Álgebra linear/Espaços vetoriais

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[editar] Espaços vetoriais reais

Definição

Um espaço vetorial real é um conjunto $V,$ não vazio, com duas operações: soma, $V$ $+$ $V$ $\to$ $V,$ e multiplicação por um escalar, $R$ $x$ $V$ $\to$ $V,$ tais que, para quaisquer $u,$ $v,$ $w$ $\in$ $V$ e $a,$ $b,$ $\in$ $R,$ as propriedades de $i)$ a $v i i i)$ sejam satisfeitas.

[editar] Propriedades

$i)$ ( $u$ + $v$ ) + $w$ = $u$ + ( $v$ + $w$ )

 $i i)$   $u$  +  $v$  =  $v$  +  $u$ 
 $i i i)$  Existe  $0$    $V$  tal que  $u$  +  $0$  =  $u .$  ( $0$  é chamado vetor nulo.)
 $i v)$  Existe  $- u$    $V$  tal que  $u$  + ( $- u$ ) =  $0$ 
 $v)$   $a$ ( $u$  +  $v$ ) =  $a$  $u$  +  $a$  $v$ 
 $v i)$  ( $a$  +  $b$ ) $v$  =  $a$  $v$  +  $b$  $v$ 
 $v i i)$  ( $a$  $b$ ) $v$  =  $a$ ( $b$  $v$ )
 $v i i i)$  1 $u$  =  $u$

[editar] Definição

Um espaço vetorial é formado por:

Um conjunto $V,$ cujos elementos serão chamados de vetores;
Um corpo $F,$ cujos elementos serão denominados escalares;
Uma operação $+:V \times V \to V,$ conhecida como adição de vetores;
Uma operação $*:K \times V \to V,$ chamada de multiplicação por escalar.

Neste wikilivro, será escrito simplesmente $α v$ para denotar $α * v .$

Definição

Dizemos que $V$ é um espaço vetorial sobre $K$ quando as operações $+$ e $*$ satisfazem as seguintes propriedades:

Adição

Para cada $u, v \in V,$ $u+v\ =\ v+u$ (comutatividade)
Para cada $u, v, w \in V,$ $(u+v)+w\ =\ u+(v+w)$ (associatividade)
Existe um vetor $0,$ tal que para cada $u\in V,$ $0+u\ =\ u$ (neutro aditivo)
Para cada $u \in V,$ existe $-u \in V$ tal que $u+(-u)\ =\ 0$ (inverso aditivo)

Multiplicação por escalar

Para cada $\alpha \in F$ e cada $u, v \in V,$ $\alpha (u+v)\ =\ \alpha u+\alpha v$ (distributividade)
Para cada $\alpha, \beta \in F$ e cada $u \in V,$ $( \alpha + \beta ) u\ =\ \alpha u + \beta u$ (distributividade)
Para cada $\alpha, \beta \in F$ e cada $u \in V,$ $( \alpha \beta ) u\ =\ \alpha (\beta u)$ (associatividade)
Para cada $u \in V,$ $1u\ =\ u$ (neutro multiplicativo)

[editar] Exemplos

$\mathbb{R}^2\,$ e $\mathbb{R}^3\,$ são espaços vetoriais reais (ou seja, sobre o corpo $\mathbb{R}\,.$
O conjunto formado pelo único número real 0, ou seja, {0}, é um espaço vetorial sobre $\mathbb{R}\,.$
$\mathbb{R}\,$ é um espaço vetorial sobre $\mathbb{R}\,.$
Os exemplos acima são aplicáveis para qualquer corpo F, ou seja, são espaços vetoriais sobre F: {0}, F e Fⁿ.
Seja $\mathbb{N}^{*}\,$ o conjunto dos números inteiros positivos, e S o conjunto de todas as funções de domínio $\mathbb{N}^{*}\,$ e contradomínio $\mathbb{R}\,.$ Dadas f e g funções e λ um número real, podemos definir

(f + g) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real f(n) + g(n)

(λ f) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real λ f(n).

Ou seja, foram definidas as operações de soma de vetores e produto de um escalar por um vetor em S. Como exercício, podem-se provar os axiomas, mostrando que S é um espaço vetorial. Este espaço vetorial é tão importante que tem um nome: ele é o espaço vetorial das sequências de números reais.

O exemplo acima pode ser generalizado. Seja F um corpo qualquer, e I um conjunto qualquer (a letra I é porque este conjunto será chamado de conjunto de índices). Então o conjunto F^I, das funções de domínio I e contra-domínio F, torna-se naturalmente um espaço vetorial definindo-se para $f, g \in F^I\,,$ $\lambda \in F\,:$

$(f + g)(x) = f(x) + g(x)\,$

$(\lambda f)(x) = \lambda f(x)\,$

[editar] Subespaços vetoriais

[editar] Definição

Seja $V$ um espaço vetorial sobre o corpo $K .$ Um subespaço vetorial de $V$ é um subconjunto $W$ que também é um espaço vetorial sobre $K,$ com as mesmas operações (adição e multiplicação por escalar) de $V .$

Equivalentemente, um subespaço vetorial de $V$ é um subconjunto não-vazio $W$ fechado em relação às operações de adição e multiplicação por escalar, ou seja, um subconjunto tal que

Para todos $u, v \in W$ tem-se $u+v \in W;$
Para qualquer escalar $\lambda \in K$ e para todo $u \in W$ tem-se $\lambda u \in W.$

Exemplos

$V$ é subespaço de $V .$
${0}$ é subespaço de $V .$
Se $V 1$ e $V 2$ são subespaços vetoriais do espaço vetorial $V,$ então a interseção $V_1 \cap V_2$ é um espaço vetorial de $V .$
De modo geral, a propriedade acima vale para interseções infinitas. Ou seja, se K é um conjunto não-vazio cujos elementos são subespaços vetoriais de V, então a interseção de todos elementos de K é um subespaço vetorial de V.

Observação

Os dois primeiros subespaços são chamados de subespaços triviais de $V$ .

[editar] Combinação linear

[editar] Definições

Definição

Seja $V$ um espaço vetorial sobre um corpo $K .$ Um vetor $u \in V$ é dito combinação linear dos vetores $v_1, \ldots, v_n \in V$ se existem escalares $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K$ tais que

$\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = u$

Note-se que, pela definição, nem os λ nem os v precisam ser distintos.

Definição

Seja S um subconjunto do espaço vetorial V. Um vetor $u \in V$ é dito uma combinação linear de elementos de S quando $u = 0$ ou existem:

um número inteiro positivo n, $n \in \mathbb{N}^{*}$

vetores $v_1, \ldots, v_n \in S$ e

escalares $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K$

tais que

$\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = u$

Deve-se notar que a condição u = 0 é importante para o caso em que S seja o conjunto vazio. Equivalentemente, seria possível definir a soma de zero vetores como o vetor nulo (isto é semelhante à definição do fatorial de 0, igual ao produto de zero fatores, ou seja, é o elemento neutro multiplicativo, 1).

[editar] Propriedades

Todo elemento x de S é uma combinação linear de elementos de S. Basta escolher n = 1, v₁ = x e λ = 1, de forma que x = λ v₁
Se x é uma combinação linear de elementos de S, e λ é um escalar, então λ x também é uma combinação linear de elementos de S. Prova: x = 0 (neste caso, λ x = 0) ou $x = \lambda_1 v_1 + \ldots \lambda_n v_n\,.$ Então $\lambda x = (\lambda \lambda_1) v_1 + \ldots (\lambda \lambda_n) v_n)\,.$
Se x e y são combinações lineares de elementos de S, então x + y também é. A prova é um pouco mais complicada, e será feita com cuidado
- Caso x ou y sejam 0, é imediato que x + y, sendo igual a x ou y, é uma combinação linear de elementos de S.
- No caso geral, $x = \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n\,$ e $y = \mu_1 w_1 + \ldots + \mu_m w_m\,.$ Então definindo
  $\eta_1 = \lambda_1, \ldots \eta_n = \lambda_n, \eta_{n+1} = \mu_1, \ldots \eta_{n+m} = \mu_m\,$ e
  $u_1 = v_1, \ldots u_n = v_n, u_{n+1} = w_1, \ldots u_{n+m} = w_m\,,$ temos que
  $x + y = \eta_1 u_1 + \ldots + \eta_{n+m} u_{n+m}\,$
Os últimos resultados mostram que o conjunto formado por todas as combinações lineares de elementos de S é um espaço vetorial - o capítulo seguinte estudará este espaço

[editar] Dependência e Independência linear

Definição

Seja $S$ um subconjunto de $V .$ Dizemos que $S$ é linearmente dependente se existem vetores distintos $v_1, \ldots, v_n \in V$ e escalares $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K,$ não todos nulos, tais que

$\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = 0$

Ou seja,

S

é linearmente dependente se alguma combinação linear não-trivial de alguns de seus vetores resulta no vetor nulo. Quando

S

não é linearmente dependente, ou seja, quando a única combinação linear de vetores de

S

que resulta no vetor nulo é a trivial (com todos os coeficientes nulos), dizemos que

S

é linearmente independente.

Quando temos um número finito de vetores $v_1, \ldots, v_n,$ é comum dizer que os vetores $v_1, \ldots, v_n$ são linearmente dependentes (ou independentes), em vez de dizer que o conjunto $S = \{v_1, \ldots, v_n\}$ é linearmente dependente (ou independente).

[editar] Propriedades

Pela definição, o conjunto vazio é linearmente independente.
Todo conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
Todo conjunto que tem um subconjunto linearmente dependente é linearmente dependente.
Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é linearmente independente.
Se um vetor de um conjunto é combinação linear de outros vetores desse conjunto, então o conjunto é linearmente dependente.
A interseção de dois conjuntos linearmente independentes é linearmente independente - podendo ser o conjunto vazio.
A interseção de um número qualquer de conjuntos linearmente independentes é linearmente independente.
A união de conjuntos linearmente independentes, normalmente, não será linearmente independente. Porém quando um conjunto é subconjunto de outro, a sua união (sendo igual ao maior conjunto) é linearmente independente. Uma extensão não-trivial desta propriedade é a seguinte: seja K um conjunto formado por conjuntos linearmente independentes, de modo que dados quaisquer dois elementos de K, um deles é subconjunto do outro. Então a união de todos os elementos de K também é linearmente independente.

[editar] Espaço gerado

[editar] Definição

Definição

Seja $S$ um subconjunto de um espaço vetorial $V .$ O conjunto de todas as combinações lineares finitas de elementos de $S$ é um subespaço $W$ de $V,$ e é dito o subespaço gerado por $S .$ Quando $S$ é um conjunto finito $\{v_1, \ldots, v_n\},$ dizemos que $W$ é o subespaço gerado pelos vetores $v_1, \ldots, v_n.$

[editar] Exemplos

Este livro tem a seguinte tarefa pendente: Elaborar e incluir uma imagem para ilustrar este conceito.

Em qualquer espaço vetorial V, o espaço vetorial gerado pelo conjunto vazio é o subespaço vetorial { 0 }. Analogamente, o espaço vetorial gerado pelo conjunto V é o próprio V
Em $\mathbb{R}^2\,,$ o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo é uma reta que passa pela origem
Em $\mathbb{R}^3\,,$ o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo também é uma reta que passa pela origem
Em $\mathbb{R}^2\,,$ o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é todo o $\mathbb{R}^2\,$
Em $\mathbb{R}^3\,,$ o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é um plano que passa pela origem

[editar] Definição através de conjuntos

Seja S um conjunto de vetores de V. Pode-se perguntar qual é o menor subespaço vetorial de V que contém S. Para ser mais preciso, temos o seguinte:

V é um subespaço vetorial de V que contém S
A interseção de subespaços vetoriais de V que contém S também é um subespaço vetorial de V

Ou seja, seja K o conjunto (não vazio, porque $V \in K\,$ ) definido por:

$K = \{ W \subseteq V \ | \ (W \mbox{ subespaco vetorial de } V) \land S \subseteq W \} \,$

e seja $\bar{S}\,$ definido por:

$\bar{S} = \bigcap_{X \in K} X\,$

[editar] Teorema

Nas condições definidas acima, $\bar{S}\,$ é o subespaço vetorial gerado por S.

[editar] Bases

Definição

Seja $S$ um subconjunto de um espaço vetorial $V .$ $S$ é uma base do espaço vetorial $V$ quando o subespaço de $V$ gerado por $S$ é o próprio $V$ e $S$ é um conjunto linearmente independente. Quando uma base $S$ é um conjunto finito $\{v_1, \ldots, v_n\}$ de $n$ elementos, dizemos que $V$ tem dimensão $n$ .

Seja V um espaço vetorial e B uma base de V. Suponha que um vetor $v \in V\,$ seja escrito como combinação linear de vetores de B de duas formas diferentes: $v = \lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_n u_n = \mu_1 w_1 + \ldots + \mu_m w_m\,.$ O que pode ser dito a respeito dos λ e μ? O que pode ser dito a respeito dos u_i e w_j? A resposta é que, de certa maneira, eles são únicos.

[editar] Coordenadas

Definição

Seja B uma base de um espaço vetorial V. Se existe $b \in B\,,$ então para todo vetor $v \in V,$ se expressarmos v como uma combinação linear de elementos de B que inclua b, o coeficiente do termo b será constante. Em outras palavras, para toda base B do espaço vetorial V existe uma função que associa a cada par $(v, b) \in V \times B\,$ um escalar. Esta função é chamada de a coordenada de v na base B

[editar] Ver também

[editar] Wikipédia

Álgebra linear/Espaços vetoriais

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Tabela de conteúdo

[editar] Espaços vetoriais reais

[editar] Propriedades

[editar] Definição

[editar] Exemplos

[editar] Subespaços vetoriais

[editar] Definição

[editar] Combinação linear

[editar] Definições

[editar] Propriedades

[editar] Dependência e Independência linear

[editar] Propriedades

[editar] Espaço gerado

[editar] Definição

[editar] Exemplos

[editar] Definição através de conjuntos

[editar] Teorema

[editar] Bases

[editar] Coordenadas

[editar] Ver também

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