Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Conjuntos e Funções/9-16

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9[editar | editar código-fonte]

Prove que .

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10[editar | editar código-fonte]

Seja . Prove que . Examine a validez de um resultado análogo com .

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  • Tome
  • Tome

Portanto B = C

11[editar | editar código-fonte]

11a[editar | editar código-fonte]

Prove que

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  • Tome


  • Tome


11b[editar | editar código-fonte]

Prove que

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  • Tome


  • Tome


11c[editar | editar código-fonte]

Prove que

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  • Tome


  • Tome


11d[editar | editar código-fonte]

Prove que

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  • Tome

12[editar | editar código-fonte]

12a[editar | editar código-fonte]

Dada a função . Prove que se tem sejam quais forem os subconjuntos X e Y de A.

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12b[editar | editar código-fonte]

Dada a função . Mostre que se f for injetiva então para quaisquer X, Y contidas em A.

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Tome . A principio nada impede que mas f é injetiva, dados

13[editar | editar código-fonte]

Mostre que a função é injetiva

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  • Tome


. A principio nada impede que mas f é injetiva, dados

  • Suponha que toda função f não seja injetiva, mas que , assim Tome


. Mas nada impede que como f não é injetiva, dados que é um absurdo. Portanto foi um absurdo supor que toda f não será injetiva.

14[editar | editar código-fonte]

14a[editar | editar código-fonte]

Dada a função, prove que

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Tome e f é definida para todos os elemento de A, em particular para os elementos de X, logo . Como

14b[editar | editar código-fonte]

Dada a função, prove que f é injetiva

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  • , mas podem existir . Porem como a função f é injetiva, isso não ocorre, pois . Logo
  • Suponha que f não é injetiva, como
    que é um absurdo, logo f é injetiva.

15[editar | editar código-fonte]

15a[editar | editar código-fonte]

Dada prove que para todo tem-se que

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  • Definamos os conjuntos

15b[editar | editar código-fonte]

Dada prove que f é sobrejetiva

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Vamos mostrar que , primeiro vamos garantir que exista o elemento que precisamos.

  • Definamos os conjuntos
  • Tome Como f é sobrejetiva, Como f é definida para todo Portanto


Vamos mostrar que f é sobrejetiva, isto é,

  • Tome Z = B, logo logo f é sobrejetiva.

16[editar | editar código-fonte]

Dada uma família de conjuntos , seja X um conjunto com as seguintes propriedades:

  • tem -se ;
  • se então .

Prove que, nessas condições, tem-se

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