Análise real/Números racionais

Grupo Aditivo dos Inteiros (Z,+)

O conjunto dos inteiros $\mathbb{Z}$ e a operação de adição $+\$ formam um grupo e a multiplicação carece de inversas. Se permitirmos que a multiplicação e a adição operem nos $\mathbb{Z},$ nós poderemos definir um conjunto onde todo elemento, exceto o zero, tem um inverso multiplicativo. Este é o conjunto de números racionais.

Números Racionais

A próxima extensão padrão adiciona a possibilidade de quocientes ou divisão, e dá-nos os números racionais(ou apenas racionais) $\mathbb Q,$ Que inclui o inverso multiplicativo de $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ da forma $\frac{1}{z}$ frações como a $\frac{1}{2},$ bem como produtos dos dois conjuntos a partir de $\frac{z_1}{z_2},$ como $\frac{64}{7}, \frac{17}{16\times 10^5}.$ Os racionais nos permitem usar precisão arbitrária, e eles são suficientes para medição.

Os números racionais podem ser construídos a partir dos inteiros como classe de equivalência de pares ordenados (a, b) de inteiros, com b ≠ 0, tal que (a, b) e (c, d) são equivalentes quando ad = bc usando a definição de multiplicação de inteiros. Estes pares ordenados são, é claro, comumente escritos $\tfrac{a}{b}.$ Pode-se definir adição como (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) e multiplicação como (a, b) . (c, d) = (ac, bd); todos usando a definição de adição e multiplicação de inteiros.

Esta construção dos racionais a partir dos inteiros é denominada construção do corpo de frações de um anel; nem todos anéis podem ter um corpo de frações, mas uma classe especial de anéis, os domínios de integridade, podem. Entre os domínios de integridade estão os inteiros e o anel dos polinômios com coeficientes em um corpo ou domínio de integridade.

Ver também

• Matemática elementar/Conjuntos/Números racionais - texto mais elementar
• Álgebra Abstrata
• Corpos
• Corpo Ordenado