Números primos/Números primos e frações
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[editar] Conceitos Básicos
[editar] Números Racionais
Um número racional é aquele que pode ser escrito no formato p/q, onde p e q são inteiros e q é diferente de zero, ou seja, tem o formato de fração.
Exemplos:
são números racionais.
[editar] Frações
Um número racional é uma fração se q <> 1.
Exemplos:
[editar] Frações Irredutíveis
Uma fração p/q é dita irredutível se p e q são primos entre si. Ela não pode ser mais simplificada.
[editar] Representação decimal
Toda fração possui uma representação decimal. Para obtê-la basta dividirmos p por q.
Exemplos:
[editar] Representação decimal finita
Dizemos que uma fração p/q tem representação decimal finita se a divisão de p por q deixa, em algum instante resto zero, encerrando a divisão.
[editar] Representação decimal periódica
Dizemos que uma fração p/q tem representação decimal periódica se a divisão de p por q deixa, em nenhum instante deixa resto zero. A divisão continua indefinidamente, sendo que os restos possíveis para a divisão de p por q, a saber, 1, 2, 3, ..., q-1 se sucedem, sempre numa mesma ordem, infinitamente.
[editar] Período
Chamamos de período de uma representação decimal periódica de uma fração p/q ao conjunto de números que aparece no quociente após termos completado um ciclo de divisões nas quais apareçam todos os restos possíveis de q.
Exemplo: Obter a representação decimal de 5/7.
Efetuando esta divisão veremos que ela deixa restos 1, 3, 2, 6, 4 e 5, gerando um quociente igual a 0,714285. A partir deste ponto caímos novamente no 5 e todo o ciclo se repetirá. Se continuarmos a divisão passaremos novamente por 1, 3, 2, 6, 4 e 5 e obteremos um quociente igual a 0,714285714285. O número 714285 é o período da representação decimal periódica de 5/7.
[editar] Representação decimal e números primos
Qual o interesse das representações decimais no assunto dos números primos? É simples. Para toda função p/q, a representação decimal da função será finita se, e somente se, o denominador q contiver apenas os fatores primos de 10, a saber, 2 e 5. Caso qualquer outro fator primo esteja presente, a representação decimal será periódica.
Assim, de maneira intuitiva, percebemos que os números primos estão de alguma maneira relacionados à base numérica e a divisibilidade.
[editar] Representação decimal periódica e frações
Quando temos uma representação decimal periódica (ou uma dízima periódica) podemos representá-la em forma de fração através de regras simples ligadas ao período. Chamamos tal fração de geratriz da dízima periódica. Ao dividirmos o numerador pelo numerador da geratriz de uma dízima periódica devemos obter a dízima. Vamos definir estas regras.
[editar] Regras para obtenção da geratriz
1) Se o período possuir apenas um algarismo a dízima é dita periódica simples. Como regra geral teremos que o numerador será este período e o denominador será 9.
Exemplo: 
2) Se o período tiver mais de um algarismo, como regra geral, o numerador será o período e no denominador colocaremos tantos 9s quantos forem os algarismos do período.
Exemplo: 
3) Se além do período existir uma parte decimal não periódica calculamos o numerador por considerar o resultado da subtração da parte não periódica do número formado pela concatenação da parte não periódica com o período. Para formar o denominador juntamos tantos algarismos noves quantos forem os algarismos do período e, em seguida, juntamos tantos zeros quantos forem os algarismos da parte decimal não periódica.
Exemplos:
a) 
b) 
c) 
4) Se tivermos uma parte inteira no número ela deverá ser concatenada na parte não periódica quando calculamos o numerador, mas deverá ser ignorada na formação do denominador.
Exemplos:
a) 
b) 
