Guia de problemas matemáticos/Equações e inequações/Número de soluções inteiras para a inequação 3

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O problema[editar | editar código-fonte]

Se x é um número inteiro tal que , então calcule o número de elementos do conjunto solução dessa inequação.

Uma solução[editar | editar código-fonte]

De início, precisamos ter em mente o seguinte: é impossível extrair a raiz quadrada de números negativos. Portanto, primeiramente, precisamos estabelecer a relação que x deve satisfazer para tornar viável a extração da raiz quadrada da operação interior ao radical. Então:



Perceba aqui que o coeficiente de é positivo, então a parábola tem concavidade voltada para cima. Para que essa operação admita valor nulo ou positivo, os números x que a satisfazem não podem estar entre suas raízes. Vamos encontrar suas raízes então:





Então, o intervalo real que satisfará essa primeira relação é:

....(I)


Agora, devemos levar em consideração o seguinte fato: um número real positivo possui como raizes quadradas um número positivo e outro negativo (a não ser que ele possua uma raiz nula). Como nesse problema o segundo membro, que está submetido a uma relação com a raiz quadrada de um número, deve ser maior que essa raiz quadrada, ele deve ser nulo (para o caso de a raiz quadrada também ser nula) ou positivo. Transmitindo isso matematicamente:


....(II)


Nós calculamos, então, as seguintes restrições para x: proporcionar um número maior ou igual a 0 dentro do radical e fazer com que a operação x + 1 também seja maior ou igual a 0. Como todas as restrições devem ser obedecidas, precisamos interseccionar esses dois intervalos encontrados. Portanto, até agora, temos que x deve ser maior ou igual a 1, ou seja, .

Agora, partamos para a inequação propriamente dita. Podemos resolvê-la elevando ao quadrado os dois membros da desigualdade inicial:



Note que temos uma inequação de 2º Grau em x, com o coefciente de sendo positivo. Então, a concavidade da parábola correspondente é voltada para cima. Logo, a solução que procuramos está entre as raízes da equação correspondente(quando o gráfico da parábola passa em cima ou abaixo do eixo das abcissas). Precisamos então encontrar as raízes dessa equação:




Acabamos de encontrar o valor para o qual x satisfaz a relação inicial, ou seja, mais uma restrição para o mesmo. Então, basta interseccionar S2 com S3 que obeteremos a solução final:



Assim sendo, nesse intervalo final temos apenas dois números inteiros: 1 e 2.

E assim terminamos o problema.


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Agradecimentos[editar | editar código-fonte]

  • A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.