2,17 RAA
|
19.
|
|
|
|
|
18 DN
|
|
|
|
|
|
20.
|
|
|
|
1,19 RPC
|
|
|
01.
|
|
|
|
Premissa
|
02.
|
|
|
|
Premissa
|
|
|
|
03.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
04.
|
|
|
|
|
1
|
05.
|
|
|
|
|
4
|
06.
|
|
|
|
|
3,4 MP
|
07.
|
|
|
|
|
3,5 MP
|
08.
|
|
|
|
|
6,7 C
|
09.
|
|
|
|
3,8 RAA
|
10.
|
|
|
|
9
|
11.
|
|
|
|
10 IQ
|
|
Prove os seguintes teoremas:
![{\displaystyle \vdash \exists xPx\to \neg \forall x\neg Px}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e2d1120be20e48285dc107ae070aa055996829)
![{\displaystyle \vdash \forall x\left(Px\to Q\right)\to \exists x\left(Px\to Q\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c934a56f643d87bef522af8dfe13f7672064f0b7)
![{\displaystyle \vdash \exists x\exists yPxy\leftrightarrow \exists y\exists xPxy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bf34f4e60ab46256845800b135c9fb6549bcbb8)
![{\displaystyle \vdash \left(\forall xPx\land \forall xQx\right)\leftrightarrow \forall x\left(Px\land Qx\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404dac8c2e8b47c6a727b9c28006939ee1477ecf)
![{\displaystyle \vdash \left(P\land \exists xQx\right)\leftrightarrow \exists x\left(P\land Qx\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd238981f905faff6ed96a2d0a03d8b0b3a02d9)
![{\displaystyle \vdash \left(P\lor \forall xQx\right)\leftrightarrow \forall x(P\lor Qx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2baffc07ad96f545d008fdecdea6cebd92a58bc1)
![{\displaystyle \vdash \exists x(Px\rightarrow Q)\to (\forall xPx\rightarrow Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8fa0c257b4b42c6019e3362fac573eecb94ff0)
Confira aqui as respostas