Guia de problemas matemáticos/Equações e inequações/Os ciclistas

O problema

Dois ciclistas, com velocidades constantes, porém diferentes, deslocam-se em uma estrada retilínea que liga os pontos A e B. Partem de A no mesmo instante e quando alcançam B, retornam a A, perfazendo perfazendo o movimento A - B - A - B, uma única vez. Quando o mais veloz alcança o ponto B, pela primeira vez, retorna no sentido A, encontrando o outro a 4 km de B. Quando o mais lento atinge o ponto B, retorna imediatamente e reencontra, no meio do percurso, o outro que está vindo de A. Desprezando o tempo gasto em cada mudança de sentido de percurso, calcule, em quilômetros, a distância entre os pontos A e B.

Uma solução

O enunciado nos informou que os ciclistas têm velocidade constante. Então, eles possuem a mesma velocidade em qualquer ponto do percurso (sua velocidade média não se altera). Para resolvermos esse problema, vamos utilizar a famosa equação da velocidade média:

$v={\frac {d}{t}}$ ,

Na qual v é a velocidade média, d é a distância percorrida e t é o tempo gasto para percorrer essa distância d.

Agora, vamos à solução propriamente dita. Chamaremos o ciclista mais veloz de 1 e o mais lento de 2. Vamos utilizar ainda a notação D para simbolizar a distância entre A e B.

Inicialmente, se o ciclista 1 foi a B e, a 4 km desse ponto, encontrou 2, ele percorreu D + 4 km. Na mesma variação de tempo, o ciclista 2, como ainda precisa percorrer 4 km para completar a distância D (ou seja, chegar a B), percorreu S - 4 km. Então:

$t_{1}=t_{2}\longrightarrow {\frac {v_{1}}{d_{1}}}={\frac {v_{2}}{d_{2}}}\longrightarrow {\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {d_{1}}{d_{2}}}$

Vamos agora substituir os dados encontrados:

${\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {D+4}{D-4}}$ (I)

Vamos agora utilizar o segundo conjunto de informações. Se, após atingir o ponto B, o ciclista 2 reencontra A no meio do percurso, então B percorreu 1,5D (D para ir de A a B e 0,5D para ir até o meio do caminho). Na mesma variação de tempo, o ciclista 1 saiu de A, chegou a B, retornou a A e foi até o meio do percurso. Portanto ele percorreu 2,5D(foi de A a B uma vez, de B a A uma vez e de A até o meio do caminho). Substituindo esses dados na relação entre as velocidades que encontramos acima:

${\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {2,5D}{1,5D}}={\frac {25}{15}}={\frac {5}{3}}$ (II)

Agora podemos igualar (I) e (II):

${\frac {D+4}{D-4}}={\frac {5}{3}}\longrightarrow 5D-20=3D+12\longrightarrow 2D=32\longrightarrow D=16Km$

E terminamos o problema.

Solução Alternativa

Como a velocidade dos ciclistas são constantes,podemos usar regra de três para resolver o problema,pois existirá uma razão de proporção entre o tanto que cada um percorre em relação ao outro.Observe o esquema: x=distância de A para B

                         V1                   V2
Percorrido:              x+4------------------x-4
Percorrido:             5x/2-----------------3x/2(podemos simplificar para 5x---------------3x)

Multiplicando cruzado: 3x(x+4)=5x(x-4)------------->2x²-32x=0------------------->2x(x-16)=0

Como x=0 não convém,a solução só pode ser x=16km

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Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.