Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Números Reais/17-24

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17[editar | editar código-fonte]

Num corpo ordenado, se são positivos, prove que Enuncie e demonstre desigualdades análogas às dos exercícios 15 e 16, com a em vez de 1.

Resolução não está pronta[editar | editar código-fonte]

18[editar | editar código-fonte]

Sejam elementos de um corpo ordenado K, onde b e d são positivos. Prove que está compreendido entre o menor e o maior dos elementos Generalize: Mostre que está compreendido entre o menor e o maior dos elementos desde que sejam todos positivos.

Resolução não está pronta[editar | editar código-fonte]

19[editar | editar código-fonte]

Dados num corpo ordenado K, com prove que

Resolução não está pronta[editar | editar código-fonte]

20[editar | editar código-fonte]

Prove por indução que, dados num corpo ordenado K, tem-se e

Resolução[editar | editar código-fonte]

  • Vamos provar por indução que
    • Vamos mostrar ser válido para n = 1:
    • Suponha ser válido para n = t e vamos mostrar ser válido para n=t+1: em ambos os membros temos que Pela desigualdade triangular
  • Vamos provar por indução que
    • Vamos mostrar ser válido para n = 1:
    • Suponha ser válido para n = t e vamos mostrar ser válido para n=t+1: em ambos os membros temos que Pela desigualdade triangular

21[editar | editar código-fonte]

Seja K um corpo ordenado. Exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunião de intervalos:

21a[editar | editar código-fonte]

Seja X, o conjunto dos tais que

Resolução[editar | editar código-fonte]

  • Por definição:
  • .
  • .
  • .
  • Portanto

21b[editar | editar código-fonte]

o conjunto dos tais que ;

Resolução[editar | editar código-fonte]

  • Por definição:

21c[editar | editar código-fonte]

o conjunto dos tais que

Resolução[editar | editar código-fonte]

21d[editar | editar código-fonte]

o conjunto dos tais que

Resolução não está pronta[editar | editar código-fonte]

21e[editar | editar código-fonte]

o conjunto dos tais que

Resolução não está pronta[editar | editar código-fonte]

22[editar | editar código-fonte]

Prove que, para todo x num corpo ordenado K, tem-se

Resolução não está pronta[editar | editar código-fonte]

23[editar | editar código-fonte]

Dados num corpo ordenado K, prove que . Conclua que

Resolução[editar | editar código-fonte]

  • Pela desigualdade triângular,
    • Como
  • Pela desigualdade triângular,
    • Como
  • Assim .

24[editar | editar código-fonte]

Prove que, num corpo ordenado K, as seguintes afirmações são equivalentes:

  • K é arquimediano;
  • é ilimitado superior e inferiormente;
  • é ilimitado superior e inferiormente;

Resolução está pronta[editar | editar código-fonte]

K ser arquimediano implica que o conjunto dos naturais pertencente a K não ser limitado superiormente.

Como o conjunto dos naturais é infinitos implicaria que os inteiros em K também o seriam, isso porque podemos estabelecer um F: A --> B, tal que (A = Conjunto dos naturais e B = conjunto dos Inteiros) F converteria números pares a números positivos em Z(inteiros) e ímpares em negativos em Z. Por conseguinte, se N é ilimitado Z também o seria pois os negativos e positivo nele contidos seriam infinitos. Então se Z é ilimitado N também é.

Sendo Q ilimitado implicaria que os inteiros também seriam, isso porque podemos estabelecer uma outra função: F: B --> C. De tal forma, onde os (P)números positivos e negativos pertencentes a Z compõem o numerador e os positivos o denominador(Q), (P/Q) isso geraria infinitas frações pertencentes a Q. Logo Q é ilimitado e por Q ser ilimitado Z também é.