Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Conjuntos e Funções/9-16

9

Prove que $(A-B)\cup (B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)$.

Resolução

• ${\mbox{ Tome }}x\in (A-B)\cup (B-A)\Rightarrow x\in A-B{\mbox{ ou }}x\in B-A\Rightarrow (x\in A{\mbox{ e }}x\not \in B){\mbox{ ou }}(x\in B{\mbox{ e }}x\not \in A)\Rightarrow$

$\Rightarrow (x\in A{\mbox{ e }}x\not \in A\cap B){\mbox{ ou }}(x\in B{\mbox{ e }}x\not \in A\cap B)\Rightarrow (x\in A{\mbox{ ou }}x\in B){\mbox{ e }}x\not \in A\cap B\Rightarrow x\in (A\cup B)-(A\cap B).$

• ${\mbox{ Tome }}x\in (A\cup B)-(A\cap B)\Rightarrow (x\in A{\mbox{ ou }}x\in B){\mbox{ e }}x\not \in A\cap B\Rightarrow (x\in A{\mbox{ e }}x\not \in A\cap B){\mbox{ ou }}(x\in B{\mbox{ e }}x\not \in A\cap B)\Rightarrow$
  $\Rightarrow (x\in A{\mbox{ e }}x\not \in B){\mbox{ ou }}(x\in B{\mbox{ e }}x\not \in A)\Rightarrow (x\in A{\mbox{ e }}x\not \in B){\mbox{ ou }}(x\in B{\mbox{ e }}x\not \in A)\Rightarrow x\in (A-B)\cup (B-A).$

10

Seja $A\Delta B=(A-B)\cup (B-A)$. Prove que $A\Delta B=A\Delta C\Rightarrow B=C$. Examine a validez de um resultado análogo com $\cap ,\cup {\mbox{ ou }}\times {\mbox{ em vez de }}\Delta$.

Resolução

• Tome $x\in B-A\Rightarrow x\in (A-B)\cup (B-A)=A\Delta B=A\Delta C=(A-C)\cup (C-A),{\mbox{ mas }}x\not \in A\Rightarrow x\in C-A$
• Tome $x\in B\cap A\Rightarrow x\not \in A\Delta B=A\Delta C\Rightarrow x\in C\cap A\Rightarrow x\in C$

Portanto B = C

11

11a

Prove que $(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C).$

Resolução

• Tome $x\in (A\cup B)\times C\Rightarrow x=(x_{1},x_{2});x_{1}\in A\cup B{\mbox{ e }}x_{2}\in C\Rightarrow (x_{1}\in A{\mbox{ ou }}x_{1}\in B){\mbox{ e }}x_{2}\in C\Rightarrow$

$\Rightarrow (x_{1}\in A{\mbox{ e }}x_{2}\in C){\mbox{ ou }}(x_{1}\in B{\mbox{ e }}x_{2}\in C)\Rightarrow x\in (A\times C)\cup (B\times C)$

• Tome $x\in (A\times C)\cup (B\times C)\Rightarrow x\in A\times C{\mbox{ ou }}x\in B\times C\Rightarrow x=(x_{1},x_{2});(x_{1}\in A{\mbox{ e }}x_{2}\in C){\mbox{ ou }}(x_{1}\in B{\mbox{ e }}x_{2}\in C)\Rightarrow$

$\Rightarrow (x_{1}\in A{\mbox{ ou }}x_{1}\in B){\mbox{ e }}x_{2}\in C\Rightarrow x_{1}\in A\cup B{\mbox{ e }}x_{2}\in C\Rightarrow x\in (A\cup B)\times C$

11b

Prove que $(A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C).$

Resolução

• Tome $x\in (A\cap B)\times C\Rightarrow x=(x_{1},x_{2});x_{1}\in A\cap B{\mbox{ e }}x_{2}\in C\Rightarrow (x_{1}\in A{\mbox{ e }}x_{1}\in B){\mbox{ e }}x_{2}\in C\Rightarrow$

$\Rightarrow (x_{1}\in A{\mbox{ e }}x_{2}\in C){\mbox{ e }}(x_{1}\in B{\mbox{ e }}x_{2}\in C)\Rightarrow x\in (A\times C)\cap (B\times C)$

• Tome $x\in (A\times C)\cap (B\times C)\Rightarrow x\in A\times C{\mbox{ e }}x\in B\times C\Rightarrow x=(x_{1},x_{2});(x_{1}\in A{\mbox{ e }}x_{2}\in C){\mbox{ e }}(x_{1}\in B{\mbox{ e }}x_{2}\in C)\Rightarrow$

$\Rightarrow (x_{1}\in A{\mbox{ e }}x_{1}\in B){\mbox{ e }}x_{2}\in C\Rightarrow x_{1}\in A\cap B{\mbox{ e }}x_{2}\in C\Rightarrow x\in (A\cap B)\times C$

11c

Prove que $(A-B)\times C=(A\times C)-(B\times C).$

Resolução

• Tome $x\in (A-B)\times C\Rightarrow x=(x_{1},x_{2});x_{1}\in A-B{\mbox{ e }}x_{2}\in C\Rightarrow (x_{1}\in A{\mbox{ e }}x_{1}\not \in B){\mbox{ e }}x_{2}\in C\Rightarrow$

$\Rightarrow (x_{1}\in A{\mbox{ e }}x_{2}\in C){\mbox{ e }}(x_{1}\not \in B{\mbox{ e }}x_{2}\in C)\Rightarrow x\in (A\times C)-(B\times C)$

• Tome $x\in (A\times C)-(B\times C)\Rightarrow x\in A\times C{\mbox{ e }}x\not \in B\times C\Rightarrow x=(x_{1},x_{2});(x_{1}\in A{\mbox{ e }}x_{2}\in C){\mbox{ e }}(x_{1}\not \in B{\mbox{ e }}x_{2}\in C)\Rightarrow$

$\Rightarrow (x_{1}\in A{\mbox{ e }}x_{1}\not \in B){\mbox{ e }}x_{2}\in C\Rightarrow x_{1}\in A-B{\mbox{ e }}x_{2}\in C\Rightarrow x\in (A-B)\times C$

11d

Prove que $A\subset A';B\subset B'\Rightarrow A\times B\subset A'\times B'.$

Resolução

• Tome $x\in A\times B,{\mbox{ seja }}x=(x_{1},x_{2});x_{1}\in A\subset A'{\mbox{ e }}x_{2}\in B\subset B'\Rightarrow x\in A'\times B'.$

12

12a

Dada a função $f:A\rightarrow B$. Prove que se tem $f(X-Y)\supset f(X)-f(Y)$ sejam quais forem os subconjuntos X e Y de A.

Resolução

${\mbox{Tome }}t\in f(X)-f(Y),{\mbox{ onde }}f(X)=\{b\in B;b=f(x),x\in X\subset A\}{\mbox{ e }}f(Y)=\{b\in B;b=f(x),x\in Y\subset A\},{\mbox{ logo }}$
$t\in f(X){\mbox{ e }}t\not \in f(Y)\Rightarrow t\in B;t=f(a),{\mbox{ onde }}a\in X{\mbox{ e }}a\not \in Y\Rightarrow t\in B;t=f(a),{\mbox{ onde }}a\in X-Y\Rightarrow$
$\Rightarrow f(X)-f(Y)=\{b\in B;b=f(x),x\in X-Y\subset A\}.$

12b

Dada a função $f:A\rightarrow B$. Mostre que se f for injetiva então $f(X-Y)=f(X)-f(Y)$ para quaisquer X, Y contidas em A.

Resolução

Tome $t\in f(X-Y),{\mbox{ como }}f(X-Y)=\{b\in B;b=f(a),a\in X-Y\subset A\},{\mbox{ logo }}t\in B;t=f(x),x\in X-Y\Rightarrow$ $\Rightarrow t\in B;t=f(x),x\in X{\mbox{ e }}x\not \in Y$. A principio nada impede que $\exists \;y\in Y;f(y)=t,$ mas f é injetiva, dados $f(x)=t=f(y)\Rightarrow x=y\Rightarrow t=f(x)\in f(X){\mbox{ e }}t=f(x)\not \in f(Y)\Rightarrow t\in f(X)-f(Y).$

13

Mostre que a função $f:A\rightarrow B$ é injetiva $\Leftrightarrow f(A-X)=f(A)-f(X),\forall \;X\subset A$

Resolução

• ${\mbox{Tome }}t\in f(A)-f(X),{\mbox{onde }}f(A)=\{b\in B;b=f(x),x\in A\}{\mbox{ e }}f(X)=\{b\in B;b=f(x),x\in X\subset A\},{\mbox{logo }}$

$t\in f(A){\mbox{ e }}t\not \in f(X)\Rightarrow t\in B;t=f(a),{\mbox{ onde }}a\in A{\mbox{ e }}a\not \in X\Rightarrow t\in B;t=f(a),{\mbox{ onde }}a\in A-X\Rightarrow$
$\Rightarrow f(A)-f(X)=\{b\in B;b=f(x),x\in A-X\subset A\}.$

• Tome $t\in f(A-X),{\mbox{ como }}f(A-X)=\{b\in B;b=f(a),a\in A-X\subset A\},{\mbox{ logo }}t\in B;t=f(x),x\in A-X\Rightarrow$

$\Rightarrow t\in B;t=f(x),x\in A{\mbox{ e }}x\not \in X$. A principio nada impede que $\exists \;y\in X;f(y)=t,$ mas f é injetiva, dados $f(x)=t=f(y)\Rightarrow x=y\Rightarrow t=f(x)\in f(A){\mbox{ e }}t=f(x)\not \in f(X)\Rightarrow t\in f(A)-f(X).$

• Suponha que toda função f não seja injetiva, mas que $f(A-X)=f(A)-f(X),\forall \;X\subset A$, assim $f(A-X)\subset f(A)-f(X),\forall \;X\subset A.$ Tome $t\in f(A-X),{\mbox{ como }}f(A-X)=\{b\in B;b=f(a),a\in A-X\subset A\},{\mbox{ logo }}t\in B;t=f(x),x\in A-X\Rightarrow$

$\Rightarrow t\in B;t=f(x),x\in A{\mbox{ e }}x\not \in X$. Mas nada impede que $\exists \;y\in X;f(y)=t,$ como f não é injetiva, dados $f(x)=t=f(y)\Rightarrow t=f(x)\in f(A){\mbox{ e }}t=f(x)\not \in f(X),{\mbox{ mas }}t=f(y)\in f(X)$ que é um absurdo. Portanto foi um absurdo supor que toda f não será injetiva.

14

14a

Dada a função$f:A\rightarrow B$, prove que $f^{-1}(f(X))\supset X,\forall \;X\subset A.$

Resolução

Tome $x\in X\subset A,{\mbox{ como }}f(X)=\{b\in B;b=f(a),a\in A\}\subset B$ e f é definida para todos os elemento de A, em particular para os elementos de X, logo $\exists \;y\in B;y=f(x)$. Como $f^{-1}(f(X))=\{t\in X;t=f^{-1}(b),b\in f(X)\},{\mbox{ mas }}t=f^{-1}(b)=f^{-1}(f(a))=a\Rightarrow$
$\Rightarrow f^{-1}(f(X))=\{a\in X;a=f^{-1}(f(a)),a\in X\}=X$

14b

Dada a função$f:A\rightarrow B$, prove que f é injetiva $\Leftrightarrow f^{-1}(f(X))=X,\forall \;X\subset A.$

Resolução

• ${\mbox{ Tome }}x\in f^{-1}(f(X)),{\mbox{ como }}f^{-1}(f(X))=\{t\in A,t=f^{-1}(b),b\in f(X),b=f(x),x\in X\}$, mas podem existir $x\neq y\in X,f(x)=f(y){\mbox{ onde }}y=f^{-1}(f(y))\neq f^{-1}(f(x))=x$. Porem como a função f é injetiva, isso não ocorre, pois $f(x)=f(y)\Rightarrow x=y\Rightarrow f^{-1}(f(y))=f^{-1}(f(x))$. Logo $f^{-1}(f(X))=X,\forall \;X\subset A.$
• Suponha que f não é injetiva, como $f^{-1}(f(X))\subset X,\forall \;X\subset A.{\mbox{ Tome }}x,y\in A;$
  $x=f^{-1}(f(x))\neq f^{-1}(f(y))=y,f(x)=f(y)$ que é um absurdo, logo f é injetiva.

15

15a

Dada $f:A\rightarrow B,$ prove que para todo $Z\subset B$ tem-se que $f(f^{-1}(Z))\subset Z;$

Resolução

• Definamos os conjuntos $f^{-1}(Z)=\{x\in A;x=f^{-1}(y),y\in Z\},f(f^{-1}(Z))=\{t\in B;t=f(x),x\in f^{-1}(Z)\}.$
• ${\mbox{Tome }}b\in f(f^{-1}(Z))\Rightarrow \exists a\in f^{-1}(Z),f(a)=b\Rightarrow \exists c\in Z;f^{-1}(c)=a,{\mbox{ mas }}b=f(a)=f(f^{-1}(c))\in Z$

15b

Dada $f:A\rightarrow B,$ prove que f é sobrejetiva $\Leftrightarrow f(f^{-1}(Z))=Z;\forall \;Z\subset B$

Resolução

Vamos mostrar que $Z\subset f(f^{-1}(Z))$, primeiro vamos garantir que exista o elemento que precisamos.

• Definamos os conjuntos $f^{-1}(Z)=\{x\in A;x=f^{-1}(z),z\in Z\},f(f^{-1}(Z))=\{t\in B;t=f(x),x\in f^{-1}(Z)\}.$
• Tome $z\in Z.$ Como f é sobrejetiva, $\exists \;x\in A;f(x)=z\Rightarrow x=f^{-1}(z)\in f^{-1}(Z)$ Como f é definida para todo $x\in A,{\mbox{ dado }}x\in f^{-1}(Z)\subset A,{\mbox{ assim }}f(x)\in f(f^{-1}(Z))\Rightarrow f(f^{-1}(z))=z\in f(f^{-1}(Z)).$ Portanto $Z\subset f(f^{-1}(Z))$

Vamos mostrar que f é sobrejetiva, isto é,

• Tome Z = B, logo $f(f^{-1}(B))=B=\{z\in B;z=f(x),x\in f^{-1}(B)\}\Rightarrow {\mbox{ dado }}b\in B;\exists x\in f^{-1}(B)\subset A;f(x)=b,$ logo f é sobrejetiva.

16

Dada uma família de conjuntos $(A_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:

• $\forall \lambda \in \Lambda ,$ tem -se $X\supset A_{\lambda }$;
• se $Y\supset A_{\lambda },\forall \lambda \in \Lambda ,$ então $Y\supset X$.

Prove que, nessas condições, tem-se $X=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }$

Resolução

• ${\mbox{ Tome }}x\in \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\Rightarrow x\in A_{\lambda },{\mbox{ para algum }}\lambda \in \Lambda \Rightarrow {\mbox{ (pela prop1) }}x\in X,i.e.,\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\subset X.$
• ${\mbox{ Como }}\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\supset A_{\lambda },{\mbox{ para todo }}\lambda \in \Lambda \Rightarrow {\mbox{ (pela prop2) }}\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\supset X.$