Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Números Reais/17-24

17

Num corpo ordenado, se $a{\mbox{ e }}a+x$ são positivos, prove que $(a+x)^{n}\geq a^{n}+n\cdot a^{n-1}\cdot x.$ Enuncie e demonstre desigualdades análogas às dos exercícios 15 e 16, com a em vez de 1.

18

Sejam $a,b,c,d$ elementos de um corpo ordenado K, onde b e d são positivos. Prove que ${a+c \over b+d}$ está compreendido entre o menor e o maior dos elementos ${a \over b}{\mbox{ e }}{c \over d}.$ Generalize: Mostre que ${a_{1}+...+a_{n} \over b_{1}+...+b_{n}}$ está compreendido entre o menor e o maior dos elementos ${a_{1} \over b_{1}},...,{a_{n} \over b_{n}},$ desde que $b_{1},...,b_{n}$ sejam todos positivos.

19

Dados $x,y$ num corpo ordenado K, com $y\neq 0,$ prove que $|x\cdot y^{-1}|=|x|\cdot |y|^{-1},{\mbox{ ou seja }},|{x \over y}|={|x| \over |y|}.$

20

Prove por indução que, dados $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ num corpo ordenado K, tem-se $|x_{1}+x_{2}+...+x_{n}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{n}|$ e $|x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}|\leq |x_{1}|\cdot |x_{2}|\cdot ...\cdot |x_{n}|$

Resolução

• Vamos provar por indução que $|x_{1}+x_{2}+...+x_{n}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{n}|.$
  • Vamos mostrar ser válido para n = 1: $|x_{1}|=|x_{1}|\Rightarrow |x_{1}|\leq |x_{1}|$
  • Suponha ser válido para n = t e vamos mostrar ser válido para n=t+1: $|x_{1}+x_{2}+...+x_{t}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{t}|,{\mbox{ somando }}|x_{t+1}|$ em ambos os membros temos que $|x_{1}+x_{2}+...+x_{t}|+|x_{t+1}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{t}|+|x_{t+1}|.$ Pela desigualdade triangular $|x_{1}+x_{2}+...+x_{t}+x_{t+1}|\leq |x_{1}+x_{2}+...+x_{t}|+|x_{t+1}|\Rightarrow |x_{1}+x_{2}+...+x_{t}+x_{t+1}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{t}|+|x_{t+1}|$
• Vamos provar por indução que $|x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}|\leq |x_{1}|\cdot |x_{2}|\cdot ...\cdot |x_{n}|.$
  • Vamos mostrar ser válido para n = 1: $|x_{1}|=|x_{1}|\Rightarrow |x_{1}|\leq |x_{1}|$
  • Suponha ser válido para n = t e vamos mostrar ser válido para n=t+1: $|x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{t}|\leq |x_{1}|\cdot |x_{2}|\cdot ...\cdot |x_{t}|,{\mbox{ multiplicando }}|x_{t+1}|$ em ambos os membros temos que $|x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{t}|\cdot |x_{t+1}|\leq |x_{1}|\cdot |x_{2}|\cdot ...\cdot |x_{t}|\cdot |x_{t+1}|.$ Pela desigualdade triangular $|x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{t}\cdot x_{t+1}|\leq |x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{t}|\cdot |x_{t+1}|\Rightarrow |x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{t}\cdot x_{t+1}|\leq |x_{1}|\cdot |x_{2}|\cdot ...\cdot |x_{t}|\cdot |x_{t+1}|$

21

Seja K um corpo ordenado. Exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunião de intervalos:

21a

Seja X, o conjunto dos $x\in K$ tais que $|x-3|+|x+3|<8;$

Resolução

• Por definição: $|x-3|={\begin{cases}x-3,se\;x\geq 3\\3-x,se\;x<3\end{cases}}{\mbox{ e }}|x+3|={\begin{cases}x+3,se\;x\geq -3\\-x-3,se\;x<-3\end{cases}},$
• ${\mbox{ tome }}x\geq 4\Rightarrow {\begin{cases}|x-3|\geq 1\\|x+3|\geq 7\end{cases}},\Rightarrow |x-3|+|x+3|\geq 8$ .
• ${\mbox{ tome }}x<-4\Rightarrow {\begin{cases}|x-3|\leq 7\\|x+3|\leq 1\end{cases}}\Rightarrow |x-3|+|x+3|>8$ .
• ${\mbox{ tome }}|x-3|+|x+3|<8\Rightarrow |x-3|<8-|x+3|\Rightarrow {\begin{cases}x-3<8-|x+3|\\|x+3|-8<x-3\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}|x+3|<8-x+3\\|x+3|<x-3+8\end{cases}}\Rightarrow$ $\Rightarrow {\begin{cases}x-11<x+3<11-x\\-x-5<x+3<x+5\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}2x<11-3\\-3-5<2x\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}x<4\\-4<x\end{cases}}\Rightarrow -4<x<4$ .
• Portanto $X=]-4,4[$

21b

o conjunto dos $x\in K$ tais que $|x^{2}-2|\leq 1$;

Resolução

• Por definição: $|x^{2}-2|={\begin{cases}x^{2}-2,se\;x\leq -{\sqrt {2}}{\mbox{ ou }}x\geq {\sqrt {2}}\\2-x^{2},{\mbox{ se }}-{\sqrt {2}}<x<{\sqrt {2}}\end{cases}}$
• ${\mbox{ tome }}x>{\sqrt {3}}\Rightarrow |x^{2}-2|>1.$
• ${\mbox{ tome }}x<-{\sqrt {3}}\Rightarrow |x^{2}-2|>1.$
• ${\mbox{ tome }}-1<x<1\Rightarrow |2-x^{2}|>1.$
• ${\mbox{ tome }}|x^{2}-2|\leq 1\Rightarrow -1\leq x^{2}-2\leq 1\Rightarrow 1\leq x^{2}\leq 3\Rightarrow X=X_{1}\cap X_{2};{\begin{cases}X_{1}=\{x\in X;0\leq (x-1)(x+1)\}\\X_{2}=\{x\in X_{1};(x-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {3}})\leq 0\}\end{cases}}\Rightarrow$ $\Rightarrow X=X_{1}\cap X_{2};{\begin{cases}X_{1}=]-\infty ,-1]\cup [1,\infty [\\X_{2}=[-{\sqrt {3}},{\sqrt {3}}]\end{cases}}.{\mbox{ Portanto }}X=X_{1}\cap X_{2}=]-{\sqrt {3}},-1[\cup ]1,{\sqrt {3}}[$

21c

o conjunto dos $x\in K$ tais que $|2x+1|\leq 1.$

Resolução

• $-1\leq 2x+1\leq 1\Rightarrow -2\leq 2x\leq 0\Rightarrow -1\leq x\leq 0\Rightarrow X=[-1,0]$

21d

o conjunto dos $x\in K$ tais que $|x-5|<|x+1|;$

21e

o conjunto dos $x\in K$ tais que $(2x+3)^{6}(x-2)\geq 0.$

22

Prove que, para todo x num corpo ordenado K, tem-se

• $|x-1|+|x-2|\geq 1.$
• $|x-1|+|x-2|+|x-3|\geq 2.$

23

Dados $a,b,\epsilon$ num corpo ordenado K, prove que $|a-b|<\epsilon \Rightarrow |b|-\epsilon <|a|<|b|+\epsilon$. Conclua que $|a-b|<\epsilon \Rightarrow a<|b|+\epsilon .$

Resolução

• Pela desigualdade triângular, $|a-b+b|\leq |a-b|+|b|\Rightarrow |a|-|b|\leq |a-b|.$
  • Como $|a|-|b|\leq |a-b|{\mbox{ e }}|a-b|<\epsilon \Rightarrow |a|-|b|<\epsilon \Rightarrow |a|<|b|+\epsilon .$
• Pela desigualdade triângular, $|b-a+a|\leq |b-a|+|a|\Rightarrow |b|-|a|\leq |b-a|=|a-b|.$
  • Como $|b|-|a|\leq |a-b|{\mbox{ e }}|a-b|<\epsilon \Rightarrow |b|-|a|<\epsilon \Rightarrow |b|-\epsilon <|a|.$
• Assim $|b|-\epsilon <|a|<|b|+\epsilon .{\mbox{ Como }}a<|a|\Rightarrow a<|b|+\epsilon$.

24

Prove que, num corpo ordenado K, as seguintes afirmações são equivalentes:

• K é arquimediano;
• $\mathbb {Z}$ é ilimitado superior e inferiormente;
• $\mathbb {Q}$ é ilimitado superior e inferiormente;

Resolução está pronta

K ser arquimediano implica que o conjunto dos naturais pertencente a K não ser limitado superiormente.

Como o conjunto dos naturais é infinitos implicaria que os inteiros em K também o seriam, isso porque podemos estabelecer um F: A --> B, tal que (A = Conjunto dos naturais e B = conjunto dos Inteiros) F converteria números pares a números positivos em Z(inteiros) e ímpares em negativos em Z. Por conseguinte, se N é ilimitado Z também o seria pois os negativos e positivo nele contidos seriam infinitos. Então se Z é ilimitado N também é.

Sendo Q ilimitado implicaria que os inteiros também seriam, isso porque podemos estabelecer uma outra função: F: B --> C. De tal forma, onde os (P)números positivos e negativos pertencentes a Z compõem o numerador e os positivos o denominador(Q), (P/Q) isso geraria infinitas frações pertencentes a Q. Logo Q é ilimitado e por Q ser ilimitado Z também é.