Cálculo (Volume 3)/Séries alternadas

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Índice

[editar] Séries alternadas

São séries da forma:

\sum (-1)^{n+1} a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \ldots
ou
\sum (-1)^n a_n = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \ldots

[editar] Teste de Leibniz

Seja a série alternada \sum (-1)^{n+1}a_n, an > 0. Se \lim_{n \to \infty} a_n = 0 e an > a_{n+1}, \forall n , então a série converge e a sua soma não ultrapassa o primeiro termo.


[editar] Séries absolutamente convergentes

Uma série numérica \sum a_n é absolutamente convergente se a série dos módulos, \sum |a_n| = |a_1| + |a_2| + \ldots, converge.

Teorema: Se uma série numérica \sum a_n é absolutamente convergente, então é convergente.

[editar] Séries condicionalmente convergentes

Uma série \sum a_n convergente, mas não absolutamente convergente, é chamada de condicionalmente convergente.

[editar] Teste da razão para convergência absoluta

Seja \sum (-1)^n a_n uma série numérica. Então

\lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = k

  • Se k < 1, a série converge
  • Se k > 1, a série diverge
  • Se k = 1, nada se pode concluir

[editar] Teste da raiz para convergência absoluta

Seja \sum (-1)^n a_n uma série numérica. Então

\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = k

  • Se k < 1, a série converge
  • Se k > 1, a série diverge
  • Se k = 1, nada se pode concluir
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