Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Conjuntos Finitos, Enumeráveis e não-enumeráveis/17-24

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Seja $f:X\rightarrow X$ uma função. Um subconjunto $Y\subset X$ chama-se estável relativamente a f quando $f(Y)\subset Y$. Prove que um conjunto X é finito se, e somente, se existe uma função $f:X\rightarrow X$ que só admite os subconjuntos estáveis $\varnothing {\mbox{ e }}X.$

Resolução não está pronta

• Vamos tomar por hipótese que existe uma função $f:X\rightarrow X$ que só admite os subconjuntos estáveis $\varnothing {\mbox{ e }}X.$ Um contra-exemplo é $Id:X\rightarrow X$, todos os subconjuntos de X são estáveis, assim não é qualquer função que admite somente os subconjuntos estáveis $\varnothing {\mbox{ e }}X.$ Assim essa f única deve ser uma sequência de forma que $f(x_{i})\neq x_{i},\forall x_{i}\in X$ e que quando tirarmos um elemento do domínio, temos que tirar também um elemento da imagem, esse elemento por sua vez deve ser tirado do domínio e assim por diante, sobrando apenas o conjunto vazio. Logo, seja $X=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\},f(x_{1})=x_{2},f(x_{2})=x_{3},...,f(x_{n})=x_{1}$, onde em um certo momento deve voltar a x_1, assim X deve ser finito.
  • Se X fosse infinito, não existiria um momento que voltaria para $x_{1};f(x_{\infty })=x_{1}$. Se

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Seja $f:X\rightarrow X$ uma função injetiva tal que $f(X)\neq X$. Tomando $x\in X-f(X)$, prove que os elementos $x,f(x),f(f(x)),...$ são dois a dois distintos.

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Sejam X um conjunto infinito e Y um conjunto finito. Mostre que existe uma função sobrejetiva $f:X\mapsto Y$ e uma função injetiva $g:Y\mapsto X$.

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20a

Se X é finito e Y enumerável, então $F(X;Y)$ é enumerável.

20b

Para cada função $f:\mathbb {N} \mapsto \mathbb {N}$ seja $A_{f}=\{n\in \mathbb {N} ;f(n)\neq 1\}$. Prove que o conjunto X das funções $f:\mathbb {N} \mapsto \mathbb {N}$ tais que $A_{f}$ é finito é um conjunto enumerável.