Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Números Reais/9-16

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Explique porque as operações usuais não tornam corpos o conjunto $\mathbb {Z}$ dos inteiros nem o conjunto $\mathbb {Q} [t]$ dos polinômios de coeficientes racionais.

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Num corpo ordenado K, prove que $a^{2}+b^{2}=0\Leftrightarrow a=b=0.$

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Seja P o conjunto dos elementos positivos de um corpo ordenado K.

• Dado um número natural n, prove que a função $f:P\rightarrow P,$ definida por $f(x)=x^{n},$ é monótona crescente (isto é, $x<y\Rightarrow f(x)<f(y).$
• Dê um exemplo em que f não é sobrejetiva.
• Prove que $f(P)$ não é um subconjunto limitado superiormente de K.

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Sejam X um conjunto qualquer e K um corpo. Indiquemos com $F(X;K)$ o conjunto de todas as funções $f:X\rightarrow K.$ Definamos em $F(X;K)$ as operações de adição e multiplicação de modo natural: dadas $f,g:X\rightarrow K,$ as funções $f+g:X\rightarrow K{\mbox{ e }}f\times g:X\rightarrow K$ são dadas por $(f+g)(x)=f(x)+g(x){\mbox{ e }}(f\times g)(x)=f(x)\times g(x).$ Verifique quais dos axiomas de corpo são válidos e quais não são válidos no conjunto $F(X;K),$ relativamente a estas operações.

13

Sejam x,y elementos positivos de um corpo ordenado K. Tem-se $x<y\Rightarrow x^{-1}>y^{-1}.$ Prove também que $x>0\Leftrightarrow x^{-1}>0.$

Resolução

• Seja $x<y,$ como num corpo K, $xx^{-1}=+1=yy^{-1},{\mbox{ assim }}x,y>0;\Rightarrow x^{-1},y^{-1}>0,{\mbox{ pois }}xx^{-1},yy^{-1}>0$ logo $x^{-1}xy^{-1}<x^{-1}yy^{-1}\Rightarrow y^{-1}<x^{-1}.$

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Seja a um elemento positivo de um corpo ordenado K. Definamos $f:\mathbb {Z} \rightarrow K{\mbox{ pondo}}f(n)=a^{n}.$ Prove que f é crescente se a > 1, decrescente se 0< a < 1 e constante se a = 1.

Resolução

• Tome $a>1,{\mbox{ como }}a^{n}>1>0\Rightarrow a^{n}\cdot a>a^{n}\cdot 1\Rightarrow a^{n+1}>a^{n},{\mbox{ i. e. }},f(n+1)>f(n),\forall n\in \mathbb {N} .$ Portanto a função é crescente.
  • Vamos mostrar por indução que $a^{n}>1.$ Para $n=1:a^{1}>1\Rightarrow a>1.$ Vamos supor válido para n = t e vamos provar que é válido para n = t + 1: $a^{t}>1,{\mbox{ como }}a>1\Rightarrow a^{t}\cdot a>1\cdot a>1\Rightarrow a^{t+1}>a.$
• Tome $0<a<1,{\mbox{ como }}0<a^{n}<1\Rightarrow 0<a^{n}\cdot a<a^{n}\cdot 1\Rightarrow a^{n+1}<a^{n},{\mbox{ i. e. }},f(n+1)<f(n),\forall n\in \mathbb {N} .$ Portanto a função é decrescente.
  • Vamos mostrar por indução que $0<a^{n}<1.$ Para $n=1:0<a^{1}<1\Rightarrow 0<a<1.$ Vamos supor válido para n = t e vamos provar que é válido para $n=t+1\;$: $0<a^{t}<1,{\mbox{ como }}0<a<1\Rightarrow 0<a^{t}\cdot a<1\cdot a<1\Rightarrow 0<a^{t+1}<a.$
• Tome $a=1,{\mbox{ como }}a^{n}=1\Rightarrow a^{n}\cdot a=1\cdot a\Rightarrow a^{n+1}=a=1,{\mbox{ i. e. }},f(n+1)=f(n),\forall n\in \mathbb {N} .$ Portanto a função é constante.
  • Vamos mostrar por indução que $a^{n}=1.$ Para $n=1:a^{1}=1\Rightarrow a=1.$ Vamos supor válido para n = t e vamos provar que é válido para $n=t+1\;$: $a^{t}=1,{\mbox{ como }}a=1\Rightarrow a^{t}\cdot a<1\cdot a=1\Rightarrow a^{t+1}=1.$

15

Dados $x\neq 0$ num corpo ordenado K e $n\in \mathbb {N}$ qualquer, prove que $(1+x)^{2n}>1+2nx.$

16

Se $n\in \mathbb {N} {\mbox{ e }}x<1$ num corpo ordenado K, prove que $(1-x)^{n}\geq 1-nx.$