Álgebra linear/Transformações lineares

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Transformações Lineares

Definição

Definição

Uma função $T:V\to W,$ onde $V$ e $W$ são espaços vetoriais sobre um corpo $K,$ é dita uma transformação linear se, para todos $u,v\in V$ e para todo $\lambda \in K,$ tem-se

$\;T(u+v)=T(u)+T(v)$

$T(\lambda u)=\lambda \,T(u)$

Existência de uma transformação

Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a $dim\;V<\infty$. Seja $\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}\;$ uma base de V e $w_{1},w_{2},...,w_{n}\;$ vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear $T:V\mapsto W,Tv_{i}=w_{i},i=1,...,n$.

Prova

T existe e está bem definida Dado $v\in V,\exists x=(x_{1},...,x_{n}),x_{i}\in K,i=1,...,n$ tal que $v=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}$. Podemos definir T em v como $Tv=\sum _{i=1}^{n}x_{i}w_{i}$. Sendo $\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}\;$ uma base, tem-se a unicidade de $(x_{1},...,x_{n})$ e, consequentemente, T está bem definida por meio da regra que associa o vetor $v\in V$ ao vetor $Tv\in W$. Vemos através da definição que $Tv=\sum _{i=1}^{n}x_{i}Tv_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}w_{i}\Rightarrow Tv_{i}=w_{i},i=1,...,n$. T é linear Tome $w\in V,w=\sum _{i=1}^{n}y_{i}v_{i},c\in K$. Assim $cv+w=c\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{n}y_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}(cx_{i}+y_{i})v_{i}$. Pela definição $T(cv+w)=\sum _{i=1}^{n}(cx_{i}+y_{i})w_{i}$. De outro modo $cTv+Tw=c\sum _{i=1}^{n}x_{i}w_{i}+\sum _{i=1}^{n}y_{i}w_{i}=\sum _{i=1}^{n}(cx_{i}+y_{i})w_{i}$. Portanto $T(cv+w)=cTv+Tw\;$. T é única Suponha que exista $U:V\mapsto W,Uv_{i}=w_{i},i=1,...,n\;$, então se $v=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}$, então $Uv=\sum _{i=1}^{n}x_{i}Uv_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}w_{i}=Tv,\forall v\in V$.

Imagem de uma transformação linear

A seguir será discutido um exemplo de como achar a imagem de uma transformação linear. Considere $T:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$, definida por $T(x,y)=(2x+3y,4x-3y)$. O valor de $T$ em um ponto $(x,y)$ pode ser reescrito da seguinte forma:

$T(x,y)=(2x+3y,4x-3y)=x(2,4)+y(3,-3)$.

Consequentemente, todo ponto da imagem é uma combinação linear dos vetores $(2,4)$ e $(3,-3)$, isto é, tais vetores formam um conjunto de geradores para a imagem de $T$. Como poderá ser verificado pelo leitor, estes vetores também são linearmente independentes, constituindo portanto uma base para a imagem de $T$.

Núcleo

Definição

Seja $T:V\to W\,$ uma transformação linear entre os espaços vetoriais V e W. O núcleo da transformação linear, Ker(T), é a imagem inversa do vetor nulo em W:

$Ker(T)=\{v\in V|T(v)=0\}\,$

Teorema do núcleo

O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio

A demonstração é simples:

• Ker(T) não é vazio, pois 0_V é um elemento de Ker(T), já que T(0_V) = 0_W
• Se $v,w\in Ker(T)\,,$ então T(v) = T(w) = 0, logo, pela linearidade de T, T(v + w) = 0 e $v+w\in Ker(T)\,$
• Se $\lambda \in K\,$ e $v\in Ker(T)\,,$ temos $T(v)=0\,$ logo $T(\lambda v)=\lambda T(v)=\lambda 0=0\,,$ ou seja, $\lambda v\in Ker(T)\,$

Posto e nulidade

Se $dimV<\infty$, e $T:V\mapsto W$

• O posto(T) = dim Im(T),isto é, a dimensão da imagem de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram toda a imagem de T(V).

e

• A Nulidade(T) = dim Ker(T), isto é, é a dimensão do núcleo de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram todo o núcleo de T(V).

Teorema do posto e da nulidade

Sejam V e W espaço vetoriais sobre o corpo K e $T:V\mapsto W$. Se $dimV<\infty$, então posto(T) + Nulidade(T) = dim V

Prova

• Definindo a base do núcleo e a base do espaço:

Seja $\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}\;$ uma base do Ker(T). Existem vetores $v_{j},\;$ com j=k+1,...,n onde $\{v_{1},v_{2},...,v_{k},v_{k+1},...v_{n}\}\;$ é uma base de V.

• Definindo a base da imagem:

Como $\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}\;$ é a base de V, T aplicada nessa base gera um conjunto que gera a imagem de T por V. Aplicando T sobre os vetores da base de V, temos $Tv_{1},Tv_{2},...,Tv_{n}\;$, mas $Tv_{1}=Tv_{2}=...=Tv_{k}=0\;$, pela definição de núcleo. Assim os vetores $Tv_{k+1},...,Tv_{n}\;$ geram a imagem de T(V).

• Provando que os vetores são independentes:

Como queremos uma base, eles devem ser independentes, isto é, devem $\exists c_{i}\in K,$ tal que $\sum _{i=1}^{n}c_{i}v_{i}=0\Leftrightarrow c_{i}=0,i=1,...,n$.

Tomemos $\sum _{i=k+1}^{n}c_{i}(Tv_{i})=0\Leftrightarrow T(\sum _{i=k+1}^{n}c_{i}v_{i})=0$. Logo $w=\sum _{i=k+1}^{n}c_{i}v_{i}\in Ker(T)$. Como $w\in Ker(T),w=\sum _{i=1}^{k}b_{i}v_{i},b_{i}\in K$.

Portanto $w=\sum _{i=k+1}^{n}c_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{k}b_{i}v_{i}\Leftrightarrow \sum _{i=k+1}^{n}c_{i}v_{i}-\sum _{i=1}^{k}b_{i}v_{i}=0$. Como $v_{1},v_{2},...,v_{k}\;$ são L.I., então $b_{i}=c_{i}=0,\forall i=1,...,n$.

• Definindo posto e nulidade:

O Posto(T) = dim Im(T). Como $Tv_{k+1},...,Tv_{n}\;$ geram a imagem de T(V), logo o posto(T)= n - (k+1) +1 = n-k.

A nulidade (T) = dim Ker(T). Como $\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}\;$ é uma base do Ker(T), logo a Nulidade (T)= k - 1 + 1 = k

Como n = dim V, Nulidade(T)=k e Posto(T)=n-k, portanto Posto(T) + Nulidade(T) = dim(V).

Funcionais lineares

Definição

Definição

Uma função $f:V\rightarrow K,$ onde V é um espaço vetorial sobre K, é chamada de funcional linear se, $\forall u,v\in V$ e $\forall \lambda \in K:$

$f(u+v)=f(u)+f(v)$

$f(\lambda v)=\lambda f(v)$

Teorema  (existência e unicidade)

Se V é um espaço vetorial de dimensão n e $\alpha =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ é uma base de V, então existe um único funcional f, tal que $f(v_{i})=\lambda _{i},i=1,2,\ldots ,n$ e $\lambda _{i}\in K$

Teorema  (base dual)

Se V é um espaço vetorial, $\mathrm {dim} V=n$ e $\beta =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ é uma base de V, então existe uma única base $\beta ^{*}=\{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\}$ de $V^{*}$ tal que $f_{i}(v_{j})=\delta _{ij}$

Definição

$\beta ^{*}$ é chamada de base dual de $\beta$

$V^{*}$ é chamado de espaço dual de V

Corolários:

$f=\sum f(v_{i})f_{i}$

$v=\sum f_{i}(v)v_{i}$

Teoremas

Teorema  (representação dos funcionais lineares)

Sejam V um espaço vetorial sobre K, $\mathrm {dim} V=n,$ com produto interno, e $f:V\rightarrow K$ um funcional linear. Então existe um único vetor $v_{o}\in V,$ tal que $f(v)=\langle v,v_{o}\rangle ,$ $\forall v\in V.$

Demonstra-se ainda que $v_{o}=\sum {\overline {f(e_{i})}}e_{i}$

Operador linear

Dizemos que T uma transformação linear, $T:V\mapsto V$ é chamada operador linear de T sobre V.

Adjunto de um operador linear

Definição

Definição

Seja V um espaço vetorial. O operador adjunto, $T^{*}:V\rightarrow V,$ de um determinado operador linear $T:V\rightarrow V$ é definido pela igualdade:

$\langle T(u),v\rangle =\langle u,T^{*}(v)\rangle ,\quad \forall u,v\in V$

Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.

A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):

$(S+T)^{*}=S^{*}+T^{*}$

$(\lambda T)^{*}={\bar {\lambda }}T^{*}$

$(S\circ T)^{*}=T^{*}\circ S^{*}$

Proposição

Seja V um espaço vetorial sobre K, $\mathrm {dim} V=n,$ com produto interno. Seja $\alpha =\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$ uma base ortonormal de V. Então $[T]_{\alpha }=(a_{ij}),$ onde $a_{ij}=\langle T(e_{j}),e_{i}\rangle$

Corolário

Seja V um espaço vetorial sobre K, $\mathrm {dim} V=n,$ com produto interno. Então, para qualquer base $\alpha =\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$ ortonormal de V, temos que a matriz $[T^{*}]_{\alpha }=({\overline {[T]_{\alpha }}})^{t}.$

Operadores especiais

• Auto-adjunto ($T^{*}=T$)
• Unitário ($T^{*}=T^{-1}$)
• Normal ($T^{*}T=TT^{*}$)

Operador auto-adjunto

Definição

$T:V\rightarrow V$ é chamado de auto-adjunto se $T^{*}=T.$

Uma matriz A é auto-adjunta se ${\overline {A}}^{t}=A.$

• Se $K=R,$ $[T]_{\alpha }$ é chamada simétrica.
• Se $K=C,$ $[T]_{\alpha }$ é chamada hermitiana.

Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:

Se $\langle T(u),v\rangle =0,\forall u,v\in V,$ então $T=0.$

Se V é complexo e $\langle T(u),u\rangle =0,\forall u\in V,$ então $T=0.$

Prove:

• Se $T^{*}=T$ e $\langle T(u),u\rangle =0,\forall u\in V,$ então $T=0.$
• Seja $T:V\rightarrow V,$ com V complexo. Então $T^{*}=T\iff \langle T(v),v\rangle \in R.$

Operador unitário

Definição

$T:V\rightarrow V$ é chamado de unitário se $T^{*}=T^{-1}.$

Uma matriz A é unitária se ${\overline {A}}^{t}=A^{-1}$

Prove:

• T é unitário $\iff \langle T(u),T(v)\rangle =\langle u,v\rangle$ (T preserva o produto interno)
• T é unitário $\iff |T(u)|=|u|$ (T preserva a norma)
• T é unitário $\iff T^{-1}$ é unitário

Operador normal

Definição

$T:V\rightarrow V$ é chamado de normal se $TT^{*}=T^{*}T.$

Uma matriz A é normal se $AA^{*}=A^{*}A$

Prove:

• Todo operador auto-adjunto é normal
• Todo operador unitário é normal

É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.

Subespaço invariante

Definição

Definição

W, subespaço vetorial de V, é dito invariante sob o operador $T:V\rightarrow V,$ se $T(W)\subset W.$

Dizemos também que W é T-invariante.

Exercícios

Prove:

• Se W é T-invariante, então $W^{\perp }$ é $T^{*}$-invariante.
• Se W é T-invariante e T é auto-adjunto, então W é $T^{*}$-invariante.
• Se W é T-invariante e T é inversível, então $T(W)=W.$
• Se W é T-invariante e T é inversível, então W é $T^{-1}$-invariante e $T^{-1}(W)=W.$
• Se W é T-invariante e T é unitário, então W é $T^{-1}$-invariante (ou $T^{*}$-invariante).
• Se W é T-invariante e T é unitário, então $W^{\perp }$ é T-invariante.

Ver também

Wikipédia

• Núcleo da transformação linear
• Transformação linear