Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Ângulos na circunferência 1

O problema

Os pontos A, B e C pertencem a uma circunfrência de centro O. Sabe-se que OA é perpendicular a OB e forma com BC um ângulo de 70°. Então, calcule a medida do ângulo formado pelo prolongamento da reta OA e pela reta tangente à circunferência no ponto C.

Solução

Primeiramente, montemos uma figura com as informações do enunciado:

Na imagem, $\alpha =70{\text{°}},$ $\beta$ é o ângulo pedido pelo problema, Y é ponto de intersecção de BC e OA e D é o ponto de encontro do prolongamento do segmento OA com a reta tangente à circunferência que passa por C.

Como OB é perpendicular a OA, o ângulo AOB = 90° e, conseqüentemente, o ângulo OBY = 20°. Agora, atente para o triângulo OBC. O ângulo OBC é igual ao ângulo OBY (pois o comprimento dos segmentos que formam um ângulo não altera a medida deste) que vale 20°. Esse ângulo OBC está oposto ao raio da circunferência. Note que o ângulo BCO também é oposto ao raio da circunferência. Então, pela Lei dos Senos, BCO = OBC = 20°. Portanto, o ângulo COB = 140°.

Se o ângulo COB = 140°, o ângulo COY = 50° (140° - 90° = 50°). Agora, vamos voltar nossos olhos ao triângulo ODC. Sabe-se que uma reta tangente a um circunferência forma um ângulo reto com o raio desta. Então, como a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180°, e os ângulos COY e DCO valem, respectivamente, 50° e 90°, temos, finalmente, que o ângulo $\beta =40{\text{°}}.$

Solução alternativa

Usando o mesmo raciocínio inicial, uma vez determinado que OBC mede 20°, note que o ângulo alpha (70°) , formado por BC e OA tem o ângulo oposto de igual valor. Logo, os demais ângulos formados por esses mesmos seguimentos (BC e OA) são de 110°( 360° - 2 x 70°)/2 ). Concluímos então que o ângulo AOC = 50° ( 180° - 110° - 20°) e, consequentemente, o ângulo ODC, pedido, é 40° (180° - 90° - 50°), pois CD é tangente, fazendo o ângulo OCD = 90°.

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