Álgebra linear/Transformações lineares

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Transformações Lineares

Definição

Definição

Uma função $T : V \to W,$ onde $V$ e $W$ são espaços vetoriais sobre um corpo $K,$ é dita uma transformação linear se, para todos $u, v \in V$ e para todo $\lambda \in K,$ tem-se

$\;T(u + v) = T(u) + T(v)$

$T(\lambda u) = \lambda \, T(u)$

Existência de uma transformação

Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a $dim \; V < \infty$. Seja $\{v_1, v_2,...,v_n \} \;$ uma base de V e $w_1, w_2,...,w_n \;$ vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear $T:V \mapsto W , Tv_i=w_i, i=1,...,n$.

Prova

T existe e está bem definida Dado $v \in V, \exists x=(x_1,...,x_n), x_i \in K, i=1,...,n$ tal que $v=\sum_{i=1}^n x_iv_i$. Podemos definir T em v como $Tv=\sum_{i=1}^n x_iw_i$. Sendo $\{v_1, v_2,...,v_n \} \;$ uma base, tem-se a unicidade de $(x_1,...,x_n)$ e, consequentemente, T está bem definida por meio da regra que associa o vetor $v \in V$ ao vetor $Tv \in W$. Vemos através da definição que $Tv=\sum_{i=1}^n x_iTv_i=\sum_{i=1}^n x_iw_i \Rightarrow Tv_i=w_i, i=1,...,n$. T é linear Tome $w \in V, w = \sum_{i=1}^n y_iv_i, c \in K$. Assim $cv+w = c\sum_{i=1}^n x_iv_i + \sum_{i=1}^n y_iv_i = \sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)v_i$. Pela definição $T(cv+w)=\sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)w_i$. De outro modo $cTv+ Tw=c\sum_{i=1}^n x_iw_i+ \sum_{i=1}^ny_iw_i = \sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)w_i$. Portanto $T(cv+w)=cTv+ Tw \;$. T é única Suponha que exista $U:V \mapsto W, Uv_i=w_i, i=1,...,n \;$, então se $v=\sum_{i=1}^n x_iv_i$, então $Uv=\sum_{i=1}^n x_iUv_i=\sum_{i=1}^n x_iw_i = Tv, \forall v \in V$.

Imagem de uma transformação linear

A seguir será discutido um exemplo de como achar a imagem de uma transformação linear. Considere $T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$, definida por $T(x,y)=(2x+3y, 4x-3y)$. O valor de $T$ em um ponto $(x, y)$ pode ser reescrito da seguinte forma:

$T(x, y) = (2x+3y,4x-3y) = x(2,4) + y(3,-3)$.

Consequentemente, todo ponto da imagem é uma combinação linear dos vetores $(2,4)$ e $(3,-3)$, isto é, tais vetores formam um conjunto de geradores para a imagem de $T$. Como poderá ser verificado pelo leitor, estes vetores também são linearmente independentes, constituindo portanto uma base para a imagem de $T$.

Núcleo

Definição

Seja $T: V \to W\,$ uma transformação linear entre os espaços vetoriais V e W. O núcleo da transformação linear, Ker(T), é a imagem inversa do vetor nulo em W:

$Ker(T) = \{ v \in V | T(v) = 0 \} \,$

Teorema do núcleo

O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio

A demonstração é simples:

• Ker(T) não é vazio, pois 0_V é um elemento de Ker(T), já que T(0_V) = 0_W
• Se $v, w \in Ker(T)\,,$ então T(v) = T(w) = 0, logo, pela linearidade de T, T(v + w) = 0 e $v + w \in Ker(T)\,$
• Se $\lambda \in K\,$ e $v \in Ker(T)\,,$ temos $T(v) = 0\,$ logo $T(\lambda v) = \lambda T(v) = \lambda 0 = 0\,,$ ou seja, $\lambda v \in Ker(T)\,$

Posto e nulidade

Se $dim V< \infty$, e $T:V \mapsto W$

• O posto(T) = dim Im(T),isto é, a dimensão da imagem de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram toda a imagem de T(V).

e

• A Nulidade(T) = dim Ker(T), isto é, é a dimensão do núcleo de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram todo o núcleo de T(V).

Teorema do posto e da nulidade

Sejam V e W espaço vetoriais sobre o corpo K e $T:V \mapsto W$. Se $dim V < \infty$, então posto(T) + Nulidade(T) = dim V

Prova

• Definindo a base do núcleo e a base do espaço:

Seja $\{v_1, v_2, ..., v_k \} \;$ uma base do Ker(T). Existem vetores $v_j, \;$ com j=k+1,...,n onde $\{v_1, v_2, ..., v_k, v_{k+1}, ... v_n \} \;$ é uma base de V.

• Definindo a base da imagem:

Como $\{v_1, v_2, ..., v_n \} \;$ é a base de V, T aplicada nessa base gera um conjunto que gera a imagem de T por V. Aplicando T sobre os vetores da base de V, temos $Tv_1, Tv_2, ..., Tv_n \;$, mas $Tv_1 = Tv_2 = ... = Tv_k = 0 \;$, pela definição de núcleo. Assim os vetores $Tv_{k+1}, ..., Tv_n \;$ geram a imagem de T(V).

• Provando que os vetores são independentes:

Como queremos uma base, eles devem ser independentes, isto é, devem $\exists c_i \in K,$ tal que $\sum_{i=1}^n c_iv_i = 0 \Leftrightarrow c_i=0, i=1,...,n$.

Tomemos $\sum_{i=k+1}^n c_i(Tv_i) = 0 \Leftrightarrow T(\sum_{i=k+1}^n c_iv_i) = 0$. Logo $w=\sum_{i=k+1}^n c_iv_i \in Ker(T)$. Como $w \in Ker(T), w = \sum_{i=1}^k b_iv_i, b_i \in K$.

Portanto $w=\sum_{i=k+1}^n c_iv_i = \sum_{i=1}^k b_iv_i \Leftrightarrow \sum_{i=k+1}^n c_iv_i - \sum_{i=1}^k b_iv_i = 0$. Como $v_1, v_2, ..., v_k \;$ são L.I., então $b_i = c_i = 0, \forall i = 1,...,n$.

• Definindo posto e nulidade:

O Posto(T) = dim Im(T). Como $Tv_{k+1}, ..., Tv_n \;$ geram a imagem de T(V), logo o posto(T)= n - (k+1) +1 = n-k.

A nulidade (T) = dim Ker(T). Como $\{v_1, v_2, ..., v_k \} \;$ é uma base do Ker(T), logo a Nulidade (T)= k - 1 + 1 = k

Como n = dim V, Nulidade(T)=k e Posto(T)=n-k, portanto Posto(T) + Nulidade(T) = dim(V).

Funcionais lineares

Definição

Definição

Uma função $f: V \rightarrow K ,$ onde V é um espaço vetorial sobre K, é chamada de funcional linear se, $\forall u, v \in V$ e $\forall \lambda \in K:$

$f(u + v) = f(u) + f(v)$

$f( \lambda v) = \lambda f(v)$

Teorema  (existência e unicidade)

Se V é um espaço vetorial de dimensão n e $\alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n \}$ é uma base de V, então existe um único funcional f, tal que $f(v_i) = \lambda_i, i = 1, 2, \ldots, n$ e $\lambda_i \in K$

Teorema  (base dual)

Se V é um espaço vetorial, $\mathrm{dim} V = n$ e $\beta = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ é uma base de V, então existe uma única base $\beta^* = \{f_1, f_2, \ldots, f_n\}$ de $V^*$ tal que $f_i(v_j) = \delta_{ij}$

Definição

$\beta^{*}$ é chamada de base dual de $\beta$

$V^*$ é chamado de espaço dual de V

Corolários:

$f = \sum f(v_i)f_i$

$v = \sum f_i(v)v_i$

Teoremas

Teorema  (representação dos funcionais lineares)

Sejam V um espaço vetorial sobre K, $\mathrm{dim} V = n,$ com produto interno, e $f: V \rightarrow K$ um funcional linear. Então existe um único vetor $v_o \in V,$ tal que $f(v) = \langle v, v_o \rangle,$ $\forall v \in V.$

Demonstra-se ainda que $v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i$

Operador linear

Dizemos que T uma tranformação linear, $T:V \mapsto V$ é chamada operador linear de T sobre V.

Adjunto de um operador linear

Definição

Definição

Seja V um espaço vetorial. O operador adjunto, $T^* : V \rightarrow V ,$ de um determinado operador linear $T : V \rightarrow V$ é definido pela igualdade:

$\langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V$

Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.

A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):

$(S + T)^* = S^* + T^*$

$(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*$

$(S \circ T)^* = T^* \circ S^*$

Proposição

Seja V um espaço vetorial sobre K, $\mathrm{dim} V = n,$ com produto interno. Seja $\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ uma base ortonormal de V. Então $[T]_\alpha = (a_{ij}),$ onde $a_{ij} = \langle T(e_j), e_i \rangle$

Corolário

Seja V um espaço vetorial sobre K, $\mathrm{dim} V = n,$ com produto interno. Então, para qualquer base $\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ ortonormal de V, temos que a matriz $[T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t.$

Operadores especiais

• Auto-adjunto ($T^* = T$)
• Unitário ($T^* = T^{-1}$)
• Normal ($T^*T = TT^*$)

Operador auto-adjunto

Definição

$T: V \rightarrow V$ é chamado de auto-adjunto se $T^* = T.$

Uma matriz A é auto-adjunta se $\overline{A}^t = A.$

• Se $K = R,$ $[T]_\alpha$ é chamada simétrica.
• Se $K = C,$ $[T]_\alpha$ é chamada hermitiana.

Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:

Se $\langle T(u), v \rangle = 0, \forall u, v \in V,$ então $T = 0.$

Se V é complexo e $\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V,$ então $T = 0.$

Prove:

• Se $T^* = T$ e $\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V,$ então $T = 0.$
• Seja $T: V \rightarrow V,$ com V complexo. Então $T^* = T \iff \langle T(v), v \rangle \in R.$

Operador unitário

Definição

$T: V \rightarrow V$ é chamado de unitário se $T^* = T^{-1}.$

Uma matriz A é unitária se ${\overline{A}}^t = A^{-1}$

Prove:

• T é unitário $\iff \langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle$ (T preserva o produto interno)
• T é unitário $\iff |T(u)| = |u|$ (T preserva a norma)
• T é unitário $\iff T^{-1}$ é unitário

Operador normal

Definição

$T: V \rightarrow V$ é chamado de normal se $TT^* = T^*T.$

Uma matriz A é normal se $AA^* = A^*A$

Prove:

• Todo operador auto-adjunto é normal
• Todo operador unitário é normal

É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.

Subespaço invariante

Definição

Definição

W, subespaço vetorial de V, é dito invariante sob o operador $T: V \rightarrow V,$ se $T(W) \subset W.$

Dizemos também que W é T-invariante.

Exercícios

Prove:

• Se W é T-invariante, então $W^\perp$ é $T^*$-invariante.
• Se W é T-invariante e T é auto-adjunto, então W é $T^*$-invariante.
• Se W é T-invariante e T é inversível, então $T(W) = W.$
• Se W é T-invariante e T é inversível, então W é $T^{-1}$-invariante e $T^{-1}(W) = W.$
• Se W é T-invariante e T é unitário, então W é $T^{-1}$-invariante (ou $T^*$-invariante).
• Se W é T-invariante e T é unitário, então $W^\perp$ é T-invariante.

Ver também

Wikipédia

• Núcleo da transformação linear
• Transformação linear