Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Topologia da reta/25-32

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Um conjunto X é denso em $\mathbb {R} \Leftrightarrow int(\mathbb {R} -X)=\varnothing$

Resolução

• X é denso em $\mathbb {R} \Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} ,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\cap X\neq \varnothing \Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} -X,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\cap X\neq \varnothing \Rightarrow$ $\Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} -X,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\not \subset \mathbb {R} -X\Rightarrow int(\mathbb {R} -X)=\varnothing$

• $int(\mathbb {R} -X)=\varnothing \Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} -X,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\not \subset \mathbb {R} -X\Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} -X,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\cap X\neq \varnothing \Rightarrow$ $\Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} ,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\cap X\neq \varnothing \Rightarrow$ X é denso em $\mathbb {R}$

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Se $F\;$ é fechado e $A\;$ é aberto então $F-A\;$ é fechado

Resolução

• Se $F\subset A\Rightarrow F-A=\varnothing \Rightarrow F-A$ é fechado.
• Caso F-A=F, F é fechado, logo F-A é fechado.
• Caso $(F-A)'=\varnothing \Rightarrow F$é fechado, pois é um conjunto discreto enumerável.
• Seja $(F-A)'\neq \varnothing$. Suponha por contradição que $F-A\;$ não seja fechado , logo $(F-A)'\not \subset F-A\Rightarrow \exists \;b\in (F-A)';b\not \in F-A.$
  • Como $b\in (F-A)'\Rightarrow \forall \epsilon >0,(F-A)\cap (b-\epsilon ,b+\epsilon )\neq \varnothing ,$ como $F-A\subset F\Rightarrow F\cap (b-\epsilon ,b+\epsilon )\neq \varnothing \Rightarrow b\in F'=F$.
  • Também temos que $A\cap (F-A)=\varnothing \Rightarrow A\cap (F-A)'=\varnothing \Rightarrow b\not \in A$
  • Como $\mathbb {R} =(F-A)\cup (F\cap A)\cup (\mathbb {R} -F),b\not \in (F-A)\cap A,b\in F\Rightarrow b\not \in \mathbb {R} .$ Absurdo!!!
  • Logo $F-A\;$ é fechado.

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Dê exemplo de um aberto A tal que $A\supset \mathbb {Q} ,{\mbox{ mas }}\mathbb {R} -A$seja não enumerável.

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Dê exemplo de um conjunto fechado, não enumerável, formado apenas por números transcedentes.

29

29a

Defina a distância de um ponto $a\in \mathbb {R}$ a um conjunto não-vazio $X\subset \mathbb {R} {\mbox{ como }}d(a,X)=\inf\{|x-a|;x\in X\}.$ Prove que $d(a,X)=0\Leftrightarrow a\in {\overline {X}}$

Resolução

• $d(a,X)=0\Rightarrow \inf\{|x-a|;x\in X\}=0\Rightarrow \exists \;x_{0}\in X;0=|x_{0}-a|<|x-a|,\forall \;x\in X\Rightarrow {\begin{cases}0=x_{0}-a,{\mbox{ se }}x_{0}\leq a\\0=a-x_{0},{\mbox{ se }}x_{0}<a\end{cases}}$ $\Rightarrow x_{0}=a\in X\Rightarrow a\in {\overline {X}}$
• $a\in {\overline {X}}\Rightarrow a\in X,{\mbox{ ou }}a\in X'.$
  • Caso $a\in X\Rightarrow {\begin{cases}a-x<0=a-a<x-a,{\mbox{ se }}x>a\\x-a<0=a-a<a-x,{\mbox{ se }}x<a\end{cases}}\Rightarrow 0=|a-a|<|x-a|\Rightarrow \inf\{|x-a|;x\in X\}=0\Rightarrow$$\Rightarrow d(a,X)=0.$
  • Caso $a\in X'-X\Rightarrow \forall \;\epsilon >0,\exists \;x\in X;0<|x-a|<\epsilon {\mbox{ e }}{\begin{cases}a-x<0<x-a,\forall \;x\in X{\mbox{ se }}x>a\\x-a<0<a-x,\forall \;x\in X{\mbox{ se }}x<a\end{cases}}\Rightarrow$$\Rightarrow 0<|x-a|\Rightarrow \inf\{|x-a|;x\in X\}=0\Rightarrow d(a,X)=0.$

29b

Defina a distância de um ponto $a\in \mathbb {R}$ a um conjunto não-vazio $X\subset \mathbb {R} {\mbox{ como }}d(a,X)=\inf\{|x-a|;x\in X\}.$ Prove que se $F\subset \mathbb {R}$ é fechado, então $\forall \;a\in \mathbb {R} ,\exists \;b\in F;d(a,F)=|b-a|$

Resolução

• Tome $a\in \mathbb {R} \Rightarrow d(a,F)=\inf\{|x-a|;x\in F\}.$
  • Caso $a\in {\overline {F}}\Rightarrow d(a,F)=0=|a-a|,$ isto é, $\forall \;a\in \mathbb {R} \cap {\overline {F}},\exists \;a\in F;d(a,F)=|a-a|$
  • Seja $a\in \mathbb {R} -{\overline {F}}\Rightarrow \exists \;\epsilon >0;{\overline {F}}\cap (a-\epsilon ,a+\epsilon )=\varnothing .$ Tome $\sup\{\epsilon >0;{\overline {F}}\cap (a-\epsilon ,a+\epsilon )=\varnothing \}=\delta \Rightarrow$$\Rightarrow \exists \;b=a-\delta {\mbox{ e/ou }}a+\delta \in {\overline {F}}\cap [a-\delta ,a+\delta ]\Rightarrow \exists \;b\in {\overline {F}};\delta =|a-b|;\{b\}={\overline {F}}\cap [a-\delta ,a+\delta ]\Rightarrow$$\Rightarrow \exists \;b\in {\overline {F}};\delta =|b-a|\leq |x-a|(x<a-\delta {\mbox{ ou }}x>a+\delta ),\forall \;x\in F\Rightarrow \delta =d(a,F)=\inf\{|x-a|;x\in F\}=|b-a|$

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30a

Se X é limitado superiormente, seu fecho também é. Além disso, $\sup X=\sup {\overline {X}}$.

Resolução não está pronta

X é limitado superiormente $\Rightarrow \exists \;\sup X\in \mathbb {R} ;x\leq \sup X,\forall \;x\in X$.

• Suponha por absurdo que ${\overline {X}}\;$ não seja limitado superiormente. Assim $\exists \;b\in {\overline {X}};\sup X<b\Rightarrow b\not \in X,{\mbox{ como }}b\in {\overline {X}},{\mbox{ logo }}b\in X'\Rightarrow \forall \;\epsilon >0,$ $(b-\epsilon ,b+\epsilon )\cap X\neq \varnothing .$ Absurdo, pois basta tomar $\epsilon <b-\sup X\Rightarrow \sup X<b-\epsilon \Rightarrow \not \exists x\in X;x>b-\epsilon \Rightarrow \not \exists b\in X';b>\sup X\Rightarrow$ $\Rightarrow \;$

30b

Se X é limitado inferiormente, seu fecho também é. Além disso, $\inf X=\inf {\overline {X}}$.