Otimização/Existência de soluções globais

Definição

$M(f,D) \;$ é o conjuntos dos minimizadores de f em D, locais e globais.

Definição

Dizer que $\# M(f,D)=1 \;$ significa que o conjuntos dos minimizadores de f em D possui um mínimo e ele é global.

Definição

Seja $\bar{v} \in \; ]-\infty, \infty [; \bar{v} = \inf_{x \in D}f(x) \Rightarrow \bar{v} \in M(f,D)$, onde $\bar{v} \;$ é chamado valor ótimo do problema e é um mínimo global.

Teorema de Weierstrass

Seja $f : D \rightarrow \mathbb{R}$ contínua em D compacto.

Então $M(f,D) \not = \empty$

Suponha que f é ilimitada inferiormente, então $\forall \; k \in \mathbb{N}, \exist \; x^k \in D; f(x^k)<-k \Rightarrow \lim_{k \rightarrow \infty}f(x^k)=-\infty$. Por outro lado, D é compacto e $\{ x^k\} \subset D$. Como D é limitado, logo a $\{ x^k\} \;$ é limitada. Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente. Assim $\{ x^k\} \;$ possui uma subsequência convergênte $\{ x^{k_j}\} \;$, tal que $\; \lim_{j \rightarrow \infty}x^{k_j} = \bar{x}$. Assim $f(\bar{x}) = f(\lim_{j \rightarrow \infty}x^{k_j}) = - \infty$. Absurdo.

$\bar{v} = \inf_{x\in D}f(x) > - \infty$, pela definição de ínfimo, dado $k \in \mathbb{N}, \; \exists \; x^k \in D$ tal que $\bar{v} \le f(x^k) < \bar{v}+ {1 \over k} \Rightarrow \bar{v} \le \lim_{k \rightarrow \infty}f(x^k) \le \bar{v} \Rightarrow \lim_{k \rightarrow \infty}f(x^k) = \bar{v}$.

Curva de nível $L_{f,D}(c)$

Definição

Seja $f:D \rightarrow \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}, L_{f,D}(c) = \{ x\in D; f(x) \le c \}$

Corolário da curva de nível compacta

Sejam $D \in \mathbb{R}^n, f:D \rightarrow \mathbb{R}$ contínua em D. Se $\exists \; c \in \mathbb{R}, \empty \not =$ $L_{f,D}(c)\;$ é compacto.

Então $M(f,D) \not = \empty$

Prova: Pelo Teorema de Weierstrass $M(f,D) \not = \empty$, isto é, $\exists \bar{x} \in D; f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in$ $L_{f,D}(c)\;$).

Mas se $x \in D \setminus$ $L_{f,D}(c)\;$ $\Rightarrow f(x) > c \ge f(\bar{x})$. Assim $f(\bar{x}) \le f(x), \forall \; x \in D$, isto é, $M(f,D) \not = \empty$.

Projeção de y sobre D

Definição

$P_D(y) = \bar{x} \Leftrightarrow \inf_{x \in D } \| x - y \| = \| \bar{x} - y \|$

Corolário da projeção de y sobre D

$\empty \not = D \in \mathbb{R}^n$ é fechado.

Então $P_D(y) \not = \empty, \forall \; y \in \mathbb{R}^n$

Tome $y \in \mathbb{R}^n e f_y:D \rightarrow \mathbb{R}; x \mapsto f_y(x)=\|x-y\|$. É facil ver que $|\|x\|-\|y\|| \le \|x-y\|$. Agora dado $\epsilon > 0, \exists \; \delta = \epsilon, \|x-y\| < \delta \Rightarrow |\|x\|-\|y\|| < \epsilon$. Assim $f_y \;$ é contínua.

Por outro lado, $L_{f_y, D}(c)= \{ x \in D / f_y(x)\le c \}= \{ x \in D / \|x-y\|\le c \} = D \cap B_c(y)$. Visto que $D , B_c(y) \;$ são fechados, temos que $D \cap B_c(y)$ é também fechado. Além disso, sendo $B_c(y)$ limitado, segue que $D \cap B_c(y) \subset B_c(y)$ é também limitado e conseqüentemente compacto. Como $L_{f_y, D}(c) = D \cap B_c(y) \Rightarrow L_{f_y, D}(c)$ é compacto.

Vimos que $f_y \;$ é contínua e $L_{f_y, D}(c)$ é compacto.. Tomando-se $c \in \mathbb{R}$ suficientemente grande, de tal forma que $L_{f_y, D}(c) \not = \empty$. Pelo corolário da curva de nível, $M(f_y,D)\;$ $\not = \empty$.

Mas $M(f_y,D)\;$ $= \{ \bar{x} \in D / f_y(\bar{x}) \le f_y(x), \forall \; x \in D \} = \{ \bar{x} \in D / \|\bar{x}-y\| \le \|x-y\|, \forall \; x \in D \} =$

$= \{ \bar{x} \in D / \inf_{x \in D}\|x-y\| = \|\bar{x}-y\| \} = P_D(y) \not = \empty$

Exemplo

Seja $D= \{ x \in \mathbb{R}^n | x_1 + x_2 > 0 \}$ e $f: D \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x_1^2+x_2+{1 \over x_1 + x_2}$

Mostrar que $M(f,D)\not = \empty$.

Suponhamos que $L_{f,D}(c) \;$ é ilimitado para um $c \in \mathbb{R} \Rightarrow \exists \{ x^k\} \subset L_{f,D}(c)$ tal que $\lim_{k \rightarrow \infty }\|x^k\|$. Se $\lim_{k \rightarrow \infty }\|x_1^k\|$, isto é, dado $\lim_{k \rightarrow \infty }\|x_1^k\|$. (...)