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Sejam
conjuntos não-vazios limitados de números reais. Prove que
- Pela definição de ínfimo,
![{\displaystyle \forall \epsilon >0,A\cap [\inf A;\inf A+\epsilon [\;\neq \;\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af54bd77b1b6ca24c19fee9e95983cd38f987e1)
- Suponha (por contradição) que
, mas isso é um absurdo, pois
Portanto ![{\displaystyle \inf B\leq \inf A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e4d781ba1a03ab719f544d31ff20b2c21b8989)
- Pela definição de supremo,
![{\displaystyle \forall \epsilon >0,A\cap [\sup A-\epsilon ;\sup A[\;\neq \;\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33bc8edb4a267a5ecbdc353d42b1d679bb04c35f)
- Suponha (por contradição) que
como
, mas isso é um absurdo, pois
Portanto ![{\displaystyle \sup A\leq \sup B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee32cd72ca224be39f78a7865e86aa919eca670)
Sejam A, B conjuntos não-vazios de números reais, tais que
Prove que
Prove que
se, e somente se,
dado, podem-se obter
tais que
.
- Suponha (por contradição) que
Tome
Pela definição de ínfimo e supremo temos que
que é um absurdo, portanto ![{\displaystyle \sup A\leq \inf B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/442f84fb982f74b9a39c259ce54d460c31cc6bde)
- Vamos provar que
se, e somente se,
dado, podem-se obter
tais que
.
- Suponhamos primeiro que
Tome
pela definição de supremo e ínfimo temos que
e ![{\displaystyle A\cap ]\sup A-{\epsilon \over 2},\sup A[\neq \varnothing \Rightarrow \exists x\in A,y\in B;\sup A-{\epsilon \over 2}<x<\sup A=\inf B<y<\inf B+{\epsilon \over 2}\Rightarrow y-x<\epsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2245c77ce9ec4d1689202a4b125aff68db9a16d)
- Temos que
![{\displaystyle x\leq \sup A,\forall x\in A{\mbox{ e }}x\leq y,\forall x\in A,y\in B,{\mbox{ logo }}\sup A\leq y,\forall y\in B.{\mbox{ Mas }}\inf B\leq y,\forall y\in B\Rightarrow \sup A\leq \inf B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef44b80c3e4ffc83e04732d32ec6316476cb6556)
- Suponha que
como
Dado
podemos obter
tais que
mas isso é um absurdo, pois deveria ocorrer que ![{\displaystyle \inf B-\sup A<y-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527337db1da40121e8a576052b6793ed3c0021b3)
- Portanto
![{\displaystyle \sup A=\inf B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152bd57d889bc8507264262e7f4ac585c3c72a90)
Dado
não-vazio, limitado inferiormente, seja
Prove que -A e limitado superiormente e que