Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Topologia da reta/17-24

20

20a

Para $X,Y\subset \mathbb {R} \;$ quaisquer, tem-se ${\overline {X\cup Y}}={\overline {X}}\cup {\overline {Y}}$

Resolução

Tome $a\in {\overline {X\cup Y}}\Leftrightarrow a\in (X\cup Y){\mbox{ ou }}a\in (X\cup Y)'\Leftrightarrow a\in X{\mbox{ ou }}a\in Y{\mbox{ ou }}a\in X\cap Y{\mbox{ ou }}a\in X'{\mbox{ ou }}a\in Y'{\mbox{ ou }}a\in X'\cap Y'\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow a\in X{\mbox{ ou }}a\in X'{\mbox{ ou }}a\in Y{\mbox{ ou }}a\in Y'{\mbox{ ou }}(a\in X{\mbox{ e }}a\in Y){\mbox{ ou }}(a\in X'{\mbox{ e }}a\in Y')\Leftrightarrow a\in X{\mbox{ ou }}a\in X'{\mbox{ ou }}a\in Y{\mbox{ ou }}a\in Y'{\mbox{ ou }}$ $((a\in X{\mbox{ ou }}a\in X'){\mbox{ e }}(a\in Y{\mbox{ ou }}a\in Y'))\Leftrightarrow a\in {\overline {X}}{\mbox{ ou }}a\in {\overline {Y}}{\mbox{ ou }}a\in {\overline {X}}\cap {\overline {Y}}\Leftrightarrow a\in {\overline {X}}\cup {\overline {Y}}$.

20b

Para $X,Y\subset \mathbb {R} \;$ quaisquer, tem-se ${\overline {X\cap Y}}\subset {\overline {X}}\cap {\overline {Y}}$.

Resolução

Tome $a\in {\overline {X\cap Y}}\Rightarrow a\in (X\cap Y){\mbox{ ou }}a\in (X\cap Y)'\Rightarrow (a\in X{\mbox{ e }}a\in Y){\mbox{ ou }}(a\in X'{\mbox{ e }}a\in Y')\Rightarrow$ $\Rightarrow (a\in X{\mbox{ ou }}a\in X'){\mbox{ e }}(a\in Y{\mbox{ ou }}a\in Y')\Rightarrow a\in {\overline {X}}{\mbox{ e }}a\in {\overline {Y}}\Rightarrow a\in {\overline {X}}\cap {\overline {Y}}$.

20c

Dê um exemplo no qual a inclusão não se reduz a uma igualdade.

21

Um conjunto $A\subset \mathbb {R} \;$ é aberto se, e só se, $A\cap {\overline {X}}\subset {\overline {A\cap X}},\forall X\subset \mathbb {R}$

Resolução

Tome $a\in A\cap {\overline {X}}\Rightarrow a\in A{\mbox{ e }}(a\in X{\mbox{ ou }}a\in X')\Rightarrow (a\in A{\mbox{ e }}a\in X){\mbox{ ou }}(a\in A{\mbox{ e }}a\in X')\Rightarrow (a\in A\cap X){\mbox{ ou }}(a\in A\cap X')$

• Como A é aberto, se $a\in A\Rightarrow \exists \;\epsilon _{1}>0;a\in (a-\epsilon _{1},a+\epsilon _{1})\subset A\Rightarrow \forall \;\epsilon >0;(a-\epsilon ,a+\epsilon )-\{a\}\cap A\neq \varnothing \Rightarrow a\in A'\Rightarrow A\subset A'\Rightarrow$
• $\Rightarrow A\cap X'\subset A'\cap X'\subset (A\cap X)'$, logo $(a\in A\cap X){\mbox{ ou }}(a\in A\cap X')\Rightarrow (a\in A\cap X){\mbox{ ou }}(a\in (A\cap X)')\Rightarrow a\in {\overline {A\cap X}}$

22

Sejam $F_{1}\supset F_{2}\supset ...\supset F_{n}\supset ...\;$ não-vazios. Dê exemplos mostrando que $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }F_{n}=\varnothing ,$ se $F_{n}$ são apenas fechados ou limitados.

Resolução

• Vamos tomar $F_{n}=(0,{1 \over n})\Rightarrow \bigcap _{n\in \mathbb {N} }(0,{1 \over n})=\varnothing ,$ pois $\lim {1 \over n}=0$ e $0,{1 \over n}\not \in (0,{1 \over n}),\forall \;n\in \mathbb {N}$. Logo $0\not \in \cap (0,{1 \over n}).$
• Vamos tomar $F_{n}=[n,\infty )\Rightarrow \bigcap _{n\in \mathbb {N} }[n,\infty )=\varnothing ,$ pois suponha $t\in \cap [n,\infty )$, mas $t\not \in [t+1,\infty ).$

23

Um conjunto não vazio $X\subset \mathbb {R}$ é um intervalo, se e só se, satisfaz a condição seguinte "$a,b\in X,a<x<b\Rightarrow x\in X.$

Resolução

$\Rightarrow \;$

• Um conjunto não vazio $X\subset \mathbb {R}$ é um intervalo, isto é, $X=[a,b]{\mbox{ ou }}[a,b[{\mbox{ ou }}]a,b]{\mbox{ ou }}]a,b[{\mbox{ ou }}[a,\infty [{\mbox{ ou }}]a,\infty [{\mbox{ ou }}]-\infty ,b[{\mbox{ ou }}]-\infty ,b]{\mbox{ ou }}]-\infty ,\infty [$
  • Em todos esses casos, dados $y,z\in X,y<z,{\mbox{ temos que }}(y,z)\subset X,$ isto é, $\{x\in \mathbb {R} ;y<x<z\}\subset \{x\in X\}\Rightarrow \forall \;x\in \mathbb {R} ;y<x<z\Rightarrow x\in X.$

$\Leftarrow \;$

• Por hipótese a condição é satisfeita, dados "$a,b\in X,a<x<b\Rightarrow x\in X.$ Mostrar que X é um intervalo.
  • Tome $\{x\in \mathbb {R} ;a<x<b\}\subset \{x\in X\}\Rightarrow (a,b)\subset X$. Como $a,b\in X,a<b$, logo podemos dizer que X é um intervalo.

24

Mostre que a intersecção de uma sequência descendentes $I_{1}\supset I_{2}\supset ...\supset I_{n}\supset ...\;$ de intervalos é um intervalo ou um conjunto vazio.

Resolução não está pronta

Como $I_{n}\;$ é um intervalo para cada n natural, logo $\forall \;x_{n},y_{n}\in I_{n},x_{n}<t_{n}<y_{n}\Rightarrow t_{n}\in I_{n}.$

• Tome $\lim x_{n}\neq \lim y_{n}\in \cap I_{n}$. Devemos mostrar que $\lim x_{n}<t<\lim y_{n}\Rightarrow t\in \cap I_{n}.$. $\cap I_{n}\;$ é um intervalo.
• Tome $\lim x_{n}=\lim y_{n}\in \cap I_{n},\forall (x_{n}),(y_{n})\in F_{n}$. Devemos mostrar que \cap I_n = \varnothing</math>, isto é, é um conjunto vazio.
• Tome a_n = inf I_n e b_n = sup I_n, I_n \supset (a_n,b_n) \Rightarrow \lim a_n=a, \lim b_n = b \in \cap I_n. se a=b então \cap I_n = \varnothing, se a \ne b, então I é um intervalo.