Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Corda interceptada por lado de triângulo eqüilátero

O problema

Considere um triângulo eqüilátero ABC, inscrito em um círculo de raio R. Os pontos M e N são, respectivamente, os pontos médios do arco menor AC e do segmento BC. Se a reta que contém MN também intercepta a circunferência desse círculo no ponto P, P ≠ M, então calcule a medida do segmento NP em função de R.

Uma solução

Inicialmente, vamos atentar para a figura que podemos elaborar a partir das informações do enunciado:

Imagem ilustrativa.

O problema pede o comprimento de NP em função de R. Vamos então, antes de partir para esse segmento, calcular o valor do lado do triângulo ABC em função de R, pois vamos precisar desse dado.

Como foi dito que ABC é um triângulo eqüilátero, o raio da circunferência circunnscrita a ele em função de seu lado é:

$R={\frac {l.{\sqrt {3}}}{3}}$

Então vamos desenvolver um pouco essa expressão para encontrar o lado do referido triângulo em função de R:

$l={\frac {3R}{\sqrt {3}}}={3R{\sqrt {3}}}{3}=R{\sqrt {3}}$

Agora podemos seguir com o segmento NP. Note que os segmentos MN e BC podem ser considerados cordas da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, que se interceptam no ponto P. Sendo assim, atentemos para o seguinte enunciado:

"Se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam em um ponto P dentro da circunferência, então o produto das medidas das duas partes de uma corda é igual ao produto das medidas das duas partes da outra corda."

Sendo assim, podemos escrever:

$(MN).(NP)=(BN).(NC)$

Como o ponto N é o ponto médio do segmento BC, temos que:

$BN=NC={\frac {R{\sqrt {3}}}{2}}$

Portanto:

$(MN).(NP)=\left({\frac {R{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{2}={\frac {3R^{2}}{4}}$....(I)

Agora, vamos atentar para o triângulo BNM. Note que, como o segmento BM é a bissetriz de um triângulo eqüilátero, o ângulo MBN é igual a 30°. Como conhecemos os dois lados adjacentes a um ângulo (BN e BM, em relação ao ângulo MBN), conhecemos o cosseno desse ângulo e queremos a medida do segmento oposto a esse ângulo (no nosso caso, o segmento MN), podemos utilizar a Lei dos Cossenos:

$(MN)^{2}=4R^{2}+{\frac {3R^{2}}{4}}-2.2R.{\frac {R{\sqrt {3}}}{2}}.{\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$(MN)^{2}=4R^{2}+{\frac {3R^{2}}{4}}-3R^{2}$

$(MN)^{2}={\frac {7R^{2}}{4}}$

$(MN)={\frac {R{\sqrt {7}}}{2}}$....(II)

Agora, podemos substituir (II) em (I) e, finalmente, obter o comprimento do segmento NP em função de R:

$(NP).\left({\frac {R{\sqrt {7}}}{2}}\right)={\frac {3R^{2}}{4}}$

$NP=\left({\frac {3R^{2}}{4}}\right).\left({\frac {2}{R{\sqrt {7}}}}\right)$

$NP={\frac {3R}{2{\sqrt {7}}}}={\frac {3R{\sqrt {7}}}{14}}$

E assim terminamos o problema.

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Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.