Cálculo (Volume 3)/Séries de termos positivos

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Índice

[editar] Séries de termos positivos

\sum a_n; \, a_n > 0, \forall n

[editar] Teste da integral

Seja \sum a_n uma série de termos positivos. Seja f(x) uma função positiva, contínua e decrescente para x \ge 1, e tal que f(n) = an, para n \ge 1. Então a série \sum a_n = \sum f(x) = f(1) + f(2) + \ldots:

  • Converge, se \int_1^{+\infty} f(x) \, dx convergir;
  • Diverge, se \int_1^{+\infty} f(x) \, dx divergir.

[editar] Teste da comparação simples

Sejam \sum a_n e \sum b_n, an,bn > 0, tais que a_n \ge b_n. Então:

  • Se \sum a_n converge, então \sum b_n converge
  • Se \sum b_n diverge, então \sum a_n diverge

[editar] Teste da comparação por limite

Sejam \sum a_n e \sum b_n, an,bn > 0, tais que a_n \ge b_n. Se:

  • \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = k, k \ne 0, então as séries têm o mesmo comportamento
  • \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 0, então a série \sum a_n converge se a série \sum b_n converge
  • \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = +\infty, então a série \sum a_n diverge se a série \sum b_n diverge

[editar] P-séries (Critério de Dirichelet)

Uma série do tipo \sum \frac{1}{n^p} converge se p > 1 e diverge se p \le 1. Essas séries são conhecidas como p-séries, e são comumente usadas em testes de comparação.

[editar] Teste da razão (Critério de d'Alembert)

Seja \sum a_n uma série, onde an > 0. Então:

\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = k

  • Se k < 1, a série converge
  • Se k > 1, a série diverge
  • Se k = 1, nada se pode concluir

[editar] Teste da raiz (Critério de Cauchy)

Seja \sum a_n uma série, onde an > 0. Então:

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = k

  • Se k < 1, a série converge
  • Se k > 1, a série diverge
  • Se k = 1, nada se pode concluir
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