Por meio das regras de inferência diretas e hipotéticas podemos demonstrar vários raciocínios bastante recorrentes. Estes raciocíonios, uma vez demonstrados, podem ser usados como regras de inferência diretas. Elas não são necessárias, mas são bastante úteis, tornando nossas derivações muito mais sucintas. Anteriormente demonstramos dois raciocínios que nos serão úteis como regras de inferência derivadas:
- Dupla Negação em ambas direções (DN)
- Silogismo Hipotético (SH)
Vamos ampliar nossa lista de regras de inferência derivadas, demonstrado uma por uma:
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1.
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Premissa
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2.
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1 DN
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3.
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2 DN
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1.
|
|
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|
Premissa
|
2.
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|
|
|
Premissa
|
|
|
|
|
|
3.
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|
Hipótese
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4.
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1,3 MP
|
5.
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|
|
|
|
2,4 C
|
6.
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3,5 RAA
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|
1.
|
|
|
|
Premissa
|
|
|
|
2.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
3.
|
|
|
|
|
1 R
|
4.
|
|
|
|
2,3 RPC
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Aproveitaremos o Modus Tollens como regra de inferência.
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1.
|
|
|
|
Premissa
|
|
|
|
|
|
2.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
3.
|
|
|
|
|
1,2 MT
|
4.
|
|
|
|
2,3 RPC
|
|
Agora tente você provar a recíproca, ou seja, que
Confira aqui sua resposta.
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1.
|
|
|
|
Premissa
|
2.
|
|
|
|
Premissa
|
3.
|
|
|
|
1 E
|
4.
|
|
|
|
2,3 SD
|
|
|
1.
|
|
|
|
Premissa
|
|
|
|
2.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
3.
|
|
|
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1,2 CTR
|
4.
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|
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2,3 RPC
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|
Prove que também vale .
Confira aqui sua resposta.
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01.
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Premissa
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|
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|
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|
02.
|
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|
|
Hipótese
|
03.
|
|
|
|
|
2 E
|
04.
|
|
|
|
|
1,3 C
|
05.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,4 RAA
|
06.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
07.
|
|
|
|
|
6 E
|
08.
|
|
|
|
|
1,7 C
|
09.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6,8 RAA
|
10.
|
|
|
|
|
|
|
|
5,9 C
|
|
Agora tente você provar a recíproca, ou seja, que
Confira aqui sua resposta
|
01.
|
|
|
|
Premissa
|
|
|
|
|
|
02.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
|
|
03.
|
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
04.
|
|
|
|
|
|
3 E
|
05.
|
|
|
|
|
|
5,2 C
|
06.
|
|
|
|
|
3,5 RAA
|
07.
|
|
|
|
|
6 DN
|
08.
|
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
09.
|
|
|
|
|
|
8 E
|
10.
|
|
|
|
|
|
9,2 C
|
11.
|
|
|
|
|
8,10 RAA
|
12.
|
|
|
|
|
11 DN
|
13.
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|
|
|
|
7,12 C
|
14.
|
|
|
|
|
13,1 C
|
15.
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|
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2,14 RAA
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16.
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15 DN
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|
Tente você agora provar a recíprova, ou seja, que
Confira aqui sua resposta
Valendo-se das regras derivadas, prove que:
Resolução dos Exercícios
Agora não temos mais premissas para trabalhar, devemos nos limitar às hipóteses. Algumas estratégias para provar teoremas podem ser traçadas:
Para provar , levante a hipótese e derive dela uma contradição e aplique RAA.
Para provar , levante a hipótese e derive dela uma contradição, aplique RAA e então DN.
- Por regra para condicionais
Para provar , levante o antecedente como hipótese, derive e então aplique RPC.
Para provar , prove e , como explicado acima, e então aplique CB.
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1.
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|
Hipótese
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2.
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1 RAA
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|
1.
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|
|
|
|
Hipótese
|
|
|
|
|
|
|
2.
|
|
|
|
|
1 DM
|
3.
|
|
|
|
1,2 RAA
|
4.
|
|
|
|
3 DN
|
|
|
1.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
|
|
|
|
|
2.
|
|
|
|
|
|
|
Hipótese
|
3.
|
|
|
|
|
|
|
1,2 MP
|
4.
|
|
|
|
|
|
|
3,2 MP
|
5.
|
|
|
|
|
|
2,6 RPC
|
|
|
|
|
|
6.
|
|
|
|
1,7 RPC
|
|
|
01.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
02.
|
|
|
|
|
1 DM
|
03.
|
|
|
|
|
2 S
|
04.
|
|
|
|
|
2 S
|
05.
|
|
|
|
|
|
|
Hipótese
|
06.
|
|
|
|
|
|
|
5 PRF
|
07.
|
|
|
|
|
|
|
4,5 C
|
08.
|
|
|
|
|
|
|
5,7 RAA
|
09.
|
|
|
|
|
|
|
8 DS
|
10.
|
|
|
|
|
|
|
9,3 C
|
|
|
|
|
|
11.
|
|
|
|
1,10 RAA
|
12.
|
|
|
|
11 DN
|
|
|
01.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
|
|
|
|
|
02.
|
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
|
|
|
|
|
|
03.
|
|
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
|
|
|
|
|
04.
|
|
|
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
|
|
|
|
|
05.
|
|
|
|
|
|
|
|
3,2 C
|
06.
|
|
|
|
|
|
|
4,5 RAA
|
07.
|
|
|
|
|
|
|
6 DN
|
08.
|
|
|
|
|
|
3,7 RPC
|
09.
|
|
|
|
|
|
1,8 MP
|
10.
|
|
|
|
|
|
2,9 C
|
11.
|
|
|
|
|
2, 10 RAA
|
12.
|
|
|
|
|
11 DN
|
13.
|
|
|
|
1, 12 RPC
|
|
|
01.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
|
|
|
|
|
02.
|
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
|
|
|
|
|
|
03.
|
|
|
|
|
|
|
Hipótese
|
04.
|
|
|
|
|
|
|
2,3 C
|
05.
|
|
|
|
|
|
|
1,4 MP
|
|
|
|
|
|
|
|
|
06.
|
|
|
|
|
|
3,5 RPC
|
|
|
|
|
|
|
|
07.
|
|
|
|
|
2,6 RPC
|
|
|
|
|
|
08.
|
|
|
|
1,7 RPC
|
|
|
|
|
|
|
|
09.
|
|
|
|
|
Hipótese
|
|
|
|
|
|
|
10.
|
|
|
|
|
|
Hipótese
|
11.
|
|
|
|
|
|
10 S
|
12.
|
|
|
|
|
|
9,11 MP
|
13.
|
|
|
|
|
|
10 S
|
14.
|
|
|
|
|
|
12,13 MP
|
|
|
|
|
|
|
|
15.
|
|
|
|
|
10,14 RPC
|
|
|
|
|
|
16.
|
|
|
|
9,15 RPC
|
17.
|
|
|
|
8,16 CB
|
|
Prove os seguintes teoremas por dedução natural:
Resolução dos Exercícios