Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Conjuntos e Funções/17-21

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Enuncie e demonstre um resultado análogo ao anterior, caracterizando $\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }$

Resolução

Dada uma família de conjuntos $(A_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:

• $\forall \lambda \in \Lambda ,$ tem -se $X\subset A_{\lambda }$;
• se $Y\subset A_{\lambda },\forall \lambda \in \Lambda ,$ então $Y\subset X$.

Prove que, nessas condições, tem-se $X=\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }$

• ${\mbox{ Tome }}x\in X\Rightarrow {\mbox{ (pela prop1) }}x\in A_{\lambda }{\mbox{ para todo }}\lambda \in \Lambda \Rightarrow x\in \bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda },i.e.,X\subset \bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }.$
• ${\mbox{ Como }}\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\subset A_{\lambda },{\mbox{ para todo }}\lambda \in \Lambda \Rightarrow {\mbox{ (pela prop2) }}\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\subset X.$

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Seja $f:P(A)\rightarrow P(A)$ uma função tal que $X\subset Y\Rightarrow f(Y)\subset f(X){\mbox{ e }}f(f(X))=X$. Prove que $f(\cup X_{\lambda })=\cap f(X_{\lambda }){\mbox{ e }}f(\cap X_{\lambda })=\cup f(X_{\lambda })$. [Aqui X,Y e cada $X_{\lambda }\;$ são subconjunto de A].

Resolução

• Tome $y\in f(\cup X_{\lambda }),{\mbox{ como }}\cap X_{\lambda }\subset \cup X_{\lambda }\Rightarrow f(\cup X_{\lambda })\subset f(\cap X_{\lambda }),{\mbox{ assim }}y\in f(\cap X_{\lambda })\Rightarrow \exists x\in \cap X_{\lambda };f(x)=y,$ como $x\in X_{\lambda },\forall \lambda \in \Lambda \Rightarrow y\in f(X_{\lambda }),\forall \lambda \in \Lambda \Rightarrow y\in \cap f(X_{\lambda }).$
• Tome $y\in \cap f(X_{\lambda })\Rightarrow y\in f(X_{\lambda }),\forall \lambda \in \Lambda \Rightarrow \exists x\in X_{\lambda };y=f(x);\forall \lambda \in \Lambda \Rightarrow x\in \cup X_{\lambda },{\mbox{ como }}y=f(x)\Rightarrow y\in f(\cup X_{\lambda }).$
• Tome $y\in f(\cap X_{\lambda })\Rightarrow \exists x\in \cap X_{\lambda }\subset \cup X_{\lambda };f(x)=y\Rightarrow x\in X_{\lambda },{\mbox{ para algum }}\lambda \in \Lambda \Rightarrow y\in f(X_{\lambda }),{\mbox{ para algum }}\lambda \in \Lambda \Rightarrow$

$\Rightarrow y\in \cup f(X_{\lambda }).$

• Tome $y\in \cup f(X_{\lambda })\Rightarrow y\in f(X_{\lambda }),{\mbox{ para algum }}\lambda \in \Lambda \Rightarrow x\in X_{\lambda },{\mbox{ para algum }}\lambda \in \Lambda \Rightarrow x\in \cup X_{\lambda }\Rightarrow y\in f(\cup X_{\lambda }),{\mbox{ como }}$

$\cap X_{\lambda }\subset \cup X_{\lambda }\Rightarrow f(\cup X_{\lambda })\subset f(\cap X_{\lambda }),{\mbox{ assim }}y\in f(\cap X_{\lambda }).$

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Dadas as famílias $(A_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda },{\mbox{ e }}(B_{\mu })_{\mu \in \mathrm {M} },$ forme duas famílias com índices em $\Lambda \times \mathrm {M}$ considerando os conjuntos $(A_{\lambda }\cup B\mu )_{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }{\mbox{ e }}$ $(A_{\lambda }\cap B_{\mu })_{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }.$ Prove que se tem:

• $(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\cap (\bigcup _{\mu \in \mathrm {M} }B_{\mu })=\bigcup _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }(A_{\lambda }\cap B_{\mu }).$
• $(\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\cap (\bigcap _{\mu \in \mathrm {M} }B_{\mu })=\bigcap _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }(A_{\lambda }\cup B_{\mu }).$

${\displaystyle }$