Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Números Reais/1-8

1

Dados $a,b,c,d$ num corpo K, sendo b e d diferentes de zero, prove:

• ${a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd}$
• ${a \over b}\cdot {c \over d}={a\cdot c \over b\cdot d}$

Resolução

• ${a \over b}+{c \over d}={abdd^{-1}b^{-1} \over b}+{cbdd^{-1}b^{-1} \over d}=add^{-1}b^{-1}+cbd^{-1}b^{-1}=(ad+bc)(bd)^{-1}={ad+bc \over bd}$
• ${a \over b}\cdot {c \over d}={abb^{-1} \over b}\cdot {cdd^{-1} \over d}=ab^{-1}\cdot cd^{-1}=acb^{-1}d^{-1}=ac(db)^{-1}=ac(bd)^{-1}={a\cdot c \over b\cdot d}$

2

Dado $a\neq 0$ num corpo K, põe-se, por definição, $a^{0}=1$ e, se $n\in \mathbb {N} ,a^{-n}={1 \over a^{n}},{\mbox{ ou seja}},a^{-n}=(a^{n})^{-1}.$ Sejam quais forem $m,n\in \mathbb {Z} ,$ prove :

• $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.$
• $(a^{m})^{n}=a^{mn}$

Resolução

• $a^{m}\cdot a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{m}\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{m+n}=a^{m+n}.$
• $(a^{m})^{n}=(\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{m})^{n}=\underbrace {\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{m}\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{m}\cdot ...\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{m}} _{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{\underbrace {m+m+...+m} _{n}}=\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{mn}=a^{mn}$

3

Se ${x_{1} \over y_{1}}={x_{2} \over y_{2}}=...={x_{n} \over y_{n}}$ num corpo K, prove que, dados $a_{1},...,a_{n}\in K$ tais que $a_{1}y_{1}+...+a_{n}y_{n}\neq 0,{\mbox{ tem-se }}{a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n} \over a_{1}y_{1}+...+a_{n}y_{n}}={x_{1} \over y_{1}}$

Resolução

Por indução sobre n,

• vamos mostrar válido para n = 1: ${a_{1}x_{1} \over a_{1}y_{1}}={x_{1} \over y_{1}}$
• Supor válido para n = k e mostrar válido para n=k+1:
  • ${a_{1}x_{1}+...+a_{k}x_{k} \over a_{1}y_{1}+...+a_{k}y_{k}}={x_{1} \over y_{1}}\Rightarrow (a_{1}x_{1}+...+a_{k}x_{k})y_{1}=(a_{1}y_{1}+...+a_{k}y_{k})x_{1}$. Como ${x_{1} \over y_{1}}={x_{k+1} \over y_{k+1}}\Rightarrow x_{1}y_{k+1}=y_{1}x_{k+1}.$ Logo $(a_{1}x_{1}+...+a_{k}x_{k})y_{1}+a_{k+1}x_{k+1}y_{1}=(a_{1}y_{1}+...+a_{k}y_{k})x_{1}+a_{k+1}y_{k+1}x_{1}\Rightarrow$ $\Rightarrow (a_{1}x_{1}+...+a_{k}x_{k}+a_{k+1}x_{k+1})y_{1}=(a_{1}y_{1}+...+a_{k}y_{k}+a_{k+1}y_{k+1})x_{1}\Rightarrow {a_{1}x_{1}+...+a_{k}x_{k}+a_{k+1}x_{k+1} \over (a_{1}y_{1}+...+a_{k}y_{k}+a_{k+1}y_{k+1}}={x_{1} \over y_{1}}$

4

Sejam K, L corpos. Uma função $f:K\rightarrow L$ chama-se um homomorfismo quando se tem $f(x+y)=f(x)+f(y)$ e $f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$, quaisquer que sejam $x,y\in K$.

• Dado um homomorfismo $f:K\rightarrow L$, prove que $f(0)=0.$
• Prove também que, ou $f(x)=0,\forall \;x\in K,$ ou então $f(1)=1$ e f é injetivo.

Resolução

• Pelo homomorfismo de f, dado $x,0\in K,f(x+0_{K})=f(x)+f(0_{K}),{\mbox{ mas }}x+0_{K}=x({\mbox{ em }}K)\Rightarrow f(x+0_{K})=f(x)=f(x)+f(0_{K})\Rightarrow$ $\Rightarrow f(0_{K})=0_{L}$, ou de forma mais simples, $f(0)=0$
• Suponhamos primeiro que $f(1_{K})=0_{L},{\mbox{ dado }}1_{K},x\in K,1_{k}\cdot x=x$ e pelo homomorfismo de f, logo $f(1\cdot x)=f(x)=f(1)\cdot f(x)=$ $=0_{L}\cdot f(x)=0_{L}$, isto é, $f(x)=0,\forall \;x\in K$.
  • Vamos tomar agora $f(1_{K})\neq 0_{L},{\mbox{ dado }}1_{K}\in K,1_{K}\cdot 1_{K}=1_{K}$ e pelo homomorfismo de f, temos que $f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)\cdot f(1).$ Como L é um corpo, logo ${f(x)\cdot f(x)}^{-1}=1_{L},\forall \;x\in K\Rightarrow f(1)\cdot f(1)^{-1}=f(1)f(1)\cdot f(1)^{-1}\Rightarrow 1_{L}=f(1)\cdot 1_{L}\Rightarrow f(1)=1_{L}.$
  • Vamos provar por indução que $f(n_{K})=n_{L},{\mbox{ onde }}n_{K}=\underbrace {1_{K}+1_{K}+...+1_{K}} _{n},n_{L}=\underbrace {1_{L}+1_{L}+...+1_{L}} _{n}$.
    • Vamos mostrar ser válido para n = 1: $f(1_{K})=1_{L}$.
    • Vamos supor válido para n=t+1: Assim $f(t_{K})=t_{L}$. Adicionando $f(1_{K}),{\mbox{ temos }}f(t_{K})+f(1_{K})=t_{L}+f(1_{K})$ $\Rightarrow f(t_{K}+1_{L})=t_{L}+1_{L}\Rightarrow f(\underbrace {1_{K}+1_{K}+...+1_{K}} _{t}+1_{K})=\underbrace {1_{L}+1_{L}+...+1_{L}} _{t}+1_{L}\Rightarrow$ $\Rightarrow f(\underbrace {1_{K}+1_{K}+...+1_{K}} _{t+1})=\underbrace {1_{L}+1_{L}+...+1_{L}} _{t+1}\Rightarrow f(t+1_{K})=t+1_{L}$
  • Vamos mostrar que f é injetiva, tome $f(x_{K})=f(y_{K})\Rightarrow x_{L}=y_{L}{\mbox{ logo }}f$ é injetiva.

5

Seja $f:\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q}$ um homomorfismo, isto é, quando se tem $f(x+y)=f(x)+f(y)$ e $f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$, quaisquer que sejam $x,y\in K$. Prove que, ou $f(x)=0,\forall \;x\in \mathbb {Q} ,$ ou então $f(x)=x,\forall x\in \mathbb {Q}$.

Resolução

• Pelo homomorfismo de f, dado $x,0\in \mathbb {Q} ,f(x+0)=f(x)+f(0),{\mbox{ mas }}x+0=x\Rightarrow f(x+0)=f(x)=f(x)+f(0)\Rightarrow f(0)=0.$
• Suponhamos primeiro que $f(1)=0,{\mbox{ dado }}1,x\in \mathbb {Q} ,1\cdot x=x$ e pelo homomorfismo de f, $f(1\cdot x)=f(x)=f(1)\cdot f(x)=$ $=0\cdot f(x)=0$, isto é, $f(x)=0,\forall \;x\in \mathbb {Q}$.
  • Vamos tomar agora $f(1)\neq 0,{\mbox{ como }}1\cdot 1=1$ e pelo homomorfismo de f, temos que $f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)\cdot f(1).$ Como $\mathbb {Q} \;$ é um corpo, logo $f(x)\cdot f(x)^{-1}=1,\forall \;x\in \mathbb {Q} \Rightarrow f(1)\cdot f(1)^{-1}=f(1)f(1)\cdot f(1)^{-1}\Rightarrow 1=f(1)\cdot 1\Rightarrow f(1)=1.$
  • Vamos provar por indução que $f(n)=n,{\mbox{ onde }}n=\underbrace {1+1+...+1} _{n}$.
    • Vamos mostrar ser válido para n = 1: $f(1)=1$.
    • Vamos supor válido para n=t+1: Assim $f(t)=t$. Adicionando $f(1),{\mbox{ temos }}f(t)+f(1)=t+f(1)\Rightarrow$ $\Rightarrow f(\underbrace {1+1+...+1} _{t}+1)=\underbrace {1+1+...+1} _{t}+1\Rightarrow$ $\Rightarrow f(\underbrace {1+1+...+1} _{t+1})=\underbrace {1+1+...+1} _{t+1}\Rightarrow f(t+1)=t+1$

6

Verifique as associatividades da adição e da multiplicação em $\mathbb {Z} _{2}.\;$ (Observe que definindo $f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} _{2},f(n)={\begin{cases}0,{\mbox{ se n é par }}\\1,{\mbox{ se n é impar }}\end{cases}}\;$, f e sobrejetiva e para $m,n\in \mathbb {Z}$ quaisquer, valem $PropA:f(m+n)=f(m)+f(n),PropB:f(m\cdot n)=f(m)\cdot f(n).$ As associatividades de $\mathbb {Z}$ implicam nas de $\mathbb {Z} _{2}).$

Resolução

• Primeiro vamos mostrar a associatividade de $\mathbb {Z} _{2}$ em relação à adição, isto é, temos que mostrar que $f(p)+(f(q)+f(r))=(f(p)+f(q))+f(r),\;$ $\forall p,q,r\in \mathbb {Z}$. Assim tomemos $f(p)+(f(q)+f(r))=f(p)+f(q+r),$ pela propA, $=f((p+(q+r)),\;$ pela propA, $=f((p+q)+r)\;$ pela associatividade de $\mathbb {Z} ,=f(p+q)+f(r),$ pela propA, $=(f(p)+f(q))+f(r),$ pela propA.

• Agora vamos mostrar a associatividade de $\mathbb {Z} _{2}$ em relação à multiplicação, isto é, temos que mostrar que $f(p)\cdot (f(q)\cdot f(r))=(f(p)\cdot f(q))\cdot f(r),\;$ $\forall p,q,r\in \mathbb {Z}$. Assim tomemos $f(p)\cdot (f(q)\cdot f(r))=f(p)\cdot f(q\cdot r),$ pela propB, $=f((p\cdot (q\cdot r)),\;$ pela propB, $=f((p\cdot q)\cdot r)\;$ pela associatividade de $\mathbb {Z} ,=f(p\cdot q)\cdot f(r),$ pela propB, $=(f(p)\cdot f(q))\cdot f(r),$ pela propB.

7

Seja p um número natural primo. Para cada inteiro m, indiquemos com ${\overline {m}}$ o resto da divisão de m por p. No conjunto $\mathbb {Z} _{p}=\{0,1,...,p-1\}$ definamos duas operações: uma adição $\oplus$ e uma multiplicação $\otimes ,$ pondo $P_{A}:m\oplus n={\overline {m+n}}{\mbox{ e }}P_{B}:m\otimes n={\overline {m\times n}}.$

• Prove que a função $f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} _{p}$ definida por $P_{C}:f(n)={\overline {n}},$ cumpre $P_{D}:f(m+n)=f(m)\oplus f(n){\mbox{ e }}P_{E}:f(m\times n)=f(m)\otimes f(n).$
• Conclua que $\oplus {\mbox{ e }}\otimes$ são comutativas, associativas, vale a distributividade, existem 0 e 1.
• Observe que dados $m,n\in \mathbb {Z} _{p},m\otimes n=0\Rightarrow m=0{\mbox{ ou }}n=0.$
• Conclua que $\mathbb {Z} _{p}$ é um corpo.

Resolução

• Ao dividirmos m por p, coloquemos o quociente como $q_{m}$ e o resto como ${\overline {m}},{\mbox{ logo }},{\overline {m}}=m-p\cdot q_{m}$. Analogamente ao dividirmos n por p, coloquemos o quociente como $q_{n}$ e o resto como ${\overline {n}},{\mbox{ logo }},{\overline {n}}=n-p\cdot q_{n}$. Assim ${\overline {m}}+{\overline {n}}=m-p\cdot q_{m}+n-p\cdot q_{n}=m+n-p\cdot (q_{m}+q_{n})$. Logo ${\overline {m}}+{\overline {n}}$ é o resto da divisão de $m+n{\mbox{ por }}p$. Portanto $P_{F}:{\overline {m+n}}={\overline {{\overline {m}}+{\overline {n}}}}.$
  • Analogamente ${\overline {m}}\times {\overline {n}}=(m-p\cdot q_{m})\cdot (n-p\cdot q_{n})=m\cdot n+p\cdot (p\cdot q_{m}\cdot q_{n}-m\cdot q_{n}-n\cdot q_{m}).$ Logo ${\overline {m}}\times {\overline {n}}$ é o resto da divisão de $m\times n{\mbox{ por }}p$. Portanto $P_{G}:{\overline {m\times n}}={\overline {{\overline {m}}\times {\overline {n}}}}.$

• Temos que $f(m+n)={\overline {m+n}},{\mbox{ pela }}P_{C},={\overline {{\overline {m}}+{\overline {n}}}},{\mbox{ pela }}P_{F},={\overline {m}}\oplus {\overline {n}}{\mbox{ pela }}P_{A},=f(m)\oplus f(n),{\mbox{ pela }}P_{C}$. Logo cumpre $P_{D}\;$.

• Temos que $f(m\times n)={\overline {m\times n}},{\mbox{ pela }}P_{C},={\overline {{\overline {m}}\times {\overline {n}}}},{\mbox{ pela }}P_{G},={\overline {m}}\otimes {\overline {n}}{\mbox{ pela }}P_{B},=f(m)\otimes f(n),{\mbox{ pela }}P_{C}$. Logo cumpre $P_{E}\;$.

• Vamos mostrar que $\oplus {\mbox{ e }}\otimes$ são comutativas:
  • Se a = b nos reais então $f(a)=f(b).{\mbox{ Logo }}\forall m,n\in \mathbb {R} ,m+n=n+m\Rightarrow f(m+n)=f(n+m)\Rightarrow$ $\Rightarrow f(m)\oplus f(n)=f(n)\oplus f(m)\Rightarrow \oplus$ é comutativo.
  • Analogamente, dados $\forall m,n\in \mathbb {R} ,m\times n=n\times m\Rightarrow f(m\times n)=f(n\times m)\Rightarrow f(m)\otimes f(n)=f(n)\otimes f(m)\Rightarrow \otimes$ é comutativo.

• Vamos mostrar que $\oplus {\mbox{ e }}\otimes$ são associativo:
  • Se a = b nos reais então $f(a)=f(b).{\mbox{ Logo }}\forall m,n,o\in \mathbb {R} ,m+(n+o)=(m+n)+o\Rightarrow f(m+(n+o))=f((m+n)+o)\Rightarrow$ $\Rightarrow f(m)\oplus f(n+o)=f(m+n)\oplus f(o)\Rightarrow f(m)\oplus [f(n)\oplus f(o)]=[f(m)\oplus f(n)]\oplus f(o)\Rightarrow \oplus$ é associativo.
  • Analogamente, dados $\forall m,n,o\in \mathbb {R} ,m\times (n\times o)=(m\times n)\times o\Rightarrow f(m\times (n\times o))=f((m\times n)\times o)\Rightarrow$ $\Rightarrow f(m)\otimes f(n\times o)=f(m\times n)\otimes f(o)\Rightarrow f(m)\otimes [f(n)\otimes f(o)]=[f(m)\otimes f(n)]\otimes f(o)\Rightarrow \otimes$ é associativas.

• Vamos mostrar que $\oplus {\mbox{ e }}\otimes$ são distributivas:
  • Se a = b nos reais então $f(a)=f(b).{\mbox{ Logo }}\forall m,n,o\in \mathbb {R} ,m\times (n+o)=[m\times n]+[m\times o]\Rightarrow f(m\times (n+o))=f([m\times n]+[m\times o])\Rightarrow$ $\Rightarrow f(m)\otimes f(n+o)=f(m\times n)\oplus f(m\times o)\Rightarrow f(m)\otimes [f(n)\oplus f(o)]=[f(m)\otimes f(n)]\oplus [f(m)\otimes f(o)]\Rightarrow \oplus ,\otimes$ são distributivos à esquerda.
  • Analogamente, dados $\forall m,n,o\in \mathbb {R} ,(m+n)\times o=[m\times o]+[n\times o]\Rightarrow f((m+n)\times o)=f([m\times o]+[n\times o])\Rightarrow$ $\Rightarrow f(m+n)\otimes f(o)=f(m\times o)\oplus f(n\times o)\Rightarrow [f(m)\oplus f(n)]\otimes f(o)=[f(m)\otimes f(o)]\oplus [f(n)\otimes f(o)]\Rightarrow \oplus ,\otimes$ são distributivos à direita.

• Vamos mostrar que $\oplus {\mbox{ e }}\otimes$ possuem 0 e 1.
  • Se a = b nos reais então $f(a)=f(b).{\mbox{ Logo, dado }}0\in \mathbb {R} ;0+0=0,\Rightarrow f(0+0)=f(0)\Rightarrow f(0)\oplus f(0)=f(0)\Rightarrow f(0)$ é o zero de $\mathbb {Z} _{p}$.
  • Analogamente, dado $1\in \mathbb {R} ,1\times 1=1\Rightarrow f(1\times 1)=f(1)\Rightarrow f(1)\otimes f(1)=f(1)\Rightarrow f(1)$ é a unidade multiplicativa de $\mathbb {Z} _{p}$.

• Vamos mostrar que dados $m,n\in \mathbb {Z} _{p},m\otimes n=0\Rightarrow m=0{\mbox{ ou }}n=0.$
  • $\forall m,n\in \mathbb {Z} _{p},m\otimes n={\overline {m\times n}}=m\times n-p\times q=0\Rightarrow m\times n=p\times q.$ Como $m,n<p$ é primo, logo m,n não possuem em sua fatoração um p, assim m = 0 ou n = 0.
• $\mathbb {Z} _{p}$ é um corpo.

8

Seja K um conjunto onde são válidos todos os axiomas de corpo, salvo a existência de inverso multiplicativo.

• Dado $a\neq 0$ em K, prove que a função $f:K\rightarrow K,$ definida por $f(x)=ax,$ e uma bijeção se, e somente se, a possui inverso.
• Mostre que f e injetiva se, e somente se, vale a lei do corte para a.
• Conclua que, se K é finito, a lei do corte é equivalente à existência de inverso para cada elemento não-nulo de K.