Introdução à física/Dinâmica/Decomposição de vetores

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A decomposição de vetores envolve ângulos relacionados aos vetores.

Decomposição de um vetor[editar | editar código-fonte]

A respeito da direção de um vetor relacionado à trajetória, tem-se os seguintes fatos:

  • Se um vetor é paralelo à trajetória, o vetor resultante é equivalente ao próprio vetor;
  • Se um vetor é perpendicular à trajetória, o vetor resultante é igual a zero;
  • Se um vetor está disposto a ângulos diferentes de 0° ou x90° (para ) em relação à trajetória, deve-se realizar a decomposição do vetor.

Sobre um plano inclinado[editar | editar código-fonte]

Conforme as leis postuladas por Newton, pode-se dizer que:

  • Um corpo de massa m possui força peso igual a mg (segunda lei de Newton);
  • A uma superfície em que um corpo aplica uma força, será aplicada uma força contrária de igual intensidade (terceira lei de Newton).
FreeBodyDiagram200509041700.png

Como a força peso (W na imagem) é aplicada pela Terra, esta estará sempre direcionada ao centro do planeta. Portanto, em tais casos, a força peso não é totalmente aplicada na superfície, e parte dela gera movimento, geralmente fazendo os corpos escorregarem. Assim, para se calcular a força que é aplicada na superfície, deve-se considerar um vetor perpendicular ao plano (mgcosθ no diagrama abaixo). Já a força resultante, deve-se considerar um vetor paralelo ao plano (mgsinθ no diagrama).

Free body frictionless.svg

Temos, então, pela simplificação de mg = P:

Onde:

  • FR é a força resultante (paralela à superfície) e que geralmente provoca movimento;
  • P é a força peso (direcionada ao centro do planeta), equivalente a mg (produto da massa pela aceleração gravitacional);
  • N é a força aplicada na superfície (perpendicular à superfície), denominada normal.

Aplicando a terceira lei de Newton, aliada às leis da geometria, a seguinte equação é verdadeira:

E então,

Para os ângulos, temos duas fórmulas que podem ser usadas:

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Um objeto de massa 10 kg é abandonado em uma superfície perfeitamente lista, e que forma o ângulo de 45° com a superfície. Dados: g = 10; cos45° = 0,5√2; sen45° = 0,5√2.

  • a) Qual a força que o objeto exerce sobre a superfície?
  • b) Qual a força resultante?
Pode ser dada por:
E como já se sabe o valor de N, pode-se resolver também por:
  • c) Qual a aceleração do objeto?

Para resultante angular[editar | editar código-fonte]

Vetorresultanteinclinado.png

Já no caso de se ter o vetor (A) em um sentido, mas o vetor resultante (R) é angular (ou vice-versa), pode-se usar uma das fórmulas abaixo. Esses casos não ocorrem necessariamente em um plano inclinado.

E com o vetor A em evidência:
Se o ângulo for desconhecido:

Pode-se considerar, também:

Demonstração[editar | editar código-fonte]

  • a) Em um sistema isolado, um objeto encontra-se encostado a uma rampa perfeitamente lisa, que forma ângulo de 60° com a superfície. Tal objeto adquire energia cinética equivalente a 10 joules, e se move na direção da rampa. Considerando o cosseno de 60 igual a 0,5, qual a energia cinética aproveitada (resultante)?

Decomposição de dois vetores[editar | editar código-fonte]

Pela terceira lei de Newton, podemos ter as seguintes conclusões a respeito de um ângulo em um vetor:

  • Se dois vetores estão na mesma direção e sentido, eles se somam;
  • Se dois vetores estão dispostos a 180° um do outro, subtrai-se os valores dos respectivos vetores.
  • Se dois vetores estão dispostos a ângulos diferentes de 0° ou 180°, utiliza-se a regra do paralelogramo.

Vetor resultante[editar | editar código-fonte]

Pela imagem a seguir, analise a presença de dois vetores, A e B, e de um ângulo α entre estes.

Angulovetores.png

O vetor resultante é dado pela regra do paralelogramo:

E caso se deseje o ângulo:

Quando A = B, e α = 90°, pode-se utilizar uma versão mais simples para a resultante:

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Sobre um objeto, atuam duas forças simultâneas, uma de 2 newtons e outra de 3 newtons. Entre as forças, está um ângulo de 60°. Qual a força resultante? Considere cos 60 = 0,5.

Solução:

Ângulo resultante[editar | editar código-fonte]

Paralelogramovetores.png

Consideraremos como ângulo resultante (θ) o ângulo entre o vetor resultante (R) e o vetor A. Pode ser descoberto pela seguinte fórmula:

Quando A = B, pode-se descobrir o ângulo da resultante, também, por:

Vetor em evidência[editar | editar código-fonte]

Você já viu o modo em que se deixa R, α e θ em evidência. Mas como deixar A ou B em evidência? Através da lei dos senos, chegaremos a uma das seguintes fórmulas:

E caso A = B e α = 90:

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Atuam em um corpo duas força (A e B) simultaneamente e no mesmo plano. Tais forças estão dispostas a 60° uma da outra, e a resultante (equivalente a 10 newtons) está disposta a 30° da força A. Qual a intensidade da força A? Considere o seno de 30° igual a 0,5 e o seno de 120° igual a 0,5 √3.

Decomposição de vários vetores[editar | editar código-fonte]

Por fórmulas conjuntas[editar | editar código-fonte]

3vetores.png

Quando temos vários vetores, devemos aplicar as fórmulas anteriores conjuntas. Na figura acima, temos três vetores (A, B e C). Para descobrirmos a resultante dos três vetores, consideraremos, primeiramente, dois vetores (A e B) e calculemos a resultante destes (R1 na figura). Depois, consideremos R1 como um vetor e calculemos a resultante com C, e finalmente obteremos o resultado. Como usaremos incógnitas para o problema, as fórmulas a seguir, podem, sim, serem utilizadas para qualquer valor, desde que haja três vetores.

  • I - A resultante de A e B, R1, é dada por:
  • II - Utilizando I, podemos descobrir o ângulo da resultante R1 (θ):
  • III - Descubramos o ângulo que R1 faz com C:
  • IV - Consideraremos R1 como vetor, e calculemos a resultante total com C (utilizando o ângulo em III):

E esta é a resultante dos vetores.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Sobre um objeto são aplicadas três forças simultâneas, A, B e C, de módulos 6, 10 e 16 newtons, respectivamente. O ângulo que A forma com B é equivalente a 60°, enquanto que B forma ângulo de graus com C. Qual a resultante das forças? Considere o cosseno de 60° igual a 0,5, e o seno de 120° a .

  • I)
  • II)
  • III)
  • IV)

Assim, a resultante das forças é 26 newtons.

Pelo teorema de Lammy[editar | editar código-fonte]

Pelo teorema de Lammy, se tem um metódo muito prático para cálulo. Este é utilizado para o equilíbrio dos corpos rígidos. Neste, se faz o uso da lei dos senos. Veja, abaixo, seu funcionamento. Utilizaremos as mesmas incógnitas que o caso acima.

Você deve notar que:

  • Não há resultante no cálculo, logo, este teorema somente deve ser aplicado quando R = 0;
  • Como o teorema é baseado na lei dos senos, é inadimissível haver determinada quantidade de vetores, senão três.

Aplicação na dinâmica[editar | editar código-fonte]

A decomposição de vetores é essencial na maioria de questões de dinâmica. Para que se consiga uma relação que obedeça a terceira lei de Newton, geralmente se decompõe as forças na mesma direção da aceleração ou perpendicular a ela, por simplicidade de cálculos, pois caso contrário, seria necessário decompor também a aceleração.

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Você pode fazer exercícios sobre decomposição de vetores clicando aqui.