Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Área do triângulo interior a outro triângulo, interior ao quadrado

Descrição do problema

O vértice $E$ de um triângulo eqüilátero $ABE$ está no interior de um quadrado $ABCD$, e $F$ é o ponto de interseção da diagonal ${\overline {BD}}$ e o lado ${\overline {AE}}$. Se a medida de ${\overline {AB}}$ é igual a ${\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}$ , então calcule a área do triângulo $BEF$.

Uma solução

Como em todo problema de Geometria Plana, é possível montar uma figura para auxiliar o entendimento do problema.

Figura 1

Antes de mais nada, vamos traçar uma reta perpendicular ao lado AB (que intercepta esse lado no ponto H) e outra perpendicular ao lado BE (interceptando BE no ponto G), ambas passando pelo ponto F. Assim, podemos montar a segunda imagem:

Figura 2

Note que a área do triângulo BEF pode ser encontrada através da fórmula clássica $A={\frac {b.h}{2}}$, com base igual ao lado do quadrado (número já fornecido) e altura a ser calculada. Então, vamos aos cálculos!

Inicialmente, vamos trabalhar com os ângulos. Note que os triângulos $AHF$ e $FGE$ são semelhantes, pois:

$F{\hat {A}}H=G{\hat {E}}F=60$º

$A{\hat {H}}F=F{\hat {G}}E=90$º

$H{\hat {A}}F=E{\hat {F}}G=30$º

Olhe ainda os ângulos:

$A{\hat {F}}D=105$º

$F{\hat {D}}A=45$º

$D{\hat {A}}F=30$º

Pelo Teorema de Tales, o ângulo $A{\hat {F}}H$ é igual ao ângulo $E{\hat {F}}B$. Como o ângulo $E{\hat {F}}G=30$º, tem-se que o ângulo $G{\hat {F}}B=75$º. Logo, o ângulo $B{\hat {F}}H=45$º (note que $B{\hat {F}}H+G{\hat {F}}B=120$º) e, portanto, o ângulo $H{\hat {B}}F=45$º. Agora, provamos que o triângulo $FHB$ é isósceles, com ${\overline {HF}}={\overline {HB}}$.

Agora podemos usar um pouco de trigonometria. Mas, antes, algumas notações:

${\overline {AB}}=l$

${\overline {AF}}=a$

${\overline {FE}}=a'=l-a$

${\overline {AH}}=b$

${\overline {GE}}=b'$

${\overline {HF}}=c$

${\overline {FG}}=c'=$ altura do triângulo $BFE$

${\overline {HB}}=c=l-b$

Pela trigonometria no triângulo retângulo, $c={\frac {a.{\sqrt {3}}}{2}}$ e $b={\frac {a}{2}}$. Logo:

$l-b=c\rightarrow l-{\frac {a}{2}}={\frac {a.{\sqrt {3}}}{2}}\rightarrow 2l=a\left({\sqrt {3}}+1\right)\rightarrow a={\frac {2l}{{\sqrt {3}}+1}}\rightarrow a={\frac {2l}{{\sqrt {3}}+1}}.{\frac {{\sqrt {3}}-1}{{\sqrt {3}}-1}}\rightarrow$ $a={\frac {2l\left({\sqrt {3}}-1\right)}{2}}\rightarrow a=l\left({\sqrt {3}}-1\right)$

Agora a altura:

$c'=h={\frac {a'{\sqrt {3}}}{2}}\rightarrow h={\frac {\left(l-a\right){\sqrt {3}}}{2}}\rightarrow h={\frac {\left(l-l{\sqrt {3}}+l\right){\sqrt {3}}}{2}}\rightarrow h={\frac {\left(2l-l{\sqrt {3}}\right){\sqrt {3}}}{2}}\rightarrow$

$h={\frac {\left(2l{\sqrt {3}}-3l\right)}{2}}\rightarrow h={\frac {l\left(2{\sqrt {3}}-3\right)}{2}}$

Finalmente, a área do triângulo $BFE$:

$A={\frac {b.h}{2}}={\frac {l}{2}}.{\frac {l\left(2{\sqrt {3}}-3\right)}{2}}={\frac {l^{2}\left(2{\sqrt {3}}-3\right)}{4}}$

Como $l^{2}={\sqrt {3}}+1$:

$A={\frac {\left({\sqrt {3}}+1\right)\left(2{\sqrt {3}}-3\right)}{4}}={\frac {\left(6-3{\sqrt {3}}+2sqrt{3}-3\right)}{4}}={\frac {\left(3-{\sqrt {3}}\right)}{4}}$

E termina-se o problema.

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