Álgebra linear/Espaços vetoriais

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Definição

Um espaço vetorial é formado por:

1. Um conjunto $V,$ cujos elementos serão chamados de vetores;
2. Um corpo $K,$ cujos elementos serão denominados escalares;
3. Uma operação $+:V \times V \to V,$ conhecida como adição de vetores;
4. Uma operação $*:K \times V \to V,$ chamada de multiplicação por escalar.

Neste wikilivro, será escrito simplesmente $\alpha v$ para denotar $\alpha * v.$

Normalmente, o corpo K é o corpo dos números racionais, dos números reais ou dos números complexos.

Definição

Dizemos que $V$ é um espaço vetorial sobre $K$ quando as operações $+$ e $*$ satisfazem as seguintes propriedades:

Adição

1. Para cada $u, v \in V,$ $u+v\ =\ v+u$ (comutatividade)
2. Para cada $u, v, w \in V,$ $(u+v)+w\ =\ u+(v+w)$ (associatividade)
3. Existe um vetor $0,$ tal que para cada $u\in V,$ $0+u\ =\ u$ (neutro aditivo)
4. Para cada $u \in V,$ existe $-u \in V$ tal que $u+(-u)\ =\ 0$ (inverso aditivo)

Multiplicação por escalar

1. Para cada $\alpha \in K$ e cada $u, v \in V,$ $\alpha (u+v)\ =\ \alpha u+\alpha v$ (distributividade)
2. Para cada $\alpha, \beta \in K$ e cada $u \in V,$ $( \alpha + \beta ) u\ =\ \alpha u + \beta u$ (distributividade)
3. Para cada $\alpha, \beta \in K$ e cada $u \in V,$ $( \alpha \beta ) u\ =\ \alpha (\beta u)$ (associatividade)
4. Para cada $u \in V,$ $1u\ =\ u$ (neutro multiplicativo)

Exemplos

• $\mathbb{R}^2\,$ e $\mathbb{R}^3\,$ são espaços vetoriais reais (ou seja, sobre o corpo $\mathbb{R}\,$).
• O conjunto formado pelo único número real 0, ou seja, {0}, é um espaço vetorial sobre $\mathbb{R}\,.$
• $\mathbb{R}\,$ é um espaço vetorial sobre $\mathbb{R}\,.$
• Os exemplos acima são aplicáveis para qualquer corpo K, ou seja, são espaços vetoriais sobre K: {0}, K e Kⁿ.
• Seja $\mathbb{N}^{*}\,$ o conjunto dos números inteiros positivos, e S o conjunto de todas as funções de domínio $\mathbb{N}^{*}\,$ e contradomínio $\mathbb{R}\,.$ Dadas f e g funções e λ um número real, podemos definir

(f + g) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real f(n) + g(n)

(λ f) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real λ f(n).

Ou seja, foram definidas as operações de soma de vetores e produto de um escalar por um vetor em S. Como exercício, podem-se provar os axiomas, mostrando que S é um espaço vetorial. Este espaço vetorial é tão importante que tem um nome: ele é o espaço vetorial das sequências de números reais.

• O exemplo acima pode ser generalizado. Seja K um corpo qualquer, e I um conjunto qualquer (a letra I é porque este conjunto será chamado de conjunto de índices). Então o conjunto K^I, das funções de domínio I e contra-domínio K, torna-se naturalmente um espaço vetorial definindo-se para $f, g \in K^I\,,$ $\lambda \in K\,:$

$(f + g)(x) = f(x) + g(x)\,$

$(\lambda f)(x) = \lambda f(x)\,$

Subespaços vetoriais

Definição

Seja $V$ um espaço vetorial sobre o corpo $K.$ Um subespaço vetorial de $V$ é um subconjunto $W$ que também é um espaço vetorial sobre $K,$ com as mesmas operações (adição e multiplicação por escalar) de $V.$

Equivalentemente, um subespaço vetorial de $V$ é um subconjunto não-vazio $W$ fechado em relação às operações de adição e multiplicação por escalar, ou seja, um subconjunto tal que

1. Para todos $u, v \in W$ tem-se $u+v \in W;$
2. Para qualquer escalar $\lambda \in K$ e para todo $u \in W$ tem-se $\lambda u \in W.$

-

}

Combinação linear

Definições

Definição

Seja $V$ um espaço vetorial sobre um corpo $K.$ Um vetor $u \in V$ é dito combinação linear dos vetores $v_1, \ldots, v_n \in V$ se existem escalares $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K$ tais que

$\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = u$

Note-se que, pela definição, nem os λ nem os v precisam ser distintos.

Definição

Seja S um subconjunto do espaço vetorial V. Um vetor $u \in V$ é dito uma combinação linear de elementos de S quando $u = 0$ ou existem:

um número inteiro positivo n, $n \in \mathbb{N}^{*}$

vetores $v_1, \ldots, v_n \in S$ e

escalares $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K$

tais que

$\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = u$

Deve-se notar que a condição u = 0 é importante para o caso em que S seja o conjunto vazio. Equivalentemente, seria possível definir a soma de zero vetores como o vetor nulo (isto é semelhante à definição do fatorial de 0, igual ao produto de zero fatores, ou seja, é o elemento neutro multiplicativo, 1).

Propriedades

• Todo elemento x de S é uma combinação linear de elementos de S. Basta escolher n = 1, v₁ = x e λ = 1, de forma que x = λ v₁
• Se x é uma combinação linear de elementos de S, e λ é um escalar, então λ x também é uma combinação linear de elementos de S. Prova: x = 0 (neste caso, λ x = 0) ou $x = \lambda_1 v_1 + \ldots \lambda_n v_n\,.$ Então $\lambda x = (\lambda \lambda_1) v_1 + \ldots (\lambda \lambda_n) v_n)\,.$
• Se x e y são combinações lineares de elementos de S, então x + y também é. A prova é um pouco mais complicada, e será feita com cuidado
  • Caso x ou y sejam 0, é imediato que x + y, sendo igual a x ou y, é uma combinação linear de elementos de S.
  • No caso geral, $x = \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n\,$ e $y = \mu_1 w_1 + \ldots + \mu_m w_m\,.$ Então definindo
    $\eta_1 = \lambda_1, \ldots \eta_n = \lambda_n, \eta_{n+1} = \mu_1, \ldots \eta_{n+m} = \mu_m\,$ e
    $u_1 = v_1, \ldots u_n = v_n, u_{n+1} = w_1, \ldots u_{n+m} = w_m\,,$ temos que
    $x + y = \eta_1 u_1 + \ldots + \eta_{n+m} u_{n+m}\,$
• Os últimos resultados mostram que o conjunto formado por todas as combinações lineares de elementos de S é um espaço vetorial - o capítulo seguinte estudará este espaço

Dependência e Independência linear

Definição

Seja $S$ um subconjunto de $V.$ Dizemos que $S$ é linearmente dependente se existem vetores distintos $v_1, \ldots, v_n \in V$ e escalares $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K,$ não todos nulos, tais que

$\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = 0$

Ou seja, $S$ é linearmente dependente se alguma combinação linear não-trivial de alguns de seus vetores resulta no vetor nulo. Quando $S$ não é linearmente dependente, ou seja, quando a única combinação linear de vetores de $S$ que resulta no vetor nulo é a trivial (com todos os coeficientes nulos), dizemos que $S$ é linearmente independente.

Quando temos um número finito de vetores $v_1, \ldots, v_n,$ é comum dizer que os vetores $v_1, \ldots, v_n$ são linearmente dependentes (ou independentes), em vez de dizer que o conjunto $S = \{v_1, \ldots, v_n\}$ é linearmente dependente (ou independente).

Propriedades

• Pela definição, o conjunto vazio é linearmente independente.
• Todo conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
• Todo conjunto que tem um subconjunto linearmente dependente é linearmente dependente.
• Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é linearmente independente.
• Se um vetor de um conjunto é combinação linear de outros vetores desse conjunto, então o conjunto é linearmente dependente.
• A interseção de dois conjuntos linearmente independentes é linearmente independente - podendo ser o conjunto vazio.
• A interseção de um número qualquer de conjuntos linearmente independentes é linearmente independente.
• A união de conjuntos linearmente independentes, normalmente, não será linearmente independente. Porém quando um conjunto é subconjunto de outro, a sua união (sendo igual ao maior conjunto) é linearmente independente. Uma extensão não-trivial desta propriedade é a seguinte: seja K um conjunto formado por conjuntos linearmente independentes, de modo que dados quaisquer dois elementos de K, um deles é subconjunto do outro. Então a união de todos os elementos de K também é linearmente independente.

Espaço gerado

Definição

Definição

Seja $S$ um subconjunto de um espaço vetorial $V.$ O conjunto de todas as combinações lineares finitas de elementos de $S$ é um subespaço $W$ de $V,$ e é dito o subespaço gerado por $S.$ Quando $S$ é um conjunto finito $\{v_1, \ldots, v_n\},$ dizemos que $W$ é o subespaço gerado pelos vetores $v_1, \ldots, v_n.$

Exemplos

Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Elaborar e incluir uma imagem para ilustrar este conceito.

• Em qualquer espaço vetorial V, o espaço vetorial gerado pelo conjunto vazio é o subespaço vetorial { 0 }. Analogamente, o espaço vetorial gerado pelo conjunto V é o próprio V
• Em $\mathbb{R}^2\,,$ o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo é uma reta que passa pela origem
• Em $\mathbb{R}^3\,,$ o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo também é uma reta que passa pela origem
• Em $\mathbb{R}^2\,,$ o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é todo o $\mathbb{R}^2\,$
• Em $\mathbb{R}^3\,,$ o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é um plano que passa pela origem

Definição através de conjuntos

Seja S um conjunto de vetores de V. Pode-se perguntar qual é o menor subespaço vetorial de V que contém S. Para ser mais preciso, temos o seguinte:

• V é um subespaço vetorial de V que contém S
• A interseção de subespaços vetoriais de V que contém S também é um subespaço vetorial de V

Ou seja, seja K o conjunto (não vazio, porque $V \in K\,$) definido por:

• $K = \{ W \subseteq V \ | \ (W \mbox{ subespaco vetorial de } V) \land S \subseteq W \} \,$

e seja $\bar{S}\,$ definido por:

• $\bar{S} = \bigcap_{X \in K} X\,$

Teorema

Nas condições definidas acima, $\bar{S}\,$ é o subespaço vetorial gerado por S.

Bases

Definição

Seja $S$ um subconjunto de um espaço vetorial $V.$ $S$ é uma base do espaço vetorial $V$ quando o subespaço de $V$ gerado por $S$ é o próprio $V$ e $S$ é um conjunto linearmente independente. Quando uma base $S$ é um conjunto finito $\{v_1, \ldots, v_n\}$ de $n$ elementos, dizemos que $V$ tem dimensão $n$.

Seja V um espaço vetorial e B uma base de V. Suponha que um vetor $v \in V\,$ seja escrito como combinação linear de vetores de B de duas formas diferentes: $v = \lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_n u_n = \mu_1 w_1 + \ldots + \mu_m w_m\,.$ O que pode ser dito a respeito dos λ e μ? O que pode ser dito a respeito dos u_i e w_j? A resposta é que, de certa maneira, eles são únicos.

Coordenadas

Definição

Seja B uma base de um espaço vetorial V. Se existe $b \in B\,,$ então para todo vetor $v \in V,$ se expressarmos v como uma combinação linear de elementos de B que inclua b, o coeficiente do termo b será constante. Em outras palavras, para toda base B do espaço vetorial V existe uma função que associa a cada par $(v, b) \in V \times B\,$ um escalar. Esta função é chamada de a coordenada de v na base B

Ver também

Wikipédia

• Espaço vetorial
• Subespaço vetorial
• Independência linear
• Espaço vetorial gerado
• Base