Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Chap1/Sec1

1-1

Prove que $\left\|x\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$

Resolução

• Devemos mostrar primeiro que ${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}^{2}}}$
  • Seja $({\sqrt {a_{1}}}+{\sqrt {a_{2}}})^{2}=a_{1}+a_{2}+2{\sqrt {a_{1}a_{2}}}\Rightarrow {\sqrt {a_{1}}}+{\sqrt {a_{2}}}={\sqrt {a_{1}+a_{2}+2{\sqrt {a_{1}a_{2}}}}}\geq {\sqrt {a_{1}+a_{2}}},\forall a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} ^{+}$
  • Suponha ser verdade que ${\sqrt {a_{1}}}+{\sqrt {a_{2}}}+...+{\sqrt {a_{n}}}\geq {\sqrt {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}},\forall a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {R} ^{+}$
  • Tome ${\sqrt {a_{1}}}+{\sqrt {a_{2}}}+...+{\sqrt {a_{n}}}+{\sqrt {a_{n+1}}}\geq {\sqrt {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}}+{\sqrt {a_{n+1}}}\leq {\sqrt {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+a_{n+1}}},\forall a_{1},a_{2},...,a_{n},a_{n+1}\in \mathbb {R} ^{+}$
• $\left\|x\right\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}^{2}}}\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$

1-2

Quando é que vale a igualdade em $\left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|$. Reexamine a prova, a resposta não é "quando x e y são linearmente dependentes".

Resolução

• Verificar quando é válido que $\left\|x+y\right\|=\left\|x\right\|+\left\|y\right\|$.
  • Tome $x=cy,c\in \mathbb {R} ,\left\|x+y\right\|=\left\|cy+y\right\|=\left\|(c+1)y\right\|=(|c|+1)\left\|y\right\|=|c|\left\|y\right\|+\left\|y\right\|=\left\|cy\right\|+\left\|y\right\|=\left\|x\right\|+\left\|y\right\|$

1-3

Prove que $\left\|x-y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|$. Quando a igualdade mantem?

Resolução

• Verificar que $\left\|x-y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}$.
  • Tome $\left\|x-y\right\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,-y\rangle +\langle -y,x\rangle +\langle -y,-y\rangle =\left\|x\right\|^{2}-2\langle x,y\rangle +\left\|y\right\|^{2}\leq \left\|x\right\|^{2}+2\left\|x\right\|\left\|y\right\|+\left\|y\right\|^{2}=$ $=(\left\|x\right\|+\left\|y\right\|)^{2}\Rightarrow \left\|x-y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|$
• Verificar quando é válido que $\left\|x-y\right\|=\left\|x\right\|+\left\|y\right\|$.
  • Tome $y=-cx,c\in \mathbb {R} ^{+},\left\|x-y\right\|=\left\|x-(-cx)\right\|=\left\|x+cx\right\|=\left\|(1+c)x\right\|=|c+1|\left\|x\right\|=|c|\left\|x\right\|+\left\|x\right\|=\left\|cx\right\|+\left\|x\right\|=$$=\left\|-y\right\|+\left\|x\right\|=\left\|y\right\|+\left\|x\right\|$

1-4

$|\left\|x\right\|-\left\|y\right\||\leq \left\|x-y\right\|,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}$

Resolução

• $\left\|x-y+y\right\|\leq \left\|x-y\right\|+\left\|y\right\|\Rightarrow \left\|x\right\|-\left\|y\right\|\leq \left\|x-y\right\|,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}$.
• $\left\|y\right\|-\left\|x-y\right\|\leq \left\|y-(y-x)\right\|\Rightarrow -\left\|x-y\right\|\leq \left\|x\right\|-\left\|y\right\|,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}$.

1-5

A quantidade $\left\|y-x\right\|$ é chamada a distancia entre x e y. Prove e interprete geometricamente a "inequação triangular": $\left\|z-x\right\|\leq \left\|z-y\right\|+\left\|y-x\right\|$

Resolução

• $\left\|z-x\right\|=\left\|z-y+y-x\right\|=\left\|(z-y)+(y-x)\right\|\leq \left\|z-y\right\|+\left\|y-x\right\|$

1-6

Seja f e g integráveis sobre [a,b]

• Prove que $|\int _{a}^{b}f\cdot g|\leq (\int _{a}^{b}f^{2})^{1 \over 2}\cdot (\int _{a}^{b}g^{2})^{1 \over 2}$. Dica: Considere separadamente os casos $0=\int _{a}^{b}(f-\lambda g)^{2}$ para algum $\lambda \in \mathbb {R}$ e $0<\int _{a}^{b}(f-\lambda g)^{2},\forall \lambda \in \mathbb {R}$.
• Se a igualdade mantem, deve $f=\lambda g$ para algum $\lambda \in \mathbb {R}$? Quais de f,g são continuos?
• Mostre que o teorema 1-1(2) é um caso especial de (a).

1-7

Uma transformação linear $T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ preserva a norma se $\left\|T(x)\right\|=\left\|x\right\|$, e preserva o produto interno se $\langle T(x),T(y)\rangle =\langle x,y\rangle$.

• Prove que T preserva a norma se, e somente, se T preserva o produto interno.
• Prove que uma tal transformação linear T é injetiva e a $T^{-1}\;$ é da mesma maneira.

Resolução

• Se T preserva a norma, então T preserva o produto interno.
  • $\left\|T(x+y)\right\|^{2}=\left\|x+y\right\|^{2}\Rightarrow$
  • $\Rightarrow \left\|T(x)+T(y)\right\|^{2}=\left\|x+y\right\|^{2}\Rightarrow$
  • $\Rightarrow \langle T(x)+T(y),T(x)+T(y)\rangle =\langle x+y,x+y\rangle \Rightarrow$
  • $\Rightarrow \langle T(x),T(x)\rangle +2\langle T(x),T(y)\rangle +\langle T(y),T(y)\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle \Rightarrow$
  • $\Rightarrow \left\|T(x)\right\|^{2}+2\langle T(x),T(y)\rangle +\left\|T(y)\right\|^{2}=\left\|x\right\|^{2}+2\langle x,y\rangle +\left\|y\right\|^{2}$.
  • Como T preserva a norma, $\left\|T(x)\right\|^{2}+\left\|T(y)\right\|^{2}=\left\|x\right\|^{2}+\left\|y\right\|^{2}$. Então $2\langle T(x),T(y)\rangle =2\langle x,y\rangle \Rightarrow$
  • $\Rightarrow \langle T(x),T(y)\rangle =\langle x,y\rangle$
• Se T preserva o produto interno, então T preserva a norma.
  • $\langle T(x),T(x)\rangle =\langle x,x\rangle \Rightarrow$
  • $\Rightarrow \left\|T(x)\right\|^{2}=\left\|x\right\|^{2}\Rightarrow$.
  • $\Rightarrow \left\|T(x)\right\|=\left\|x\right\|$
• T é injetiva
  • Seja $a,b\in \mathbb {R} ^{n}$, tal que $T(a)=T(b)\Rightarrow T(a)-T(b)=0\Rightarrow T(a-b)=0$, por ser T linear.
  • Mas $0=\left\|0\right\|=\left\|T(a-b)\right\|=\left\|a-b\right\|\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b$
• $T^{-1}$ é linear
  • Seja $c\in \mathbb {R} ,x=T(a),y=T(b)\in \mathbb {R} ^{n},T(ca+b)=cT(a)+T(b)=cx+y\Rightarrow T^{-1}(cx+y)=ca+b=cT^{-1}(x)+T^{-1}(y)$
• $T^{-1}$ preserva a norma.
  • Seja $a=T(x),\left\|T(x)\right\|=\left\|T^{-1}(T(x))\right\|\Rightarrow \left\|T^{-1}(a)\right\|=\left\|a\right\|,\forall a\in \mathbb {R} ^{n}$
• $T^{-1}$ é injetiva
  • Seja $c=T(a),e=T(b)\in \mathbb {R} ^{n}$, tal que $T^{-1}(c)=T^{-1}(e)\Rightarrow T(c)^{-1}-T(e)^{-1}=0\Rightarrow T^{-1}(c-e)=0$, por ser $T^{-1}\;$ linear.
  • Mas $0=\left\|0\right\|=\left\|T^{-1}(c-e)\right\|=\left\|c-e\right\|\Rightarrow c-e=0\Rightarrow c=e$

1-8

Se $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ são não-nulos, o ângulo entre x e y, denotado por $\angle (x,y)$ é definido como $cos^{-1}{\langle x,y\rangle \over \left\|x\right\|\cdot \left\|y\right\|}$ o que faz sentido pelo teorema $\langle x,y\rangle \leq \left\|x\right\|\cdot \left\|y\right\|$. A transformação linear T preserva o ângulo se T é injetiva e para $x,y\not =0$ tivermos $\angle (Tx,Ty)=\angle (x,y)$.

• Prove que se T preserva a norma, então T preserva o ângulo.
• Se existe uma base $\{x_{1},...,x_{n}\}\;$ de $\mathbb {R} ^{n}$ e números $\{k_{1},...,k_{n}\}\;$ tal que $Tx_{i}=k_{i}x_{i}\;$, prove que T preserva o ângulo se, e somente se, todos os $|k_{i}|\;$ são iguais.
• Quais todos os $T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ que preservam o ângulo?

Resolução

• Mostrar que T preserva o ângulo: T preserva a norma, logo preserva o produto interno, isto é, $\left\|T(x)\right\|=\left\|x\right\|\;e\;\langle T(x),T(y)\rangle =\langle x,y\rangle ,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}$.
  • Assim $\angle (Tx,Ty)=cos^{-1}{\langle T(x),T(y)\rangle \over \left\|T(x)\right\|\cdot \left\|T(y)\right\|}=cos^{-1}{\langle x,y\rangle \over \left\|x\right\|\cdot \left\|y\right\|}=\angle (x,y)$.
  • No exercício anterior provamos que toda T linear é injetiva.
• T preserva o ângulo. Mostrar que $|k_{i}|\;$ são iguais para $i=1,...,n\;$
  • Seja $y=y_{1}x_{1}+...+y_{n}x_{n}\Rightarrow T(y)=T(y_{1}x_{1}+...+y_{n}x_{n})=y_{1}T(x_{1})+...+y_{n}T(x_{n})=y_{1}k_{1}x_{1}+...+y_{n}k_{n}x_{n}=(y_{1}k_{1},...,y_{n}k_{n})$.
  • Mas T preserva o ângulo, então $\angle (Ta,Tb)=\angle (a,b)\Rightarrow {\langle T(a),T(b)\rangle \over \left\|T(a)\right\|\cdot \left\|T(b)\right\|}={\langle a,b\rangle \over \left\|a\right\|\cdot \left\|b\right\|}\Rightarrow$.
  • $\Rightarrow {a_{1}b_{1}k_{1}^{2}+...+a_{n}b_{n}k_{n}^{2} \over {\sqrt {(a_{1}^{2}k_{1}^{2}+...+a_{n}^{2}k_{n}^{2})(b_{1}^{2}k_{1}^{2}+...b_{n}^{2}k_{n}^{2})}}}={a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n} \over {\sqrt {(a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+...+b_{n}^{2})}}}\Rightarrow$
  • $\Rightarrow {(a_{1}b_{1}k_{1}^{2}+...+a_{n}b_{n}k_{n}^{2})^{2} \over (a_{1}^{2}k_{1}^{2}+...+a_{n}^{2}k_{n}^{2})(b_{1}^{2}k_{1}^{2}+...b_{n}^{2}k_{n}^{2})}={(a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n})^{2} \over (a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+...+b_{n}^{2})}$. Tome $k_{l}=min\{k_{i}\},k_{p}=min\{k_{i}\},1\leq i\leq n\;$. Logo
  • $\Rightarrow {(a_{1}b_{1}k_{1}^{2}+...+a_{n}b_{n}k_{n}^{2})^{2} \over (a_{1}^{2}k_{1}^{2}+...+a_{n}^{2}k_{n}^{2})(b_{1}^{2}k_{1}^{2}+...b_{n}^{2}k_{n}^{2})}={(a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n})^{2} \over (a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+...+b_{n}^{2})}$.