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Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Área do triângulo interior a outro triângulo, interior ao quadrado

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Descrição do problema[editar | editar código-fonte]

O vértice de um triângulo eqüilátero está no interior de um quadrado , e é o ponto de interseção da diagonal e o lado . Se a medida de é igual a , então calcule a área do triângulo .

Uma solução[editar | editar código-fonte]

Como em todo problema de Geometria Plana, é possível montar uma figura para auxiliar o entendimento do problema.

Figura 1

Antes de mais nada, vamos traçar uma reta perpendicular ao lado AB (que intercepta esse lado no ponto H) e outra perpendicular ao lado BE (interceptando BE no ponto G), ambas passando pelo ponto F. Assim, podemos montar a segunda imagem:

Figura 2

Note que a área do triângulo BEF pode ser encontrada através da fórmula clássica , com base igual ao lado do quadrado (número já fornecido) e altura a ser calculada. Então, vamos aos cálculos!

Inicialmente, vamos trabalhar com os ângulos. Note que os triângulos e são semelhantes, pois:

º

º

º

Olhe ainda os ângulos:

º

º

º


Pelo Teorema de Tales, o ângulo é igual ao ângulo . Como o ângulo º, tem-se que o ângulo º. Logo, o ângulo º (note que º) e, portanto, o ângulo º. Agora, provamos que o triângulo é isósceles, com .

Agora podemos usar um pouco de trigonometria. Mas, antes, algumas notações:

altura do triângulo

Pela trigonometria no triângulo retângulo, e . Logo:

Agora a altura:

Finalmente, a área do triângulo :


Como :



E termina-se o problema.


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