Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Topologia da reta/21-30

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Um conjunto $A\subset \mathbb {R} \;$ é aberto se, e só se, $A\cap {\overline {X}}\subset {\overline {A\cap X}},\forall X\subset \mathbb {R}$

Resolução

Tome $a\in A\cap {\overline {X}}\Rightarrow a\in A{\mbox{ e }}(a\in X{\mbox{ ou }}a\in X')\Rightarrow (a\in A{\mbox{ e }}a\in X){\mbox{ ou }}(a\in A{\mbox{ e }}a\in X')\Rightarrow (a\in A\cap X){\mbox{ ou }}(a\in A\cap X')$

• Como A é aberto, se $a\in A\Rightarrow \exists \;\epsilon _{1}>0;a\in (a-\epsilon _{1},a+\epsilon _{1})\subset A\Rightarrow \forall \;\epsilon >0;(a-\epsilon ,a+\epsilon )-\{a\}\cap A\neq \varnothing \Rightarrow a\in A'\Rightarrow A\subset A'\Rightarrow$
• $\Rightarrow A\cap X'\subset A'\cap X'\subset (A\cap X)'$, logo $(a\in A\cap X){\mbox{ ou }}(a\in A\cap X')\Rightarrow (a\in A\cap X){\mbox{ ou }}(a\in (A\cap X)')\Rightarrow a\in {\overline {A\cap X}}$

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Sejam $F_{1}\supset F_{2}\supset ...\supset F_{n}\supset ...\;$ não-vazios. Dê exemplos mostrando que $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }F_{n}=\varnothing ,$ se $F_{n}$ são apenas fechados ou limitados.

Resolução

• Vamos tomar $F_{n}=(0,{1 \over n})\Rightarrow \bigcap _{n\in \mathbb {N} }(0,{1 \over n})=\varnothing ,$ pois $\lim {1 \over n}=0$ e $0,{1 \over n}\not \in (0,{1 \over n}),\forall \;n\in \mathbb {N}$. Logo $0\not \in \cap (0,{1 \over n}).$
• Vamos tomar $F_{n}=[n,\infty )\Rightarrow \bigcap _{n\in \mathbb {N} }[n,\infty )=\varnothing ,$ pois suponha $t\in \cap [n,\infty )$, mas $t\not \in [t+1,\infty ).$

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Um conjunto não vazio $X\subset \mathbb {R}$ é um intervalo, se e só se, satisfaz a condição seguinte "$a,b\in X,a<x<b\Rightarrow x\in X.$

Resolução

$\Rightarrow \;$

• Um conjunto não vazio $X\subset \mathbb {R}$ é um intervalo, isto é, $X=[a,b]{\mbox{ ou }}[a,b[{\mbox{ ou }}]a,b]{\mbox{ ou }}]a,b[{\mbox{ ou }}[a,\infty [{\mbox{ ou }}]a,\infty [{\mbox{ ou }}]-\infty ,b[{\mbox{ ou }}]-\infty ,b]{\mbox{ ou }}]-\infty ,\infty [$
  • Em todos esses casos, dados $y,z\in X,y<z,{\mbox{ temos que }}(y,z)\subset X,$ isto é, $\{x\in \mathbb {R} ;y<x<z\}\subset \{x\in X\}\Rightarrow \forall \;x\in \mathbb {R} ;y<x<z\Rightarrow x\in X.$

$\Leftarrow \;$

• Por hipótese a condição é satisfeita, dados "$a,b\in X,a<x<b\Rightarrow x\in X.$ Mostrar que X é um intervalo.
  • Tome $\{x\in \mathbb {R} ;a<x<b\}\subset \{x\in X\}\Rightarrow (a,b)\subset X$. Como $a,b\in X,a<b$, logo podemos dizer que X é um intervalo.

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Mostre que a intersecção de uma sequência descendentes $I_{1}\supset I_{2}\supset ...\supset I_{n}\supset ...\;$ de intervalos é um intervalo ou um conjunto vazio.

Resolução não está pronta

Como $I_{n}\;$ é um intervalo para cada n natural, logo $\forall \;x_{n},y_{n}\in I_{n},x_{n}<t_{n}<y_{n}\Rightarrow t_{n}\in I_{n}.$

• Tome $\lim x_{n}\neq \lim y_{n}\in \cap I_{n}$. Devemos mostrar que $\lim x_{n}<t<\lim y_{n}\Rightarrow t\in \cap I_{n}.$. $\cap I_{n}\;$ é um intervalo.
• Tome $\lim x_{n}=\lim y_{n}\in \cap I_{n},\forall (x_{n}),(y_{n})\in F_{n}$. Devemos mostrar que \cap I_n = \varnothing</math>, isto é, é um conjunto vazio.
• Tome a_n = inf I_n e b_n = sup I_n, I_n \supset (a_n,b_n) \Rightarrow \lim a_n=a, \lim b_n = b \in \cap I_n. se a=b então \cap I_n = \varnothing, se a \ne b, então I é um intervalo.

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Um conjunto X é denso em $\mathbb {R} \Leftrightarrow int(\mathbb {R} -X)=\varnothing$

Resolução

• X é denso em $\mathbb {R} \Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} ,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\cap X\neq \varnothing \Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} -X,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\cap X\neq \varnothing \Rightarrow$ $\Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} -X,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\not \subset \mathbb {R} -X\Rightarrow int(\mathbb {R} -X)=\varnothing$

• $int(\mathbb {R} -X)=\varnothing \Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} -X,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\not \subset \mathbb {R} -X\Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} -X,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\cap X\neq \varnothing \Rightarrow$ $\Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} ,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\cap X\neq \varnothing \Rightarrow$ X é denso em $\mathbb {R}$

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Se $F\;$ é fechado e $A\;$ é aberto então $F-A\;$ é fechado

Resolução

• Se $F\subset A\Rightarrow F-A=\varnothing \Rightarrow F-A$ é fechado.
• Caso F-A=F, F é fechado, logo F-A é fechado.
• Caso $(F-A)'=\varnothing \Rightarrow F$é fechado, pois é um conjunto discreto enumerável.
• Seja $(F-A)'\neq \varnothing$. Suponha por contradição que $F-A\;$ não seja fechado , logo $(F-A)'\not \subset F-A\Rightarrow \exists \;b\in (F-A)';b\not \in F-A.$
  • Como $b\in (F-A)'\Rightarrow \forall \epsilon >0,(F-A)\cap (b-\epsilon ,b+\epsilon )\neq \varnothing ,$ como $F-A\subset F\Rightarrow F\cap (b-\epsilon ,b+\epsilon )\neq \varnothing \Rightarrow b\in F'=F$.
  • Também temos que $A\cap (F-A)=\varnothing \Rightarrow A\cap (F-A)'=\varnothing \Rightarrow b\not \in A$
  • Como $\mathbb {R} =(F-A)\cup (F\cap A)\cup (\mathbb {R} -F),b\not \in (F-A)\cap A,b\in F\Rightarrow b\not \in \mathbb {R} .$ Absurdo!!!
  • Logo $F-A\;$ é fechado.

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Dê exemplo de um aberto A tal que $A\supset \mathbb {Q} ,{\mbox{ mas }}\mathbb {R} -A$seja não enumerável.

28

Dê exemplo de um conjunto fechado, não enumerável, formado apenas por números transcedentes.

29

29a

Defina a distância de um ponto $a\in \mathbb {R}$ a um conjunto não-vazio $X\subset \mathbb {R} {\mbox{ como }}d(a,X)=\inf\{|x-a|;x\in X\}.$ Prove que $d(a,X)=0\Leftrightarrow a\in {\overline {X}}$

Resolução

• $d(a,X)=0\Rightarrow \inf\{|x-a|;x\in X\}=0\Rightarrow \exists \;x_{0}\in X;0=|x_{0}-a|<|x-a|,\forall \;x\in X\Rightarrow {\begin{cases}0=x_{0}-a,{\mbox{ se }}x_{0}\leq a\\0=a-x_{0},{\mbox{ se }}x_{0}<a\end{cases}}$ $\Rightarrow x_{0}=a\in X\Rightarrow a\in {\overline {X}}$
• $a\in {\overline {X}}\Rightarrow a\in X,{\mbox{ ou }}a\in X'.$
  • Caso $a\in X\Rightarrow {\begin{cases}a-x<0=a-a<x-a,{\mbox{ se }}x>a\\x-a<0=a-a<a-x,{\mbox{ se }}x<a\end{cases}}\Rightarrow 0=|a-a|<|x-a|\Rightarrow \inf\{|x-a|;x\in X\}=0\Rightarrow$$\Rightarrow d(a,X)=0.$
  • Caso $a\in X'-X\Rightarrow \forall \;\epsilon >0,\exists \;x\in X;0<|x-a|<\epsilon {\mbox{ e }}{\begin{cases}a-x<0<x-a,\forall \;x\in X{\mbox{ se }}x>a\\x-a<0<a-x,\forall \;x\in X{\mbox{ se }}x<a\end{cases}}\Rightarrow$$\Rightarrow 0<|x-a|\Rightarrow \inf\{|x-a|;x\in X\}=0\Rightarrow d(a,X)=0.$

29b

Defina a distância de um ponto $a\in \mathbb {R}$ a um conjunto não-vazio $X\subset \mathbb {R} {\mbox{ como }}d(a,X)=\inf\{|x-a|;x\in X\}.$ Prove que se $F\subset \mathbb {R}$ é fechado, então $\forall \;a\in \mathbb {R} ,\exists \;b\in F;d(a,F)=|b-a|$

Resolução

• Tome $a\in \mathbb {R} \Rightarrow d(a,F)=\inf\{|x-a|;x\in F\}.$
  • Caso $a\in {\overline {F}}\Rightarrow d(a,F)=0=|a-a|,$ isto é, $\forall \;a\in \mathbb {R} \cap {\overline {F}},\exists \;a\in F;d(a,F)=|a-a|$
  • Seja $a\in \mathbb {R} -{\overline {F}}\Rightarrow \exists \;\epsilon >0;{\overline {F}}\cap (a-\epsilon ,a+\epsilon )=\varnothing .$ Tome $\sup\{\epsilon >0;{\overline {F}}\cap (a-\epsilon ,a+\epsilon )=\varnothing \}=\delta \Rightarrow$$\Rightarrow \exists \;b=a-\delta {\mbox{ e/ou }}a+\delta \in {\overline {F}}\cap [a-\delta ,a+\delta ]\Rightarrow \exists \;b\in {\overline {F}};\delta =|a-b|;\{b\}={\overline {F}}\cap [a-\delta ,a+\delta ]\Rightarrow$$\Rightarrow \exists \;b\in {\overline {F}};\delta =|b-a|\leq |x-a|(x<a-\delta {\mbox{ ou }}x>a+\delta ),\forall \;x\in F\Rightarrow \delta =d(a,F)=\inf\{|x-a|;x\in F\}=|b-a|$

30

30a

Se X é limitado superiormente, seu fecho também é. Além disso, $\sup X=\sup {\overline {X}}$.

Resolução não está pronta

X é limitado superiormente $\Rightarrow \exists \;\sup X\in \mathbb {R} ;x\leq \sup X,\forall \;x\in X$.

• Caso $\sup X\in X\Rightarrow \sup X\in {\overline {X}}\Rightarrow {\overline {X}}$ é limitado superiormente.
• Caso $\sup X\not \in X\Rightarrow \sup X\in X'\Rightarrow \sup X\in {\overline {X}}\Rightarrow {\overline {X}}$ é limitado superiormente.
• Caso $\sup X\not \in {\overline {X}}\Rightarrow \exists \;\epsilon >0;(\sup X-\epsilon ,\sup X]\cap X=\varnothing \Rightarrow \sup X-\epsilon$ seria uma cota superior menor do que sup X. Absurdo!!! Logo

30b

Se X é limitado inferiormente, seu fecho também é. Além disso, $\inf X=\inf {\overline {X}}$.