Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Números Reais/9-16

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9[editar | editar código-fonte]

Explique porque as operações usuais não tornam corpos o conjunto dos inteiros nem o conjunto dos polinômios de coeficientes racionais.

não está pronto[editar | editar código-fonte]

10[editar | editar código-fonte]

Num corpo ordenado K, prove que

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11[editar | editar código-fonte]

Seja P o conjunto dos elementos positivos de um corpo ordenado K.

  • Dado um número natural n, prove que a função definida por é monótona crescente (isto é,
  • Dê um exemplo em que f não é sobrejetiva.
  • Prove que não é um subconjunto limitado superiormente de K.

Resolução não está pronta[editar | editar código-fonte]

12[editar | editar código-fonte]

Sejam X um conjunto qualquer e K um corpo. Indiquemos com o conjunto de todas as funções Definamos em as operações de adição e multiplicação de modo natural: dadas as funções são dadas por Verifique quais dos axiomas de corpo são válidos e quais não são válidos no conjunto relativamente a estas operações.

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13[editar | editar código-fonte]

Sejam x,y elementos positivos de um corpo ordenado K. Tem-se Prove também que

Resolução[editar | editar código-fonte]

  • Seja como num corpo K, logo

14[editar | editar código-fonte]

Seja a um elemento positivo de um corpo ordenado K. Definamos Prove que f é crescente se a > 1, decrescente se 0< a < 1 e constante se a = 1.

Resolução[editar | editar código-fonte]

  • Tome Portanto a função é crescente.
    • Vamos mostrar por indução que Para Vamos supor válido para n = t e vamos provar que é válido para n = t + 1:
  • Tome Portanto a função é decrescente.
    • Vamos mostrar por indução que Para Vamos supor válido para n = t e vamos provar que é válido para :
  • Tome Portanto a função é constante.
    • Vamos mostrar por indução que Para Vamos supor válido para n = t e vamos provar que é válido para :

15[editar | editar código-fonte]

Dados num corpo ordenado K e qualquer, prove que

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16[editar | editar código-fonte]

Se num corpo ordenado K, prove que

Resolução não está pronta[editar | editar código-fonte]