Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Lista1

1.1

Mostrar que ${ℝ}^n$ é um espaço vetorial.

Resolução

• $u+v=(u_1,\mathrm{...},u_n)+(v_1,\mathrm{...},v_n)=(u_1+v_1,\mathrm{...},u_n+v_n){=}_1(v_1+u_1,\mathrm{...},v_n+u_n)=(v_1,\mathrm{...},v_n)+(u_1,\mathrm{...},u_n)=v+u,\mathrm{\forall }u,v\in {ℝ}^n,{[}_{1}poisℝ$ é comutativo], onde a adição é comutativa.
• $u+(v+w)=(u_1,\mathrm{...},u_n)+((v_1,\mathrm{...},v_n)+(w_1,\mathrm{...},w_n))=(u_1,\mathrm{...},u_n)+(v_1+w_1,\mathrm{...},v_n+w_n)=(u_1+(v_1+w_1),\mathrm{...},u_n+(v_n+w_n)){=}_1((u_1+v_1)+w_1,\mathrm{...},(u_n+v_n)+w_n)=$ $=(u_1+v_1,\mathrm{...},u_n+v_n)+(w_1,\mathrm{...},w_n)=((u_1,\mathrm{...},u_n)+(v_1,\mathrm{...},v_n))+(w_1,\mathrm{...},w_n)=(u+v)+w,\mathrm{\forall }u,v,w\in {ℝ}^n$
• $u+v=u\Rightarrow (u_1,\mathrm{...},u_n)+(v_1,\mathrm{...},v_n)=(u_1,\mathrm{...},u_n)\Rightarrow (u_1+v_1,\mathrm{...},u_n+v_n)=(u_1,\mathrm{...},u_n)\Rightarrow v_i=u_i-u_i\Rightarrow v_i=0,\mathrm{\forall }u,v\in {ℝ}^n,0\le i\le n$. A vetor nulo (0,0,...,0) é o elemento neutro da adição.
• $u+v=0\Rightarrow (u_1,\mathrm{...},u_n)+(v_1,\mathrm{...},v_n)=0\Rightarrow (u_1+v_1,\mathrm{...},u_n+v_n)=0\Rightarrow v_i=-u_i,\mathrm{\forall }u,v\in {ℝ}^n,0\le i\le n$. Todo vetor têm uma vetor inverso aditiva.
• $cu=u\Rightarrow c(u_1,\mathrm{...},u_n)=(u_1,\mathrm{...},u_n)\Rightarrow (c{u}_1,\mathrm{...},c{u}_n)=(u_1,\mathrm{...},u_n)\Rightarrow c{u}_i-u_i=0\Rightarrow (c-1)u_i=0\Rightarrow c-1=0\Rightarrow c=1,\mathrm{\forall }u\in {ℝ}^n,0\le ile1$. Logo $1u=u,\mathrm{\forall }u\in {ℝ}^n$.
• $(bc)u=bc(u_1,\mathrm{...},u_n)=(bc{u}_1,\mathrm{...},bc{u}_n)=b(c{u}_1,\mathrm{...},c{u}_n)=b(c(u_1,\mathrm{...},u_n))=b(cu),\mathrm{\forall }u\in {ℝ}^n,\mathrm{\forall }b,c\in ℝ$.
• $c(u+v)=c((u_1,\mathrm{...},u_n)+(v_1,\mathrm{...},v_n))=c(u_1+v_1,\mathrm{...},u_n+v_n)=(c(u_1+v_1),\mathrm{...},c(u_n+v_n))=(c{u}_1+c{v}_1,\mathrm{...},c{u}_n+c{v}_n)=(c{u}_1,\mathrm{...},c{u}_n)+(c{v}_1,\mathrm{...}+c{v}_n)=c(u_1,\mathrm{...},u_n)+$ $+c(v_1,\mathrm{...}+v_n),\mathrm{\forall }u,v\in {ℝ}^n,\mathrm{\forall }c\in ℝ$.
• $(b+c)u=(b+c)(u_1,\mathrm{...},u_n)=((b+c)u_1,\mathrm{...},(b+c)u_n)=(b{u}_1+c{u}_1,\mathrm{...},b{u}_n+c{u}_n)=(b{u}_1,\mathrm{...},b{u}_n)+(c{u}_1\mathrm{...},c{u}_n)=b(u_1,\mathrm{...},u_n)+c(u_1\mathrm{...},u_n)=bu+cu,\mathrm{\forall }u\in {ℝ}^n,\mathrm{\forall }b,c\in ℝ$.

1.2

Mostrar que $E=\{(1,0,\mathrm{...},0),(0,1,0,\mathrm{...},0),\mathrm{...},(0,\mathrm{...},0,1)\}$ é uma base de ${ℝ}^n$.

Resolução

• Tome $x\in {ℝ}^n,x=(x_1,\mathrm{...},x_n)=(x_1,0,\mathrm{...},0)+(0,x_2,0,\mathrm{...},0)+\mathrm{...}+(0,\mathrm{...},0,x_{n-1},0)+(0,\mathrm{...},0,x_n)=x_1(1,0,\mathrm{...},0)+x_2(0,1,0,\mathrm{...},0)+\mathrm{...}+x_{n-1(0,\mathrm{...},0,1},0)+x_n(0,\mathrm{...},0,1)\Rightarrow$ $\Rightarrow$ E é uma base de ${ℝ}^n$ e as coordenadas de x na base E é $(x_1,\mathrm{...},x_n)$.

1.3

Seja $A=(A_{ij})\in M(m\times n),T(x)=A{x}^t$. Mostre que $T:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ é linear.

Resolução

• $T(x+y)=T(x_1+y_1,\mathrm{...},x_n+y_n)=A(x_1+y_1,\mathrm{...},x_n+y_n{)}^t=[\sum _{i=1}^n{A}_{1i}(x_i+y_i),\mathrm{...},\sum _{i=1}^n{A}_{ni}(x_i+y_i){]}^t=[\sum _{i=1}^n{A}_{1i}{x}_i+A_{1i}{y}_i,\mathrm{...},\sum _{i=1}^n{A}_{ni}{x}_i+A_{ni}{y}_i{]}^t=$ $=[\sum _{i=1}^n{A}_{1i}{x}_i+\sum _{i=1}^n{A}_{1i}{y}_i,\mathrm{...},\sum _{i=1}^n{A}_{ni}{x}_i+\sum _{i=1}^n{A}_{ni}{y}_i{]}^t=[\sum _{i=1}^n{A}_{1i}{x}_i,\mathrm{...},\sum _{i=1}^n{A}_{ni}{x}_i{]}^t+[\sum _{i=1}^n{A}_{1i}{y}_i,\mathrm{...},\sum _{i=1}^n{A}_{ni}{y}_i{]}^t=A(x_1,\mathrm{...},x_n{)}^t+A(y_1,\mathrm{...},y_n{)}^t=T(x_1,\mathrm{...},x_n)+T(y_1,\mathrm{..},y_n)=$ $=T(x)+T(y),\mathrm{\forall }x,y\in {ℝ}^n$.
• $T(cx)=T(c{x}_1,\mathrm{...},c{x}_n)=A(c{x}_1,\mathrm{...},c{x}_n{)}^t=[\sum _{i=1}^n{A}_{1i}c{x}_i,\mathrm{...},\sum _{i=1}^n{A}_{ni}c{x}_i{]}^t=[c\sum _{i=1}^n{A}_{1i}{x}_i,\mathrm{...},c\sum _{i=1}^n{A}_{ni}{x}_i{]}^t=c[\sum _{i=1}^n{A}_{1i}{x}_i,\mathrm{...},\sum _{i=1}^n{A}_{ni}{x}_i{]}^t=cA(x_1,\mathrm{...},x_n{)}^t=cT(x_1,\mathrm{...},x_n)$ $=cT(x),\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n,\mathrm{\forall }c\in ℝ$.

1.4

Dado $T:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ linear, mostre que existe uma única matriz $A=(A_{ij})\in M(m\times n),ondeT(x)=A{x}^t$

Resolução

• Suponha que existem duas matrizes $A=(A_{ij})eB=(B_{ij})$ tal que $T(x)=A{x}^t=B{x}^t\Rightarrow A(x_1,\mathrm{...},x_n{)}^t=B(x_1,\mathrm{...},x_n{)}^t\Rightarrow$ $\Rightarrow [\sum _{i=1}^n{A}_{1i}{x}_i,\mathrm{...},\sum _{i=1}^n{A}_{ni}{x}_i{]}^t=[\sum _{i=1}^n{B}_{1i}{x}_i,\mathrm{...},\sum _{i=1}^n{B}_{ni}{x}_i{]}^t\Rightarrow \sum _{i=1}^n{A}_{1i}{x}_i=\sum _{i=1}^n{B}_{1i}{x}_i;\mathrm{...};\sum _{i=1}^n{A}_{ni}{x}_i=\sum _{i=1}^n{B}_{ni}{x}_i$. Como isso é verdade para qualquer $x\in {ℝ}^n$, tomando os vetores da base canônica, vemos facilmente que $A_{ij}=B_{ij}\Rightarrow A=B$.

1.5

Seja a norma do máximo definida por ${\Vert x\Vert }_M=max\{|x_1|,\mathrm{...},|x_n|\}$ e a norma da soma definida por ${\Vert x\Vert }_S=|x_1|+\mathrm{...}+|x_n|$. Mostre que elas são normas em ${ℝ}^n$.

Resolução

• Norma do máximo
  • ${\Vert x\Vert }_M=max\{|x_1|,\mathrm{...},|x_n|\}{=}_1|x_i|\ge 0,\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n,{[}_1$ para algum $1\le i\le n]$.
  • ${\Vert cx\Vert }_M=max\{|c{x}_1|,\mathrm{...},|c{x}_n|\}{=}_1|c{x}_i|=|c||x_i|=|c|{\Vert x\Vert }_M,\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n,\mathrm{\forall }c\in ℝ,{[}_1$ para algum $1\le i\le n]$.
  • ${\Vert x+y\Vert }_M=max\{|x_1+y_1|,\mathrm{...},|x_n+y_n|\}{=}_1|x_i+y_i|\le |x_i|+|y_i|\le |x_j|+|y_k|{=}_1{\Vert x\Vert }_M+{\Vert y\Vert }_M,\mathrm{\forall }x,y\in {ℝ}^n,{[}_1$ para algum $1\le i,j,k\le n]$.
• Norma da soma
  • ${\Vert x\Vert }_S=|x_1|+\mathrm{...}+|x_n|\ge 0,\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n$.
  • ${\Vert cx\Vert }_S=|c{x}_1|+\mathrm{...}+|c{x}_n|=|c||x_1|+\mathrm{...}+|c||x_n|=|c|(|x_1|+\mathrm{...}+|x_n|)=|c|{\Vert x\Vert }_S,\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n,\mathrm{\forall }c\in ℝ$.
  • ${\Vert x+y\Vert }_M=|x_1+y_1|+\mathrm{...}+|x_n+y_n|\le |x_1|+|y_1|+\mathrm{...}+|x_n|+|y_n|=|x_1|+\mathrm{...}+|x_n|+|y_1|+\mathrm{...}+|y_n|={\Vert x\Vert }_S+{\Vert y\Vert }_S,\mathrm{\forall }x,y\in {ℝ}^n$.

1.6

Mostre que a norma ruclidiana, a norma do máximo e a norma da soma são equivalentes.

Resolução

• ${\Vert x\Vert }_M\equiv {\Vert x\Vert }_S$
  • ${\Vert x\Vert }_M=max\{|x_1|,\mathrm{...},|x_n|\}{=}_1|x_i|\le |x_1|+\mathrm{...}+|x_n|={\Vert x\Vert }_S\le |x_i|+\mathrm{...}+|x_i|=n|x_i|=n{\Vert x\Vert }_M,\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n,{[}_1$ para algum $0\le i\le n]$
  • Portanto ${\Vert x\Vert }_M\le {\Vert x\Vert }_S\le n{\Vert x\Vert }_M,forallx\in {ℝ}^n$
• ${\Vert x\Vert }_M\equiv \Vert x\Vert$
  • ${\Vert x\Vert }_M=max\{|x_1|,\mathrm{...},|x_n|\}{=}_1|x_i|=\sqrt{x_i^2}\le \sqrt{x_1^2+\mathrm{...}+x_i^2+\mathrm{...}+x_n^2}=\Vert x\Vert \le \sqrt{x_i^2+\mathrm{...}+x_i^2+\mathrm{...}+x_i^2}=\sqrt{n{x}_i^2}\le n\sqrt{x_i^2}=$ $=n|x_i|=n{\Vert x\Vert }_M,\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n,{[}_1$ para algum $0\le i\le n]$.
  • Portanto ${\Vert x\Vert }_M\le \Vert x\Vert \le n{\Vert x\Vert }_M,\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n,{[}_1$ para algum $0\le i\le n]$.

1.7

$|\Vert x\Vert -\Vert y\Vert |\le \Vert x-y\Vert ,\mathrm{\forall }x,y\in {ℝ}^n$

Resolução

• $\Vert x-y+y\Vert \le \Vert x-y\Vert +\Vert y\Vert \Rightarrow \Vert x\Vert -\Vert y\Vert \le \Vert x-y\Vert ,\mathrm{\forall }x,y\in {ℝ}^n$.
• $\Vert y\Vert -\Vert x-y\Vert \le \Vert y-(y-x)\Vert \Rightarrow -\Vert x-y\Vert \le \Vert x\Vert -\Vert y\Vert ,\mathrm{\forall }x,y\in {ℝ}^n$.

1.8

Mostre que a união finita de fechados é fechado.

Resolução

• Seja uma família finita qualquer de fechados $(F_i{)}_{1\le i\le p}$. Seja $F=\cup F_i$.
• $F^C=(\cup F_i{)}^C=\cap F_i^C$ é aberto. Logo F é fechado.

1.9

Mostre que a intersecção de fechados é fechado.

Resolução

• Seja uma família finita qualquer de fechados $(F_i{)}_{1\le i\le p}$. Seja $F=\cap F_i$.
• $F^C=(\cap F_i{)}^C=\cup F_i^C$ é aberto. Logo F é fechado.