Otimização/Existência de soluções globais

Definição

$M(f,D)\;$ é o conjuntos dos minimizadores de f em D, locais e globais.

Definição

Dizer que $\#M(f,D)=1\;$ significa que o conjuntos dos minimizadores de f em D possui um mínimo e ele é global.

Definição

Seja ${\bar {v}}\in \;]-\infty ,\infty [;{\bar {v}}=\inf _{x\in D}f(x)\Rightarrow {\bar {v}}\in M(f,D)$, onde ${\bar {v}}\;$ é chamado valor ótimo do problema e é um mínimo global.

Teorema de Weierstrass

Seja $f:D\rightarrow \mathbb {R}$ contínua em D compacto.

Então $M(f,D)\not =\emptyset$

Suponha que f é ilimitada inferiormente, então $\forall \;k\in \mathbb {N} ,\exists \;x^{k}\in D;f(x^{k})<-k\Rightarrow \lim _{k\rightarrow \infty }f(x^{k})=-\infty$. Por outro lado, D é compacto e $\{x^{k}\}\subset D$. Como D é limitado, logo a $\{x^{k}\}\;$ é limitada. Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente. Assim $\{x^{k}\}\;$ possui uma subsequência convergênte $\{x^{k_{j}}\}\;$, tal que $\;\lim _{j\rightarrow \infty }x^{k_{j}}={\bar {x}}$. Assim $f({\bar {x}})=f(\lim _{j\rightarrow \infty }x^{k_{j}})=-\infty$. Absurdo.

${\bar {v}}=\inf _{x\in D}f(x)>-\infty$, pela definição de ínfimo, dado $k\in \mathbb {N} ,\;\exists \;x^{k}\in D$ tal que ${\bar {v}}\leq f(x^{k})<{\bar {v}}+{1 \over k}\Rightarrow {\bar {v}}\leq \lim _{k\rightarrow \infty }f(x^{k})\leq {\bar {v}}\Rightarrow \lim _{k\rightarrow \infty }f(x^{k})={\bar {v}}$.

Curva de nível $L_{f,D}(c)$

Definição

Seja $f:D\rightarrow \mathbb {R} ,c\in \mathbb {R} ,L_{f,D}(c)=\{x\in D;f(x)\leq c\}$

Corolário da curva de nível compacta

Sejam $D\in \mathbb {R} ^{n},f:D\rightarrow \mathbb {R}$ contínua em D. Se $\exists \;c\in \mathbb {R} ,\emptyset \not =$ $L_{f,D}(c)\;$ é compacto.

Então $M(f,D)\not =\emptyset$

Prova: Pelo Teorema de Weierstrass $M(f,D)\not =\emptyset$, isto é, $\exists {\bar {x}}\in D;f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in$ $L_{f,D}(c)\;$).

Mas se $x\in D\setminus$ $L_{f,D}(c)\;$ $\Rightarrow f(x)>c\geq f({\bar {x}})$. Assim $f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D$, isto é, $M(f,D)\not =\emptyset$.

Projeção de y sobre D

Definição

$P_{D}(y)={\bar {x}}\Leftrightarrow \inf _{x\in D}\|x-y\|=\|{\bar {x}}-y\|$

Corolário da projeção de y sobre D

$\emptyset \not =D\in \mathbb {R} ^{n}$ é fechado.

Então $P_{D}(y)\not =\emptyset ,\forall \;y\in \mathbb {R} ^{n}$

Tome $y\in \mathbb {R} ^{n}ef_{y}:D\rightarrow \mathbb {R} ;x\mapsto f_{y}(x)=\|x-y\|$. É facil ver que $|\|x\|-\|y\||\leq \|x-y\|$. Agora dado $\epsilon >0,\exists \;\delta =\epsilon ,\|x-y\|<\delta \Rightarrow |\|x\|-\|y\||<\epsilon$. Assim $f_{y}\;$ é contínua.

Por outro lado, $L_{f_{y},D}(c)=\{x\in D/f_{y}(x)\leq c\}=\{x\in D/\|x-y\|\leq c\}=D\cap B_{c}(y)$. Visto que $D,B_{c}(y)\;$ são fechados, temos que $D\cap B_{c}(y)$ é também fechado. Além disso, sendo $B_{c}(y)$ limitado, segue que $D\cap B_{c}(y)\subset B_{c}(y)$ é também limitado e conseqüentemente compacto. Como $L_{f_{y},D}(c)=D\cap B_{c}(y)\Rightarrow L_{f_{y},D}(c)$ é compacto.

Vimos que $f_{y}\;$ é contínua e $L_{f_{y},D}(c)$ é compacto.. Tomando-se $c\in \mathbb {R}$ suficientemente grande, de tal forma que $L_{f_{y},D}(c)\not =\emptyset$. Pelo corolário da curva de nível, $M(f_{y},D)\;$ $\not =\emptyset$.

Mas $M(f_{y},D)\;$ $=\{{\bar {x}}\in D/f_{y}({\bar {x}})\leq f_{y}(x),\forall \;x\in D\}=\{{\bar {x}}\in D/\|{\bar {x}}-y\|\leq \|x-y\|,\forall \;x\in D\}=$

$=\{{\bar {x}}\in D/\inf _{x\in D}\|x-y\|=\|{\bar {x}}-y\|\}=P_{D}(y)\not =\emptyset$

Exemplo

Seja $D=\{x\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}+x_{2}>0\}$ e $f:D\rightarrow \mathbb {R} ,f(x)=x_{1}^{2}+x_{2}+{1 \over x_{1}+x_{2}}$

Mostrar que $M(f,D)\not =\emptyset$.

Suponhamos que $L_{f,D}(c)\;$ é ilimitado para um $c\in \mathbb {R} \Rightarrow \exists \{x^{k}\}\subset L_{f,D}(c)$ tal que $\lim _{k\rightarrow \infty }\|x^{k}\|$. Se $\lim _{k\rightarrow \infty }\|x_{1}^{k}\|$, isto é, dado $\lim _{k\rightarrow \infty }\|x_{1}^{k}\|$. (...)