Análise real/Integral de Riemann

A integral de Riemann têm como objetivo calcular a região limitada por funções limitadas em intervalos limitados. E calcularemos esta região através da divisão da mesma em retângulos.

• Já sabemos que a área de um retângulo de lados "a" e "b" é dado por A(Área) = ab. Agora basta saber como faremos a divisão de uma figura por retângulos.

Propriedades de uma área no $\mathbb{R}^2$

• Se a área for limitada por [a,b]x[0,f(x)]. Então temos x=a; x=b; y=0; y=f(x) limitando nossa figura.
• Por ser 0<y<f(x), temos que $f(x)>0; \forall x \in \mathbb{R}$.

Partição do domínio [a,b]

• Quando particionamos a figura em retângulos, conseguimos calcular a área dela com um pequeno erro. É claro que enquanto maior for a partição, menor será o erro.
• (f,P) significa que a área relacionada a função f estará sendo particionada na partição P.
• Se tomarmos inicialmente o intervalo [a,b] e particionarmos uma vez, teremos $P_1 = \{ t_0; t_1; t_2 \} \mbox{ com } t_0=a \mbox{ e } t_2 = b$. Aqui estamos dividindo o intervalo [a,b] em $[t_0, t_1] \mbox{ e } [t_1, t_2]$
• Generalizando, podemos particionar o intervalo [a,b] quantas vezes quisermos.
• Estaremos trocando A(Área) por S(soma de áreas)

Soma inferior e soma superior

• (A1) Sejam m e M; menor e maior "altura" do retângulo de base b-a

Sejam $m = \mbox{inf} \{ f(x);x \in [a,b] \} \mbox{ e } M = \mbox{sup} \{f(x);x \in [a,b]\}$

$m(b-a) \le M(b-a)$. Tomando $P_0 = \{ a, b \} \mbox{ temos } \underline{S}(f;P_0) \le \overline{S}(f;P_0)$

• (A2) Sejam $m_i \; e \; M_i$; menor e maior "altura" do retângulo de base $t_i-t_{i-1}$

Podemos calcular a área da partição $P_1$ da seguinte forma:

Por falta $A(falta) = m_1(t_1-t_0) + m_2(t_2-t_1) = \underline{S}(f;P_1)$ conhecido como soma inferior

Onde $m_1 = inf \{ f(x);x \in [t_0,t_1] \} \mbox{ e } m_2 = inf \{ f(x);x \in [t_1,t_2] \}$

Por sobra $A(sobra) = M_1(t_1-t_0) + M_2(t_2-t_1) = \overline{S}(f;P_1)$ conhecido como soma superior

Onde $M_1 = sup \{ f(x);x \in [t_0,t_1] \} \mbox{ e } M_2 = sup \{ f(x);x \in [t_1,t_2] \}$

Como $m_1 \le M_1 \mbox{ e } m_2 \le M_2$. Logo $\underline{S}(f;P_1) \le \overline{S}(f;P_1)$

• (A3) Seja $m(b-a) = m(t_2-t_0) \mbox{. Tomando } t_1 \in [t_0, t_2] \mbox{, temos } m(t_2-t_1+t_1-t_0) =$

$= m(t_2-t_1)+m(t_1-t_0) \le m_2(t_2-t_1)+m_1(t_1-t_0) \Rightarrow \underline{S}(f;P_0) \le \underline{S}(f;P_1) \mbox{, pois } m \le m_1 \mbox{ e } m \le m_2$

• (A4) o fato que $\overline{S}(f;P_1) \le \overline{S}(f;P_0)$ é análogo a (A3)
• (A2),(A3)e(A4) $\underline{S}(f;P_0) \le \underline{S}(f;P_1) \le \overline{S}(f;P_1) \le \overline{S}(f;P_0)$.

Pelo que vimos acima, quando acrescentamos um único ponto a partição inicial [a,b], a nossa soma inferior ficou maior, e nossa soma superior ficou menor. A nossa idéia então é fazer com que elas se aproximem o suficiente até $| \overline{S}(f;P_\infty) - \underline{S}(f;P_\infty)| < \epsilon, onde \; P_\infty$ será para nós quando $\lim_{P_i \to P_\infty} |t_i-t_{i-1}| = 0$. Então encontraremos a área da figura.

Relações entre partição e subpartição

Lema 1 (refinando uma partição)

Sejam $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ limitada e as partições $P_{k-1} \mbox{, Q cujo } Q = P_{k-1} \cup \{c\}$

$\underline{S}(f;P_{k-1}) \le \underline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;P_{k-1})$.

Demonstração

Sejam $P_{k-1} = \{ t_0, t_1, ..., t_{l-1}, t_l, t_{l+1}, ... t_{k-1}, t_k \} \mbox{ e } Q = P_{k-1} \cup \{ c \} \mbox{ onde } c \in [t_{l-1},t_l]$

• $\underline{S}(f;P_{k-1}) = \sum_{i=1}^{k} m_i(t_i-t_{i-1}) = \sum_{i=1}^{l-1} m_i(t_i-t_{i-1}) + m_l(t_l-t_{l-1}) + \sum_{i=l}^{k} m_i(t_i-t_{i-1})$
• $\underline{S}(f;Q) = \sum_{i=1}^{l-1} m_i(t_i-t_{i-1}) + m'(c-t_{l-1}) + m''(t_l-c) + \sum_{i=l}^{k} m_i(t_i-t_{i-1})$
  • Onde $m' = inf \{ f(x); x \in [t_{l-1},c] \} \mbox{ e } m'' = inf \{ f(x); x \in [c,t_i] \}$
• É verdade que $m_l(t_l-t_{l-1}) = m_l(t_l-c+c-t_{l-1}) = m_l(t_l-c)+ m_l(c-t_{l-1})\mbox{ como } m_l \le m' \mbox{ e } m_l \le m''$. Então $\underline{S}(f;P_{k-1}) \le \underline{S}(f;Q)$
• De forma análoga se demonstra que $\overline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;P_{k-1})$

Teorema 1

Sejam $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ limitada, quando se refina uma partição a soma inferior não diminui e a soma superior não aumenta

Demonstração

Pelo Lema 1, Q é uma refinação da partição P.

Corolário

Sejam $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ limitada, e as partições P e Q, onde $\underline{S}(f;P) \le \overline{S}(f;Q)$.

Demonstração

Refinando P nos pontos de Q, e refinando Q nos pontos de P teremos $\underline{S}(f;P) \le \underline{S}(f;P \cup Q) \mbox{ e }\overline{S}(f;P \cup Q) \le \overline{S}(f;P)$. Como $\underline{S}(f;P \cup Q) \le \overline{S}(f;P \cup Q) \Rightarrow \underline{S}(f;P) \le \underline{S}(f;P \cup Q) \le \overline{S}(f;P \cup Q) \le \overline{S}(f;P)$.

Integral inferior e integral superior

Seja $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \mbox{ limitada e } P^*$ todas as partições de [a,b]

• $\underline {\int}_{a}^{b} f(x)\, dx = \mbox{ sup }\underline{S}(f;P^*)$ é a integral inferior de f
• $\overline {\int}_{a}^{b} f(x)\, dx = \mbox{ inf }\overline{S}(f;P^*)$ é a integral superior de f

Pelo Lema 1 $\underline{S}(f;P^*) \le \mbox{ sup }\underline{S}(f;P^*) \le \mbox{ inf }\overline{S}(f;P^*) \le \overline{S}(f;P^*)$.

Logo $\underline{S}(f;P^*) \le \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \overline{S}(f;P^*)$.

Lema 2 (soma conservada no refinamento)

Seja $c \in ]a,b[$ e $Q^*$ são todas as partição de [a,b] que contém c. Assim $Q^* = P^* \cup \{c\}$, então $\underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx, \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx$ são únicos.

Demonstração

• Em particular $Q \subset Q^*$, ou seja, tomemos uma partição que contém {c}

Seja $P = Q \setminus {c}$; onde $P \subset P^*$.

Pelo Lema 1 $\underline{S}(f;P) \le \underline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;P)$.

• olhemos para o fato que A' = {conta inferior de Q} e B' = {cota superior de Q}; A = {conta inferior de P} e B = {cota superior de P}

$A \subset A' \Rightarrow se \; a \in A \; e \; a' \in A', logo \; a \le a'$

sup A = sup A', pois $c \in ]a,b[$

$B \subset B' \Rightarrow se \; b \in B \; e \; b' \in B', logo \; b \le b'$

inf B = inf B', pois $c \in ]a,b[$

• $\mbox{ sup }\underline{S}(f;P) = \mbox{ sup }\underline{S}(f;Q) \le \mbox{ inf }\overline{S}(f;Q) = \mbox{ inf }\overline{S}(f;P)$.

Lema 3

Sejam A, B subconjuntos não vazios e limitados dos reais. (a) => (b)

• (a) Se $A = \{a \in A \}, B = \{ b \in B\}$, então $A+B = \{a+b; a\in A, B \in B\}$
• (b) inf(A+B) = inf A + inf B ; sup(A+B) = sup A + Sup B

Demonstração

• Dado $a \in A, b \in B, temos \; a \ge inf A, b \ge inf B \Rightarrow a+b \ge inf A + inf B$.

Assim inf A + inf B é uma cota inferior de A+B,

• • Dado $\epsilon > 0, \exist a' \in A, b' \in B; a' < inf A + {\epsilon \over 2}, b' < inf B + {\epsilon \over 2} \Rightarrow a'+b' < inf A + inf B + \epsilon$

portanto inf A + inf B é o ínfimo do conjunto A + B

• o sup se mostra analogamente

Corolário

Sejam $f,g:[a,b]\mapsto\mathbb{R}$ limitadas. Então

• (a) $sup(f+g) \le sup(f) + sup(g)$
• (b) $inf(f+g) \ge inf(f) + inf(g)$

Demonstração

Se $A = f([a,b]), \; B = g([a,b])$, então $C = \{ f(x) + g(x) ; x \in [a,b] \} \subset A + B$

pelo teorema $inf(A+B) \le inf(C) \le sup(C) \le sup(A+B)$ e pelo lema 3 temos

(a) $sup(f+g) = sup(C) \le sup (A + B) = sup(A) + sup(B) = sup(f) + sup(g)$

(b) $inf(f+g) = inf(C) \ge inf (A + B) = inf(A) + inf(B) = inf(f) + inf(g)$

Teorema 2

Sejam $c \in [a,b], f:[a,b]\mapsto \mathbb{R}$ limitada, então

• (a)$\underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = \underline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \underline {\int}_{c}^{b} f(x)dx$
• (b)$\overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = \overline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \overline {\int}_{c}^{b} f(x)dx$

Demonstração

• (a)Sejam $A = \{ \underline{S}(f/[a,c],P); \forall P \subset P^* \}, B = \{ \underline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \}$
  • $A + B = \{ \underline{S}(f/[a,c],P)+\underline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \} = \{ \underline{S}(f/[a,b],Q); \forall Q \subset Q^* \}$
    • pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
      • $\underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = sup(A+B) = sup(A) + sup (B) = \underline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \underline {\int}_{c}^{b} f(x)dx$
• (b)Sejam $A = \{ \overline{S}(f/[a,c],P); \forall P \subset P^* \}, B = \{ \overline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \}$
  • $A + B = \{ \overline{S}(f/[a,c],P)+\overline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \} = \{ \overline{S}(f/[a,b],Q); \forall Q \subset Q^* \}$
    • pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
      • $\overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = inf(A+B) = inf(A) + inf (B) = \overline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \overline {\int}_{c}^{b} f(x)dx$

Lema 4

Seja $A' \subset \mathbb{R}$ e $A = \{x \in A'; M \le x \le N \}; A \cap [M,N] \ne \empty$; Dado $c \in \mathbb{R}$ temos:

• (a)Se c> 0, então $c \cdot A = \{ c.x \in A'; c\cdot M \le c\cdot x \le c\cdot N \}$
  • Assim: $sup(c \cdot A) = c\cdot sup(A) \; e \; inf(c \cdot A) = c\cdot inf(A)$
• (b)Se c< 0, então $c \cdot A = \{ c.x \in A'; c\cdot M \ge c\cdot x \ge c\cdot N \}$
  • Assim: $sup(c \cdot A) = c\cdot inf(A) \; e \; inf(c \cdot A) = c\cdot sup(A)$

Demonstração

• (a)$sup(c \cdot A) = c \cdot N = c\cdot sup(A)$

$inf(c \cdot A) = c\cdot M = c\cdot inf(A)$

• (b)$sup(c \cdot A) = c \cdot M = c\cdot inf(A)$

$inf(c \cdot A) = c\cdot N = c\cdot sup(A)$

Teorema 3

Sejam $f,g:[a,b] \mapsto$

• (a) $\underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx + \underline {\int}_{a}^{b} g(x)dx \le \underline {\int}_{a}^{b} [f(x)+g(x)]dx \le \overline {\int}_{a}^{b} [f(x)+g(x)]dx \le \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx + \overline {\int}_{a}^{b} g(x)dx$
• (b)
  • c>0
    • $\underline {\int}_{a}^{b} c\cdot f(x)dx = c \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx$
    • $\overline {\int}_{a}^{b} c\cdot f(x)dx = c \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx$
  • c<0
    • $\underline {\int}_{a}^{b} c\cdot f(x)dx = c \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx$
    • $\overline {\int}_{a}^{b} c\cdot f(x)dx = c \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx$
• (c) $Se f(x) < g(x) \forall~ x \in [a,b]$, então
  • \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \underline {\int}_{a}^{b} g(x)dx
  • \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \overline {\int}_{a}^{b} g(x)dx

Funções integráveis

Seja $f:[a,b] \mapsto \mathbb{R}$