Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Números Reais/1-8

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1[editar | editar código-fonte]

Dados num corpo K, sendo b e d diferentes de zero, prove:

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2[editar | editar código-fonte]

Dado num corpo K, põe-se, por definição, e, se Sejam quais forem prove :

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3[editar | editar código-fonte]

Se num corpo K, prove que, dados tais que

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Por indução sobre n,

  • vamos mostrar válido para n = 1:
  • Supor válido para n = k e mostrar válido para n=k+1:
    • . Como Logo

4[editar | editar código-fonte]

Sejam K, L corpos. Uma função chama-se um homomorfismo quando se tem e , quaisquer que sejam .

  • Dado um homomorfismo , prove que
  • Prove também que, ou ou então e f é injetivo.

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  • Pelo homomorfismo de f, dado , ou de forma mais simples,
  • Suponhamos primeiro que e pelo homomorfismo de f, logo , isto é, .
    • Vamos tomar agora e pelo homomorfismo de f, temos que Como L é um corpo, logo
    • Vamos provar por indução que .
      • Vamos mostrar ser válido para n = 1: .
      • Vamos supor válido para n=t+1: Assim . Adicionando
    • Vamos mostrar que f é injetiva, tome é injetiva.

5[editar | editar código-fonte]

Seja um homomorfismo, isto é, quando se tem e , quaisquer que sejam . Prove que, ou ou então .

Resolução[editar | editar código-fonte]

  • Pelo homomorfismo de f, dado
  • Suponhamos primeiro que e pelo homomorfismo de f, , isto é, .
    • Vamos tomar agora e pelo homomorfismo de f, temos que Como é um corpo, logo
    • Vamos provar por indução que .
      • Vamos mostrar ser válido para n = 1: .
      • Vamos supor válido para n=t+1: Assim . Adicionando

6[editar | editar código-fonte]

Verifique as associatividades da adição e da multiplicação em (Observe que definindo , f e sobrejetiva e para quaisquer, valem As associatividades de implicam nas de

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  • Primeiro vamos mostrar a associatividade de em relação à adição, isto é, temos que mostrar que . Assim tomemos pela propA, pela propA, pela associatividade de pela propA, pela propA.
  • Agora vamos mostrar a associatividade de em relação à multiplicação, isto é, temos que mostrar que . Assim tomemos pela propB, pela propB, pela associatividade de pela propB, pela propB.


7[editar | editar código-fonte]

Seja p um número natural primo. Para cada inteiro m, indiquemos com o resto da divisão de m por p. No conjunto definamos duas operações: uma adição e uma multiplicação pondo

  • Prove que a função definida por cumpre
  • Conclua que são comutativas, associativas, vale a distributividade, existem 0 e 1.
  • Observe que dados
  • Conclua que é um corpo.

Resolução[editar | editar código-fonte]

  • Ao dividirmos m por p, coloquemos o quociente como e o resto como . Analogamente ao dividirmos n por p, coloquemos o quociente como e o resto como . Assim . Logo é o resto da divisão de . Portanto
    • Analogamente Logo é o resto da divisão de . Portanto
  • Temos que . Logo cumpre .
  • Temos que . Logo cumpre .
  • Vamos mostrar que são comutativas:
    • Se a = b nos reais então é comutativo.
    • Analogamente, dados é comutativo.
  • Vamos mostrar que são associativo:
    • Se a = b nos reais então é associativo.
    • Analogamente, dados é associativas.
  • Vamos mostrar que são distributivas:
    • Se a = b nos reais então são distributivos à esquerda.
    • Analogamente, dados são distributivos à direita.
  • Vamos mostrar que possuem 0 e 1.
    • Se a = b nos reais então é o zero de .
    • Analogamente, dado é a unidade multiplicativa de .
  • Vamos mostrar que dados
    • Como é primo, logo m,n não possuem em sua fatoração um p, assim m = 0 ou n = 0.
  • é um corpo.

8[editar | editar código-fonte]

Seja K um conjunto onde são válidos todos os axiomas de corpo, salvo a existência de inverso multiplicativo.

  • Dado em K, prove que a função definida por e uma bijeção se, e somente se, a possui inverso.
  • Mostre que f e injetiva se, e somente se, vale a lei do corte para a.
  • Conclua que, se K é finito, a lei do corte é equivalente à existência de inverso para cada elemento não-nulo de K.

Resolução não está pronta[editar | editar código-fonte]