Mostrar código-fonte de Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2)

<div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I'''''</div>

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== Trigonométricas II ==

Esta seção é a continuação do estudo trigonométrico, iniciado no capítulo anterior, que foi criada após o aumento progressivo do conteúdo.

=== Tangente e secante ===

Quando definimos o seno e o cosseno fizemos a referência a seu significado no ciclo trigonométrico, da mesma forma introduziremos a tangente neste momento. Como já vimos anteriormente a derivada é uma função que representa a declividade de uma curva, da mesma forma podemos definir a tangente, pois essencialmente, ela representa a declividade do ciclo para cada ângulo em particular, ou seja, se traçarmos uma reta orgononal a cada ponto do ciclo trigonométrico e relacionarmos ao ângulo que forma com o eixo ''x'', teremos retas com declividades iguais às tangentes desses ângulos. Como cada ponto do ciclo é definido por <math>[\cos(\alpha),\ \mbox{sen}(\alpha)]</math> e o valor inicial <math>(\Delta x)</math> é sempre nulo, temos um valor de declividade tal que:

<math>\ \mbox{tg}(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>

que é:

 <math>\ \mbox{tg}(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}</math>

{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\tan x\ ,\ \sec x</math> ou <math>\tan (x)\ ,\ \sec (x)</math> para representação de tangente e secante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}}

Desta forma também podemos concluir que a tangente é a representação do cateto oposto ao ângulo quando mantemos o cateto adjacente constante e unitário, cosiderando este ponto de vista, qual seria o valor da hipotenusa? 

Para definir ''h'', a hipotenusa, façamos :

<math>h^2 (x)= 1^2 + \ \mbox{tg}^2 (x) </math>

<math>h^2 (x)= 1^2 + \frac{\ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)} </math>

<math>h^2 (x)= \frac{\cos^2 (x) + \ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)} </math>

Da identidade relacional temos:

<math>h^2 (x)= \frac{1}{\cos^2 (x)} </math>

portanto:

<math>h(x)= \frac{1}{\cos(x)} </math>

Este valor é o que chamamos de '''secante''', que é outra função importante para o estudo trigonométrico, então podemos dizer que:

 <math>\sec(x)= \frac{1}{\cos(x)} </math>

Nas próximas seções veremos que a secante mantém íntimas ralações com a tangente.

==== Identidades (2)====

Como definimos as identidades entre seno e cosseno, incluiremos as identidades que incluem tangente e secante nesta seção, todas são algebricamente dedutíveis e intercambiaveis.

==== I-14 Relacionando tangente e secante ====

Seja ''x'' uma variável que expressa o ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico, entre <math>\ \mbox{tg}(x)\ e\ \sec(x)</math> podemos afirmar que:

 <math>1 + \ \mbox{tg}^2(x)=\sec^2(x) </math>

Conforme visto nos conceitos iniciais logo acima, a relação é conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente e secante.

==== I-15 Tangente da diferença ====

Sendo ''a'' e ''b'' dois ângulos no ciclo trigonométrico:

 <math>\ \mbox{tg}(a-b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} </math>

'''Comprovação:'''

Considerando a definição da tangente temos:

<math>\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\ \mbox{sen}(a-b)}{\cos(a-b)}</math>

<math>\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\ \mbox{sen}(a)\cos(b)-\ \mbox{sen}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)+\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}</math>

<math>\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)}}
{\frac{\cos(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}+\frac{\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}</math>

<math>\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}}
{1+\frac{\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}</math>

<math>\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}}
{1+\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}}</math>

Resultando em:

<math>\ \mbox{tg}(a-b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} </math>

O que comprova a identidade.

==== I-16 Tangente da soma ====

 <math>\ \mbox{tg}(a+b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)+\ \mbox{tg}(b)}{1-\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} </math>

'''Comprovação:'''

Admitamos <math>b = - b</math> e teremos pela tangente da diferença:

<math>\ \mbox{tg}(a-(-b))=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(-b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(-b)} </math>

Considerando que a tangente é:

<math>\ \mbox{tg}(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} </math>

E que o seno é determinante para o sinal enquanto o cosseno não é, concluímos que o sinal da tangente é igual ao da variável, tal qual se comporta o seno, logo:

<math>\ \mbox{tg}(a+b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)+\ \mbox{tg}(b)}{1-\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} </math>

O que comprova a identidade.

==== Derivada da tangente ====

Seja <math>f(x)=\ \mbox{tg}(x)</math>, uma função contínua em <math>\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ) </math>, visto que <math>\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ \mbox{tg}(x)\quad \not\exists </math>, o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:

<math>f(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} </math>

logo, pela [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]:

<math>f\ '(x)=\frac{\cos(x)\cos(x)-\ \mbox{sen}(x)[-\ \mbox{sen}(x)]}{\cos^2 (x)}</math>

<math>f\ '(x)=\frac{\cos^2 (x)+\ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)}</math>

<math>f\ '(x)=\frac{1}{\cos^2 (x)}</math>

Portanto:

 <math>f\ '(x)=\sec^2 (x)</math>

==== Derivada da secante ====

Seja <math>f(x)=\sec(x)</math>, uma função contínua em <math>\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ) </math>, visto que <math>\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sec(x)\quad \not\exists </math>, o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:

<math>f(x) = \frac{1}{\cos(x)} </math>

logo, pela [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]:

<math>f\ '(x) = \frac{\cos(x) \cdot (0) - 1 \cdot (-\ \mbox{sen}(x))}{\cos^2 (x)}</math>

<math>f\ '(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos^2 (x)}</math>

<math>f\ '(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{1}{\cos(x)}</math>

O que nos revela:

 <math>f\ '(x) = \ \mbox{tg}(x)\sec(x) </math>

==== Integral da tangente ====

Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{tg}(x) </math>, definida contínua no intervalo onde seus valores estão sendo considerados, podemos deduzir que:

<math>F(x)= \int \ \mbox{tg}(x) dx</math>

<math>F(x)= \int \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} dx</math>

Por outro lado, se:

<math>u=\cos(x) </math>

<math>du=-\ \mbox{sen}(x)dx </math>

O que nos possibilita afirmar que:

<math>F(x)= - \int \frac{du}{u}</math>

<math>F(x)= - \ln|\cos(x)| </math>

<math>F(x)=  \ln \left|\frac{1}{\cos(x)} \right| </math>

Portanto:

 <math>F(x)= \ln|\sec(x)| + C </math>

==== Integral da secante ====

Seja a função <math>f(x)=\sec(x)</math>, dizemos que sua integral é a função <math>F(x)</math> e podemos deduzí-la através de substituições algébricas como segue:

<math>F(x)=\int \sec(x) dx </math>

multiplicando e dividindo <math>\sec(x) + \ \mbox{tg}(x)</math>:

<math>F(x)=\int \frac{\sec^2(x)+\sec(x)\ \mbox{tg}(x)}{\sec(x)+\ \mbox{tg}(x)} dx</math>

Por outro lado, se:

<math>u = \sec(x) + \ \mbox{tg}(x)</math>,

<math>du = [\sec(x)\ \mbox{tg}(x) + \sec^2(x)]dx</math>

logo, por substituição, temos:

<math>\int \frac{du}{u} </math>, sendo <math>u = \sec(x) + \ \mbox{tg}(x)</math>, o que nos permite fazer:

<math>F(x)= \ln |u|</math>

Portanto:

 <math>F(x)=\ln|\sec(x) + \ \mbox{tg}(x)| + C </math>

=== Cotangente e cossecante ===

Considerando a semelhança entre as definições das funções trigonométricas até aqui abordadas, observamos que para cada função, curiosamente há uma "co-função", assim como temos um seno e um "co-seno" temos uma tangente e uma "co-tangente". A função  
cotangente é definida tal qual a analogia adotada antes para seno e cosseno; podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo ''y'' e as "co-funções" estão relacionadas ao eixo ''x'', a imagem de um ponto no ciclo trigonométrico a partir do eixo ''x'' é o cosseno do ângulo e o seno é a imagem do mesmo ponto vista pelo eixo ''y''. Para verificar essa relação observe o gráfico:

[[Imagem:Circunferência trigonométrica.svg|400px]]

'''Figura 8'''

Se nós fizermos a mesma observação entre tangente e cotangente concluiremos que a tangente é a imagem deste ponto do ciclo trigonométrico no eixo paralelo ao eixo ''y'' traçado a partir da coordenada (1,0) e a cotangente é a sua "co-função" que espelha o ponto no eixo paralelo ao eixo ''x'' na coordenada (0,1). 
Segundo o mesmo critério de analogia podemos dizer que a função cossecante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a cotangente relacionada a um ponto do ciclo, da mesma forma que a secante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a tangente do mesmo ponto.

Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que:

<math>\frac{1}{\ \mbox{cotg}(x)}=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}</math>

O que nos revela:

 <math>\ \mbox{cotg}(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}</math>

{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\cot x\ ,\ \csc x</math> ou <math>\cot (x)\ ,\ \csc (x)</math> para representação de cotangente e cossecante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}}

Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação:

<math>\frac{1}{\ \mbox{cosec}(x)}=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{cotg}(x)}</math>

<math>\frac{1}{\ \mbox{cosec}(x)}=\cos(x)\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}</math>

Que define a cossecante como:

 <math>\ \mbox{cosec}(x)=\frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}</math>

 
====Identidades (3) ====

Algumas identidades são conseqüentes das definições, apresentamos as mais usuais que poderão ser úteis nos demais capítulos deste livro, as identidades, de modo geral, são altamente intercambiáveis devido a natureza cíclica das funções trigonométricas, no nosso estudo abordamos as mais utilizadas.

'''Conseqüentes das definições:'''

 <math>\ \mbox{sen}(x)\ \mbox{cosec}(x)=1</math>
 
 <math>\cos(x)\sec(x)=1 </math>
 
 <math>\mbox{tg}(x)\ \mbox{cotg}(x)=1</math>
 

==== Derivada da cotangente ====

Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cotg}(x)</math>, considerando que:

<math>f(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}</math>

Novamente usamos a regra da [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]:

<math>f\ '(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)[-\ \mbox{sen}(x)]-\cos(x)\cos(x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}</math>

<math>f\ '(x)=-\frac{\ \mbox{sen}^2 (x)+cos^2 (x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}</math>

<math>f\ '(x)=-\frac{1}{\ \mbox{sen}^2 (x)}</math>

Portanto:

 <math>f\ '(x)=-\ \mbox{cosec}^2 (x)</math>

==== Derivada da cossecante ====

Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cosec}(x)</math>, considerando que:

<math>f(x)=\frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}</math>

Novamente usamos a regra da [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]:

<math>f\ '(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)\cdot 0 - 1 \cdot \cos(x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}</math>

<math>f\ '(x)=\frac{-\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)} \cdot \frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}</math>

Portanto:

 <math>f\ '(x)=-\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)</math>

==== Integral da cotangente ====

Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cotg}(x)</math>, considerando que:

<math>f(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}</math>

Sua integral é:

<math>F(x)=\int \ \mbox{cotg}(x) dx </math>

<math>F(x)=\int \frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)} dx </math>

Sendo <math>u=\ \mbox{sen}(x)</math>:

<math>du= \cos(x) dx</math>

Logo:

<math>F(x)=\int \frac{du}{u}</math>

E, por substituição:

 <math>F(x)=\ln|\ \mbox{sen}(x)| + C </math>

==== Integral da cossecante ====

Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cosec}(x)</math>,

Sua integral é:

<math>F(x)=\int \ \mbox{cosec}(x) dx </math>

Sendo <math>u=\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)</math>:

<math>du= [-\ \mbox{cosec}^2 (x)+\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)]dx</math>

Podemos então multiplicar e dividir ''u'' na equação da integral anterior:

<math>F(x)=\int \frac{-\ \mbox{cosec}^2 (x)+\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)}{\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)} dx </math>

Logo:

<math>F(x)=\int \frac{du}{u}</math>

E, por substituição:

 <math>F(x)=\ln|\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)| + C </math>

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== Inversas das trigonométricas ==

O conjunto de equações até o momento abordadas nos trazem uma nova questão: Quais as funções que nos permitem encontrar o ângulo a partir do resultado de uma função trigonométrica?

A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a '''<math>arcfunc(x)</math>''' é aquela que retorna o valor do arco cuja função resulta em ''x''.

=== arcseno e arccosseno ===

Conforme o anteriormente exposto, temos que encontrar as funções que nos dão o valor do arco que forma um seno ''x'' e o arco que forma um cosseno ''x'', para isto cabe uma observação:

#:O seno e o cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes, devido a característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em <math>(- \infty , \infty)</math>, portanto não existem as funções inversas do seno e cosseno neste intervalo.

O exposto nos obriga a limitar o intervalo do seno e do cosseno dentro de uma faixa que possibilite encontrar apenas um arco para cada valor, é necessário que escolhamos um intervalo onde as funções sejam monótonas. Considerando a função seno dentro da faixa: <math>\left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] </math>, podemos dizer que a condição de inversibilidade é satisfeita, da mesma forma a função cosseno dentro da faixa: <math>\left [0,\pi\right ] </math> também apresenta valores únicos para cada arco tomado.

Assim, dizemos que:

 <math>y=\ \mbox{arcsen}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\ \mbox{sen}(y) \land  y \in\ \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] </math>

Da mesma forma que:

 <math>y=\ \mbox{arccos}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\cos(y) \land  y \in\ \left [0,\pi\right ] </math>

{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\sin^{-1} x\ ,\ \cos^{-1} x</math> ou <math>\sin^{-1} (x)\ ,\ \cos^{-1} (x)</math> ou <math>\arcsin x\ ,\ \ \mbox{arccos} x</math> ou ainda <math>\arcsin (x)\ ,\ \ \mbox{arccos} (x)</math>para representação de arcseno e arccosseno respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}}

==== Derivadas do arcseno e arccosseno ====

Seja a função <math>y=\ \mbox{arcsen}(x) </math>, sendo a sua inversa:

<math>x=\ \mbox{sen}(y)</math>,

podemos operá-la desta forma:

<math>dx=\cos(y)dy</math>

<math>\frac{dx}{dy}=\cos(y)</math>,

Por outro lado:

<math>\ \mbox{sen}^2(y)+\cos^2(y)=1</math>

<math>\cos(y)=\sqrt{1-\ \mbox{sen}^2(y)}</math>

<math>\cos(y)=\sqrt{1-x^2}</math>

O que nos dá:

<math>\frac{dx}{dy}=\sqrt{1-x^2}</math>,

Logo:

 <math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

Ainda temos que a função <math>z=\ \mbox{arccos}(x)</math>, sendo a sua inversa:

<math>x=\cos(z)</math>,

podemos operá-la desta forma:

<math>dx=-\ \mbox{sen}(z)dz</math>

<math>\frac{dx}{dz}=-\ \mbox{sen}(z)</math>,

Por outro lado:

<math>\ \mbox{sen}^2(z)+\cos^2(z)=1</math>

<math>\ \mbox{sen}(z)=\sqrt{1-\cos^2(z)}</math>

<math>\ \mbox{sen}(z)=\sqrt{1-x^2}</math>

O que nos dá:

<math>\frac{dx}{dz}=-\sqrt{1-x^2}</math>,

Logo:

 <math>\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

==== Integrais do arcseno e arccosseno ====

Para integração das funções arcseno e arccosseno, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema.

=== Arctangente e arccotangente ===

Definimos a função:

 <math>y=arctg(x)</math>,

arctangente de ''x'', como a inversa da função:

 <math>x=tg(y)</math>, 

{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\tan^{-1} x\ ,\ \cot^{-1} x</math> ou <math>\tan^{-1} (x)\ ,\ \cot^{-1} (x)</math> ou <math>\arctan x\ ,\ \arccot x</math> ou ainda <math>\arctan (x)\ ,\ \arccot (x)</math>para representação de arctangente e arccotangente respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}}

tangente de ''y'', para todo o intervalo <math>(-\infty, \infty)</math>, porque no mesmo há apenas um valor de tangente para cada arco.

Do mesmo modo podemos definir a função:

 <math>z=arccotg(t)</math>,

arccotangente de ''t'', como a inversa da função:

 <math>t=cotg(z)</math>,

cotangente de ''z'', para todo o intervalo <math>(-\infty, \infty)</math>, porque no mesmo há apenas um valor de cotangente para cada arco.

==== Derivadas da arctangente e arccotangente ====

Seja a função <math>y=arctg(x)</math>, sendo a sua inversa:

<math>x=tg(y)</math>,

podemos operá-la desta forma:

<math>dx=sec^2 (y)dy</math>

<math>\frac{dx}{dy}=sec^2 (y)</math>,

Por outro lado:

<math>sec^2(y)=1+tg^2(y)</math>

<math>sec^2(y)=1+x^2</math>

O que nos dá:

<math>\frac{dx}{dy}=1+x^2</math>,

Logo:

 <math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}</math>

Ainda temos que a função <math>z=arccotg(x)</math>, sendo a sua inversa:

<math>x=cotg(z)</math>.

Por outro lado:

<math>arccotg(z)=\frac{\pi}{2} - arctg(z)</math>

O que nos dá:

<math>\frac{dz}{dx}=0-\frac{d[arctg(z)]}{dx}</math>,

Logo:

 <math>\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}</math>

==== Integrais da arctangente e arccotangente ====

Para integração das funções arctangente e arccotangente, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema.

=== Arcsecante e arccossecante ===

Definimos a função:

 <math>y=\ \mbox{arcsec}(x)</math>,

arcsecante de ''x'', como a inversa da função:

 <math>x=\sec(y) </math>, 

{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\sec^{-1} x\ ,\ \csc^{-1} x</math> ou <math>\sec^{-1} (x)\ ,\ \csc^{-1} (x)</math> ou <math>\arcsec x\ ,\ \arccsc x</math> ou <math>\arcsec (x)\ ,\ \arccsc (x)</math> para representação de arcsecante e arccossecante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}}

secante de ''y'', para os intervalos de ''x'': <math>(-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)</math>, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.

A função <math>\ \mbox{arcsec}(x)</math> é relacionada a função <math>\ \mbox{arccos}(x)</math> como segue:

 <math>\ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arccos} \left(\frac{1}{x} \right)</math>

Do mesmo modo podemos definir a função:

 <math>z=\ \mbox{arccosec}(t)</math>,

arccosecante de ''t'', como a inversa da função:

 <math>t=\ \mbox{cosec}(z)</math>,

cosecante de ''y'', para os intervalos de ''x'': <math>(-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)</math>, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.

A função <math>\ \mbox{arccosec}(x)</math> é relacionada a função <math>\ \mbox{arcsen}(x)</math> como segue:

 <math>\ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arcsen} \left(\frac{1}{x} \right)</math>

==== Derivadas da arcsecante e arccossecante ====

Seja a função:

<math>y=\ \mbox{arcsec}(x)</math>

que tem correspondência em:

<math>\ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arccos} \left (\frac{1}{x} \right)</math>

Sendo:

<math>\frac{d[\ \mbox{arccos}(t)]}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \left(\frac{dt}{dx}\right)</math>

<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{x} \right)^2}} \left( - \frac{1}{x^2}\right)</math>

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{|x|}{x^2 \sqrt{x^2-1}}</math>

Portanto:

 <math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}</math>
 
 para <math>|x|>1</math>

==== Integrais da arcsecante e arccossecante ====

Para integração das funções arcsecante e arccossecante, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema.

=== Trigonométricas inversas como integrais algébricas ===

Como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em "arc-funções", são elas:

 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \ \mbox{arcsen}(x)+C</math>
 
 <math>\int \frac{dx}{1+x^2} = \ \mbox{arctg}(x)+C</math>
 
 <math>\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = \ \mbox{arcsec}(|x|)+C</math>

Em todas, como é de costume, encontramos a constante de antidiferenciação ''C''.

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== hiperbólicas ==

A hipérbole é uma das funções [[w:Cónicas|cônicas]] exploradas em geometria analítica e tem como característica uma íntima relação com as exponenciais <math>e^x</math> e <math>e^{-x}</math>, as funções desta seção são obtidas segundo o mesmo princípio das funções trigonométricas utilizando-se da hipérbole como função geratriz, ou seja, para cada ponto cartesiano de um gráfico da hipérbole podemos adotar a análise feita no ciclo trigonométrico, desta análise resultam as funções discutidas nesta seção.

As funções hiperbólicas são essencialmente exponenciais, portanto o seu estudo é simplificado nesta seção, visto que suas conseqüências são imediatamente dedutíveis pelos princípios já vistos na seção que trata de funções exponenciais.

=== Seno e cosseno hiperbólicos ===

A função seno hiperbólico é obtida a partir da hipérbole da mesma forma que o seno no ciclo trigonométrico, sua definição pode ser obtida por análise geométrica do gráfico da hipérbole <math>y=\frac{1}{2x}</math>, onde encontramos:

 <math>\ \mbox{senh}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2} </math>

A função cosseno hiperbólico, que referenciamos ao cosseno no ciclo trigonométrico pode ser encontrado pela seguinte expressão:

 <math>\cosh(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{2} </math>

Sendo obtida de forma similar a anterior.

O fato destas funções serem resultantes da soma e subtração de uma exponencial crescente <math>e^x</math> e uma exponencial decrescente <math>e^{-x}</math> lhes conferem propriedades únicas, do mesmo modo temos a possibilidade de fazer analogias para uma fácil assimilação dos seus conceitos. Estas funções também são largamente úteis devido ao fato de serem comuns em problemas reais na física, na química e nas engenharias.

==== Relacionando seno e cosseno hiperbólico ====

Considere a operação: <math>\cosh^2 (x) - \ \mbox{senh}^2 (x) </math>,

Da definição temos:

<math>\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 -\left(\frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^2</math>

<math>\frac{e^{2x} + e^{-2x} + 2e^x e^{-x}}{4} -\frac{e^{2x} + e^{-2x} - 2e^x e^{-x}}{4}</math>

<math>\frac{e^{2x}-e^{2x} + e^{-2x}-e^{-2x} + 4}{4}</math>

<math>\frac{4}{4}</math>

logo:

 <math>\cosh^2 (x) - \ \mbox{senh}^2 (x) = 1</math>

==== Derivada do seno hiperbólico ====

Seja a função seno hiperbólico <math>y=\ \mbox{senh}(x)</math>, podemos dizer que:

<math>y=\frac{e^x - e^{-x}}{2} </math>

sendo:

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} (e^x-(-e^{-x}))</math>

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} (e^x+e^{-x})</math>

Portanto:

 <math>\frac{dy}{dx}=\cosh(x)</math>

==== Derivada do cosseno hiperbólico ====

Seja a função cosseno hiperbólico <math>y=\cosh(x)</math>, podemos dizer que:

<math>y=\frac{e^x + e^{-x}}{2} </math>

sendo:

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} (e^x+(-e^{-x}))</math>

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} (e^x-e^{-x})</math>

Portanto:

 <math>\frac{dy}{dx}=\ \mbox{senh}(x)</math>

==== Integral do seno hiperbólico ====

A integral do seno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:

<math>\int \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2} \right) dx </math>

<math>\int \frac{1}{2} e^x dx- \int \frac{1}{2} e^{-x} dx </math>

<math>\frac{1}{2} e^x +  \frac{1}{2} e^{-x} </math>

<math>\frac{e^x + e^{-x}}{2} </math>

Concluimos que:

 <math>\int \ \mbox{senh}(x) = \cosh(x) + C </math>

==== Integral do cosseno hiperbólico ====

A integral do cosseno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:

<math>\int \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2} \right) dx </math>

<math>\int \frac{1}{2} e^x dx + \int \frac{1}{2} e^{-x} dx </math>

<math>\frac{1}{2} e^x -  \frac{1}{2} e^{-x} </math>

<math>\frac{e^x - e^{-x}}{2} </math>

Concluimos que:

 <math>\int \cosh(x) = \ \mbox{senh}(x) + C </math>

=== Tangente e secante hiperbólicas ===

Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como:

 <math>\ \mbox{tgh}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}</math>

ou 

 <math>\ \mbox{tgh}(x)=\frac{\ \mbox{senh}(x)}{\cosh(x)}</math>

A secante hiperbólica é definida como:

 <math>\ \mbox{sech}(x)=\frac{2}{e^x + e^{-x}}</math>

ou

 <math>\ \mbox{sech}(x)=\frac{1}{\cosh(x)}</math>

==== Relacionando tangente e secante hiperbólicas ====

Vamos desenvolver a expressão abaixo:

<math>1-\ \mbox{tgh}^2(x)</math>

<math>1-\left( \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \right)^2 </math>

<math>1- \frac{e^{2x} + e^{-2x} - 2}{e^{2x} + e^{-2x} + 2}  </math>

<math>\frac{e^{2x}-e^{2x} + e^{-2x}-e^{-2x} + 4}{e^{2x} + e^{-2x} + 2}  </math>

<math>\frac{4}{\left(e^{x} + e^{-x}\right)^2}  </math>

<math>\frac{1}{\cosh^2(x)}</math>

Portanto:

 <math>1-\ \mbox{tgh}^2(x)=\ \mbox{sech}^2(x)</math>

==== Derivada da tangente hiperbólica ====

Seja a função <math>y=\ \mbox{tgh}(x)</math>, temos:

<math>y=\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}</math>

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right) - \left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x} \right)^2}</math>

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left( \cosh^2(x) \right) - \left( \ \mbox{senh}^2(x) \right)}{\left( \cosh^2(x) \right)}</math>

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cosh^2(x)}</math>

Portanto:

 <math>\frac{dy}{dx}=\ \mbox{sech}^2(x)</math>

==== Derivada da secante hiperbólica ====

Seja a função <math>y=\ \mbox{sech}(x)</math>, temos:

<math>y=\frac{2}{e^{x} + e^{-x}}</math>

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{-2\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x} \right)^2}</math>

<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{e^{x} + e^{-x} } \cdot \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x} }</math>

e finalmente:

 <math>\frac{dy}{dx}=-\ \mbox{sech}(x)\ \mbox{tgh}(x)</math>

==== Integral da tangente hiperbólica ====

Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{tgh}(x)</math>, temos:

<math>F(x)=\int \frac{\ \mbox{senh}(x)}{\cosh(x)} dx</math>

Se fizermos:

<math>u=\cosh(x)</math>

<math>du=\ \mbox{senh}(x)dx</math>

verificamos:

<math>F(x)=\int \frac{du}{u}</math>

<math>F(x)=\ln |u|</math>

e finalmente:

 <math>F(x)=\ln |\cosh(x)| + C </math>

==== Integral da secante hiperbólica ====

Para integração da função secante hiperbólica, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema.

=== Cotangente e cossecante hiperbólicas ===

A cotangente hiperbólica é definida como:

 <math>\ \mbox{cotgh}(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}</math>

ou 

 <math>\ \mbox{cotgh}(x)=\frac{\cosh(x)}{\ \mbox{senh}(x)}</math>

A cosecante hiperbólica é definida como:

 <math>\ \mbox{cosech}(x)=\frac{2}{e^x - e^{-x}}</math>

ou

 <math>\ \mbox{cosech}(x)=\frac{1}{\ \mbox{senh}(x)}</math>

==== Relacionando cotangente e cossecante hiperbólicas ====

Vamos desenvolver a expressão abaixo:

<math>1-\ \mbox{cotgh}^2(x)</math>

<math>1-\left( \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \right)^2 </math>

<math>1- \frac{e^{2x} + e^{-2x} + 2}{e^{2x} + e^{-2x} - 2}  </math>

<math>\frac{e^{2x}-e^{2x} + e^{-2x}-e^{-2x} - 4}{e^{2x} + e^{-2x} - 2}  </math>

<math>-\frac{4}{\left(e^{x} - e^{-x}\right)^2}  </math>

<math>-\frac{1}{\ \mbox{senh}^2(x)}</math>

Portanto:

 <math>1-\ \mbox{cotgh}^2(x)=\ \mbox{cosech}^2(x)</math>

==== Derivada da cotangente hiperbólica ====

Seja a função <math>y=\ \mbox{cotgh}(x)</math>, temos:

<math>y=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}</math>

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right) - \left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x} \right)^2}</math>

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left( \ \mbox{senh}^2(x) \right) - \left( cosh^2(x) \right)}{\left( \ \mbox{senh}^2(x) \right)}</math>

<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\ \mbox{senh}^2(x)}</math>

Portanto:

 <math>\frac{dy}{dx}=-\ \mbox{cosech}^2(x)</math>

==== Derivada da cossecante hiperbólica ====

Seja a função <math>y=\ \mbox{cosech}(x)</math>, temos:

<math>y=\frac{2}{e^{x} - e^{-x}}</math>

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{-2\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x} \right)^2}</math>

<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{e^{x} - e^{-x} } \cdot \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x} }</math>

e finalmente:

 <math>\frac{dy}{dx}=-\ \mbox{cosech}(x)\ \mbox{cotgh}(x)</math>

==== Integral da cotangente hiperbólica ====

Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cotgh}(x)</math>, temos:

<math>F(x)=\int \frac{\cosh(x)}{\ \mbox{senh}(x)} dx</math>

Se fizermos:

<math>u=\ \mbox{senh}(x)</math>

<math>du=\cosh(x)dx</math>

verificamos:

<math>F(x)=\int \frac{du}{u}</math>

<math>F(x)=\ln |u|</math>

e finalmente:

 <math>F(x)=\ln |\ \mbox{senh}(x)| + C </math>

==== Integral da cossecante hiperbólica ====

Para integração da função cossecante hiperbólica, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema.

== Inversas das hiperbólicas ==

As funções hiperbólicas inversas são particularmente interessantes, elas estão ligadas ao logaritmo natural e por este motivo, sua análise é excencialmente exponencial, como a análise das funções hiperbólicas, deste fato nascem novas possibilidades para lidar com problemas relacionados a análises de estruturas não lineares. 

=== Análise da inversão das variáveis ===

As funções hiperbólicas são característicamente analisadas de forma semelhante às trigonométricas, o que nos sugere a análise da inversão das variáveis das equações hiperbólicas da forma:

<math>y=funch(x)</math>,

Para a forma:

<math>x=argfunch(y)</math>

Isto é particularmente fácil de implementar para funções do tipo <math>senh(x)</math>,   que são funções monótonas e contínuas, para as demais que restringem sua continuidade em um determinado intervalo, devemos adotar faixas para o domínio de cada uma em particular.

É importante notar que, embora as funções hiperbólicas sejam semelhantes às trigonométricas, estas funções se baseiam em ângulos que devem ser analisados de forma diferente dos trigonométricos, lembre-se que o raio de uma função circular é constante, o que não acotece com uma função baseada em uma cônica, neste caso a hipérbole, por isso escolhemos a nomeclatura de '''''arg'''funch(x)'', pois não podemos classificar os ângulos hiperbólicos como arcos.

=== argsenh e argcosenh ===

Agora consideremos a função '''<math>t=\ \mbox{senh}(x)</math>''', então:

<math>t=\frac{e^x - e^{-x}}{2}</math>

Podemos fazer <math>e^{x}=u</math>, logo:

<math>t=\frac{u - u^{-1}}{2}</math>

O que resulta na equação:

<math>u^2-2tu-1=0</math>

cujas raízes são:

<math>u=t \pm \sqrt{t^2 +1}</math>

Podemos apenas admitir: <math>u>0</math>, consequentemente:

<math>e^x = t+ \sqrt{t^2 + 1}</math>

Substituindo as variáveis ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'', temos a inversa de <math>senh(x)</math> que é:

 <math>\ \mbox{argsenh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|</math>

No caso de '''<math>t=\cosh(x) </math>''', a dedução é similar:

<math>t=\frac{e^x + e^{-x}}{2}</math>

Podemos fazer <math>e^{x}=u</math>, logo:

<math>t=\frac{u + u^{-1}}{2}</math>

O que resulta na equação:

<math>u^2-2tu+1=0</math>

cujas raízes são:

<math>u=t \pm \sqrt{t^2 -1}</math>

Podemos apenas admitir: <math>u>0</math>, consequentemente:

<math>e^x = t+ \sqrt{t^2 - 1}</math>

Substituindo as variáveis ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'', temos a inversa de <math>cosh(x)</math> que é:

 <math>\ \mbox{argcosh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|</math>,   <math>|x|>1</math>

==== Derivadas de argsenh(x) e argcosh(x) ====

Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos:

'''<math>y=\ \mbox{argsenh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|</math>'''

de onde deduzimos:

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right)</math>

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \left(\frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2+1}} \right)</math>

resultando:

 <math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</math>

----

E para '''<math>y=\ \mbox{argcosh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|</math>'''

de onde deduzimos:

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \right)</math>

<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \left(\frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2-1}} \right)</math>

e finalmente:

 <math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math>,   <math>|x|>1</math>

==== Integrais de argsenh(x) e argcosh(x) ====

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: [[../Técnicas de integração|Técnicas de integração]], proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

=== argtgh e argsech ===

Considerando '''<math>t=\ \mbox{tgh}(x)</math>''', temos:

<math>t=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}</math>

se <math>u=e^x</math>:

<math>t=\frac{u - u^{-1}}{u + u^{-1}}</math>

o que resulta na equação:

<math>(t-1)u^2 + t + 1 = 0</math>

cujas raízes são:

<math>u= \pm \sqrt{\frac{1+t}{1-t}}</math>

Onde apenas podemos admitir <math>u > 0 </math> e <math> t < 1 </math>:

<math>e^x = \sqrt{\frac{1+t}{1-t}}</math>

Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'':

<math>y = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}</math>

Que é a inversa da <math>\ \mbox{tgh}(x)</math>, portanto:

 <math>\ \mbox{argtgh}(x) = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}</math>,    <math> |x|<1 </math>

Ou,

 <math>\ \mbox{argtgh}(x) = \frac{1}{2} \ln {\frac{1+x}{1-x}}</math>,    <math> |x|<1 </math>

----

Considerando '''<math>t=\ \mbox{sech}(x)</math>''', temos:

<math>t=\frac{2}{e^x + e^{-x}}</math>

se <math>u=e^x</math>:

<math>t=\frac{2}{u + u^{-1}}</math>

o que resulta na equação:

<math>tu^2 - 2u + t = 0</math>

Cujas raízes são:

<math>u=\frac{1 \pm \sqrt{1-t^2}}{t}</math>

Onde apenas podemos admitir <math>u > 0 </math> e <math>0 < t < 1 </math>:

<math>e^x=\frac{1 - \sqrt{1-t^2}}{t}</math>

Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'':

<math>y=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x}\right|</math>

Que é a inversa da <math>sech(x)</math>, portanto:

 <math>\ \mbox{argsech}(x)=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x}\right|</math>,   <math>0 < x < 1 </math>

==== Derivadas de argtgh e argsech ====

Seja '''<math>y = \ \mbox{argtgh}(x)</math>''' <math>= \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}</math>,   <math>|x|<1</math>

Deduzimos que sua derivada é:

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\ \mbox{argtgh}(x)]}{dx}</math>

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1-x}{1+x} \right) \left[\frac{1-x - (1+x)(-1)}{(1-x)^2}\right]</math>

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1-x}{1+x} \right) \left[\frac{2}{(1-x)^2}\right]</math>

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{(1+x)(1-x)} \right] </math>

e, finalmente:

 <math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^2} </math>,   <math>|x|<1</math>

Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não existe fora deste domínio.

----

Seja '''<math>y = \ \mbox{argsech}(x)</math>''' <math>= \ln \left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right|</math>,

Deduzimos que sua derivada é:

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\mbox{argsenh}(x)]}{dx}</math>

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left[ \frac{x \frac{-(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}-\left(1-\sqrt{1-x^2} \right)}{x^2}\right]</math>

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left( \frac{x^2 - \sqrt{1-x^2} + 1 - x^2}{x^2 \sqrt{1-x^2}}\right)</math>

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left( \frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x^2 \sqrt{1-x^2}}\right)</math>

e, finalmente:

 <math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \sqrt{1-x^2}}</math>

==== Integrais de argtgh e argsech ====

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: [[../Técnicas de integração|Técnicas de integração]], proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

=== argcotgh e argcosech ===

Considerando '''<math>t=\ \mbox{cotgh}(x)</math>''', temos:

<math>t=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}</math>

se <math>u=e^x</math>:

<math>t=\frac{u + u^{-1}}{u - u^{-1}}</math>

o que resulta na equação:

<math>(1-t)u^2 - t - 1 = 0</math>

cujas raízes são:

<math>u= \pm \sqrt{\frac{t+1}{t-1}}</math>

Onde apenas podemos admitir <math>u > 0 </math> e <math> t < 1 </math>:

<math>e^x = \sqrt{\frac{t+1}{t-1}}</math>

Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'':

<math>y = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}</math>

Que é a inversa da <math>\ \mbox{cotgh}(x)</math>, portanto:

 <math>\ \mbox{argcotgh}(x) = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}</math>,   <math>|x|>1</math>

Ou,

 <math>\ \mbox{argcotgh}(x) = \frac{1}{2} \ln {\frac{x+1}{x-1}}</math>,   <math>|x|>1</math>

----

Considerando '''<math>t=\ \mbox{cosech}(x)</math>''', temos:

<math>t=\frac{2}{e^x - e^{-x}}</math>

se <math>u=e^x</math>:

<math>t=\frac{2}{u - u^{-1}}</math>

o que resulta na equação:

<math>tu^2 - 2u - t = 0</math>

Cujas raízes são:

<math>u=\frac{1 \pm \sqrt{1+t^2}}{t}</math>

Onde apenas podemos admitir <math>u > 0 </math>:

<math>e^x=\frac{1 - \sqrt{1+t^2}}{t}</math>

Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'':

<math>y=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right|</math>

Que é a inversa da <math>cosech(x)</math>, portanto:

 <math>\ \mbox{argcosech}(x)=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right|</math>

==== Derivadas de argcotgh e argcosech ====

Seja '''<math>y = \ \mbox{argcotgh}(x)</math>''' <math>= \frac{1}{2} \ln \frac{x-1}{x+1}</math>,   <math>|x|>1</math>

Deduzimos que sua derivada é:

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\ \mbox{argcotgh}(x)]}{dx}</math>

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{x+1}{x-1} \right) \left[\frac{x+1 - (x-1)}{(x+1)^2}\right]</math>

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{x+1}{x-1} \right) \left[\frac{2}{(x+1)^2}\right]</math>

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{(x-1)(x+1)} \right] </math>

e, finalmente:

 <math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^2} </math>,   <math>|x|>1</math>

Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.

----

Seja '''<math>y = \ \mbox{argcosech}(x)</math>''' <math>= \ln \left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right|</math>,

Deduzimos que sua derivada é:

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\mbox{argcosh}(x)]}{dx}</math>

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left[ \frac{x \frac{-2x}{2\sqrt{1+x^2}}-\left(1-\sqrt{1+x^2} \right)}{x^2}\right]</math>

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left( \frac{-x^2 - \sqrt{1+x^2} + 1 + x^2}{x^2 \sqrt{1+x^2}}\right)</math>

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left( \frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x^2 \sqrt{1+x^2}}\right)</math>

e, finalmente:

 <math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x| \sqrt{1+x^2}}</math>,   <math>x \ne 0 </math>

==== Integrais de argcotgh e argcosech ====

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: [[../Técnicas de integração|Técnicas de integração]], proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

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