Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Conjuntos Finitos, Enumeráveis e não-enumeráveis/17-24

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17[editar | editar código-fonte]

Seja uma função. Um subconjunto chama-se estável relativamente a f quando . Prove que um conjunto X é finito se, e somente, se existe uma função que só admite os subconjuntos estáveis

Resolução não está pronta[editar | editar código-fonte]

  • Vamos tomar por hipótese que existe uma função que só admite os subconjuntos estáveis Um contra-exemplo é , todos os subconjuntos de X são estáveis, assim não é qualquer função que admite somente os subconjuntos estáveis Assim essa f única deve ser uma sequência de forma que e que quando tirarmos um elemento do domínio, temos que tirar também um elemento da imagem, esse elemento por sua vez deve ser tirado do domínio e assim por diante, sobrando apenas o conjunto vazio. Logo, seja , onde em um certo momento deve voltar a x_1, assim X deve ser finito.
    • Se X fosse infinito, não existiria um momento que voltaria para . Se

18[editar | editar código-fonte]

Seja uma função injetiva tal que . Tomando , prove que os elementos são dois a dois distintos.

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19[editar | editar código-fonte]

Sejam X um conjunto infinito e Y um conjunto finito. Mostre que existe uma função sobrejetiva e uma função injetiva .

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20[editar | editar código-fonte]

20a[editar | editar código-fonte]

Se X é finito e Y enumerável, então é enumerável.

Resolução não está pronta[editar | editar código-fonte]

20b[editar | editar código-fonte]

Para cada função seja . Prove que o conjunto X das funções tais que é finito é um conjunto enumerável.

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21[editar | editar código-fonte]

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22[editar | editar código-fonte]

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23[editar | editar código-fonte]

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24[editar | editar código-fonte]

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