Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Ângulo interior ao pentágono

O problema

De um pentágono ABCDE, sabe-se que ${\overline {AB}}={\overline {BC}}$ e que ${\overline {CD}}={\overline {DE}}$. Calcule o valor do ângulo $M{\hat {B}}D$, sabendo que M é o ponto médio de ${\overline {AE}}$ e que o ângulo $C{\hat {D}}E=A{\hat {B}}C=90^{\circ }$.

Uma solução

Pelo enunciado do problema podemos montar a seguinte figura:

Agora, traça-se um segmento de reta que une os pontos C e E e outra reta, paralela à reta que une os pontos B e M. Sejam ainda os pontos F (intersecção de BD com CE), G (intersecção de BD com a reta paralela a BM), H (intersecção da reta paralela a BM com CE) e o ângulo $\theta$ (o ângulo MBD). Obtém-se então a seguinte figura:

Percebe-se pela imagem acima que os ângulos FGH e $\theta$ são iguais (ambos são colaterais externos, de acordo com o Teorema de Tales). Podemos ainda utilizar o seguinte procedimento: traça-se um arco de circunferência, com raio FH, ligando o ponto H ao segmento DF; outro arco, de raio FG, conectando o ponto G ao segmento CF. Os pontos onde os arcos encontram os lados DF e CF formarão exatamente os pontos H e G, mas agora superpostos ao triângulo CDF. Então, ligue esses pontos com um segmento de reta e você terá agora o triângulo FGH, superposto ao CDF. Dessa maneira fica evidente que eles são semelhantes. E como semelhantes, teremos que o ângulo FGH será igual ao ângulo FCD. Como o enunciado nos informou que o ângulo CDE é reto e que os segmentos CD e DE são iguais, infere-se que o triângulo CDE é isósceles, com ângulos valendo 90°, 45° e 45°. Como o ângulo FCD vale 45°, o ângulo FGH também vale 45° e, voilà, $\theta =45^{\circ }$.

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