Num corpo ordenado, se
são positivos, prove que
Enuncie e demonstre desigualdades análogas às dos exercícios 15 e 16, com a em vez de 1.
Sejam
elementos de um corpo ordenado K, onde b e d são positivos. Prove que
está compreendido entre o menor e o maior dos elementos
Generalize: Mostre que
está compreendido entre o menor e o maior dos elementos
desde que
sejam todos positivos.
Dados
num corpo ordenado K, com
prove que
Prove por indução que, dados
num corpo ordenado K, tem-se
e
- Vamos provar por indução que
- Vamos mostrar ser válido para n = 1:
![{\displaystyle |x_{1}|=|x_{1}|\Rightarrow |x_{1}|\leq |x_{1}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/679af1cf3566b522dd8142c95af42ef59f266a1a)
- Suponha ser válido para n = t e vamos mostrar ser válido para n=t+1:
em ambos os membros temos que
Pela desigualdade triangular ![{\displaystyle |x_{1}+x_{2}+...+x_{t}+x_{t+1}|\leq |x_{1}+x_{2}+...+x_{t}|+|x_{t+1}|\Rightarrow |x_{1}+x_{2}+...+x_{t}+x_{t+1}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{t}|+|x_{t+1}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340d2aa81b0b2d77f344238999d8ef2c075a8db5)
- Vamos provar por indução que
- Vamos mostrar ser válido para n = 1:
![{\displaystyle |x_{1}|=|x_{1}|\Rightarrow |x_{1}|\leq |x_{1}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/679af1cf3566b522dd8142c95af42ef59f266a1a)
- Suponha ser válido para n = t e vamos mostrar ser válido para n=t+1:
em ambos os membros temos que
Pela desigualdade triangular ![{\displaystyle |x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{t}\cdot x_{t+1}|\leq |x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{t}|\cdot |x_{t+1}|\Rightarrow |x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{t}\cdot x_{t+1}|\leq |x_{1}|\cdot |x_{2}|\cdot ...\cdot |x_{t}|\cdot |x_{t+1}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9852845c2837ffa0245967a4f213e07209a244)
Seja K um corpo ordenado. Exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunião de intervalos:
Seja X, o conjunto dos
tais que
- Por definição:
![{\displaystyle |x-3|={\begin{cases}x-3,se\;x\geq 3\\3-x,se\;x<3\end{cases}}{\mbox{ e }}|x+3|={\begin{cases}x+3,se\;x\geq -3\\-x-3,se\;x<-3\end{cases}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20250cbb4cef5c61f7b635d1e1ea5fdd6a652c66)
.
.
.
- Portanto
![{\displaystyle X=]-4,4[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0467ee48581b13037ed09a02b6f545294abc93d)
o conjunto dos
tais que
;
- Por definição:
![{\displaystyle |x^{2}-2|={\begin{cases}x^{2}-2,se\;x\leq -{\sqrt {2}}{\mbox{ ou }}x\geq {\sqrt {2}}\\2-x^{2},{\mbox{ se }}-{\sqrt {2}}<x<{\sqrt {2}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4df1b8c37b727b556d4b3c34ffcd14c0395dfc)
![{\displaystyle {\mbox{ tome }}x>{\sqrt {3}}\Rightarrow |x^{2}-2|>1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67bcd85dfd5287d5f808cbfedb7f03414c8f057c)
![{\displaystyle {\mbox{ tome }}x<-{\sqrt {3}}\Rightarrow |x^{2}-2|>1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c8e8d3f6df707c1e33d48fc8e22b3c92db90850)
![{\displaystyle {\mbox{ tome }}-1<x<1\Rightarrow |2-x^{2}|>1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e91483e14a5707c295a7ffbf7b9b8df0ccae5a4)
![{\displaystyle \Rightarrow X=X_{1}\cap X_{2};{\begin{cases}X_{1}=]-\infty ,-1]\cup [1,\infty [\\X_{2}=[-{\sqrt {3}},{\sqrt {3}}]\end{cases}}.{\mbox{ Portanto }}X=X_{1}\cap X_{2}=]-{\sqrt {3}},-1[\cup ]1,{\sqrt {3}}[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cbc76a58296983beab5176562b67c839e88073)
o conjunto dos
tais que
![{\displaystyle -1\leq 2x+1\leq 1\Rightarrow -2\leq 2x\leq 0\Rightarrow -1\leq x\leq 0\Rightarrow X=[-1,0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf3776782129bb45ba3a55cefaa2fd70d8da8c3)
o conjunto dos
tais que
o conjunto dos
tais que
Prove que, para todo x num corpo ordenado K, tem-se
![{\displaystyle |x-1|+|x-2|\geq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b063e07850bcc65c89faf4ff0c95598e9fd1705e)
![{\displaystyle |x-1|+|x-2|+|x-3|\geq 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18976add1d012a18eb8a7c15d190733f03a4a18)
Dados
num corpo ordenado K, prove que
. Conclua que
- Pela desigualdade triângular,
- Como
![{\displaystyle |a|-|b|\leq |a-b|{\mbox{ e }}|a-b|<\epsilon \Rightarrow |a|-|b|<\epsilon \Rightarrow |a|<|b|+\epsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b889a3addabe64c99dd3b6342fa092e60f150df)
- Pela desigualdade triângular,
- Como
![{\displaystyle |b|-|a|\leq |a-b|{\mbox{ e }}|a-b|<\epsilon \Rightarrow |b|-|a|<\epsilon \Rightarrow |b|-\epsilon <|a|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4baaba648b9005163395c4dd1fcd5825a5bbb81)
- Assim
.
Prove que, num corpo ordenado K, as seguintes afirmações são equivalentes:
- K é arquimediano;
é ilimitado superior e inferiormente;
é ilimitado superior e inferiormente;
K ser arquimediano implica que o conjunto dos naturais pertencente a K não ser limitado superiormente.
Como o conjunto dos naturais é infinitos implicaria que os inteiros em K também o seriam, isso porque podemos estabelecer um F: A --> B, tal que (A = Conjunto dos naturais e B = conjunto dos Inteiros) F converteria números pares a números positivos em Z(inteiros) e ímpares em negativos em Z. Por conseguinte, se N é ilimitado Z também o seria pois os negativos e positivo nele contidos seriam infinitos. Então se Z é ilimitado N também é.
Sendo Q ilimitado implicaria que os inteiros também seriam, isso porque podemos estabelecer uma outra função: F: B --> C. De tal forma, onde os (P)números positivos e negativos pertencentes a Z compõem o numerador e os positivos o denominador(Q), (P/Q) isso geraria infinitas frações pertencentes a Q. Logo Q é ilimitado e por Q ser ilimitado Z também é.