Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Topologia da reta/1-8

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1[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é aberto cumpre a seguinte condição: "se uma sequência converge para um ponto então para todo n suficientemente grande".

Resolução:[editar | editar código-fonte]

:

Como aberto, logo .
Tomemos uma sequência .
Para .

:

Suponha que a condição para todo n suficientemente grande" já está satisfeita. Devemos mostrar que A é aberto.
Temos que . Devemos então mostrar que existe um .
Suponhamos então que , isto é, . Tome .
Vamos tomar uma sequência no conjunto de tal forma que . Mas .
Logo foi errado termos suposto que , pois resultou num fato contraditório.
Portanto A é aberto.

2[editar | editar código-fonte]

Tem-se para todo aberto A contendo o ponto a, tal que .

Resolução:[editar | editar código-fonte]

Nossa hipótese é que aberto, com . Devemos mostrar que tal que .
Como A é aberto e .
Como . Temos que tal que .
Basta tomar .

Supomos agora que tal que . Queremos mostrar que , isto é, tal que .
Como é aberto e .
Vamos tomar os abertos tal que .
Ao tomar abertos A contendo a, temos que .
Portanto .

3[editar | editar código-fonte]

3a[editar | editar código-fonte]

Seja aberto. Então, , o conjunto é aberto.

Resolução:[editar | editar código-fonte]

Suponha que para algum não seja aberto, logo .
Mas B é aberto e .
Tome esse e o fato que e tomemos delta por epsilon.
Assim .
Logo .
Então que é uma contradição.
Logo foi errado termos suposto que para algum não fosse aberto, pois resultou num fato contraditório.
Portanto para todo é aberto.

Resolução 2:[editar | editar código-fonte]

Dado para algum aberto, segue que . Tome
.

3b[editar | editar código-fonte]

Seja aberto. Então, , o conjunto é aberto.

Resolução:[editar | editar código-fonte]

Suponha que para algum não seja aberto, logo .
Mas B é aberto e .
tome esse e o fato que e tomemos delta por epsilon.
Assim .
Logo .
Portanto é uma contradição.
Logo foi errado termos suposto que para algum não fosse aberto, pois resultou num fato contraditório.
Portanto é aberto.

Resolução 2:[editar | editar código-fonte]

Dado para algum aberto, segue que . Tome .
Assim . Tome
para algum .

4[editar | editar código-fonte]

4a[editar | editar código-fonte]

Sejam A, B abertos. Então o conjunto é aberto.

Resolução:[editar | editar código-fonte]

Suponha que não seja aberto
Seja , com . Assim
Como que é uma contradição.
Logo foi errado termos suposto que A+B não fosse aberto, pois resultou num fato contraditório.
Portanto A+B só pode ser aberto.

Resolução 2:[editar | editar código-fonte]

A aberto implica que
B aberto implica que
Seja , então temos: isso porque .

Mas essa última linha é fraca, pensar depois numa linha mais forte!!

4b[editar | editar código-fonte]

Sejam A, B abertos. Então o conjuntos é aberto.

Resolução:[editar | editar código-fonte]

Suponha que não seja aberto
Seja , com . Assim
Como que é uma contradição.
Logo foi errado termos suposto que A+B não fosse aberto, pois resultou num fato contraditório.
Portanto AB só pode ser aberto.

5[editar | editar código-fonte]

5a[editar | editar código-fonte]

Para quaisquer , tem-se

Resolução[editar | editar código-fonte]

Tome

.

5b[editar | editar código-fonte]

Para quaisquer , tem-se

Resolução[editar | editar código-fonte]

Tome

.

5c[editar | editar código-fonte]

Para quaisquer , tem-se . Dê um exemplo em que a inclusão não se reduza a uma igualdade.

Resolução não está pronta[editar | editar código-fonte]

6[editar | editar código-fonte]

Se é aberto e , então é aberto.

Resolução[editar | editar código-fonte]

Tome aberto .

  • Se
  • Se . Mas . Logo, se . Assim podemos tomar
Portanto .
Logo é aberto.

7[editar | editar código-fonte]

7a[editar | editar código-fonte]

Considere a função dadas por . Mostre que, para cada aberto, é aberto.

Resolução[editar | editar código-fonte]

  • é aberto
Vamos determinar .
Queremos mostrar que é aberto, quando A é aberto. Mas .
Suponha que não é aberto. Então .
Como . Tome
.
que é uma contradição.
Logo foi errado termos suposto que não fosse aberto, pois resultou num fato contraditório.
Portanto é aberto.

7b[editar | editar código-fonte]

Considere a função dadas por . Mostre que, para cada aberto, é aberto.

Resolução[editar | editar código-fonte]

Vamos determinar .
Queremos mostrar que é aberto, quando A é aberto. Mas .
Suponha que não é aberto. Então .
Como . Tome
.
que é uma contradição.
Logo foi errado termos suposto que não fosse aberto, pois resultou num fato contraditório.
Portanto é aberto.

7c[editar | editar código-fonte]

Considere a função dadas por . Mostre que, para cada aberto, é aberto

Resolução[editar | editar código-fonte]

Vamos determinar .
Queremos mostrar que é aberto, quando A é aberto. Mas .
Suponha que não é aberto. Então .
Como . Tome
.
que é uma contradição.
Logo foi errado termos suposto que não fosse aberto, pois resultou num fato contraditório.
Portanto é aberto.

8[editar | editar código-fonte]

8a[editar | editar código-fonte]

Sendo aberto e , mostre que é aberto.

Resolução[editar | editar código-fonte]

Queremos mostrar que é aberto, quando A é aberto. Mas .
Suponha que não é aberto. Então .
Como . Tome
.
que é uma contradição.
Logo foi errado termos suposto que não fosse aberto, pois resultou num fato contraditório.
Portanto é aberto.

8b[editar | editar código-fonte]

Sendo aberto e , mostre que h(A) é aberto.

Resolução não está pronta[editar | editar código-fonte]


8c[editar | editar código-fonte]

Sendo aberto e , mostre que g(A) não é aberto.

Resolução não está pronta[editar | editar código-fonte]