Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Chap1/Sec1

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1-1[editar | editar código-fonte]

Prove que

Resolução[editar | editar código-fonte]

  • Devemos mostrar primeiro que
    • Seja
    • Suponha ser verdade que
    • Tome

1-2[editar | editar código-fonte]

Quando é que vale a igualdade em . Reexamine a prova, a resposta não é "quando x e y são linearmente dependentes".

Resolução[editar | editar código-fonte]

  • Verificar quando é válido que .
    • Tome

1-3[editar | editar código-fonte]

Prove que . Quando a igualdade mantem?

Resolução[editar | editar código-fonte]

  • Verificar que .
    • Tome
  • Verificar quando é válido que .
    • Tome

1-4[editar | editar código-fonte]

Resolução[editar | editar código-fonte]

  • .
  • .

1-5[editar | editar código-fonte]

A quantidade é chamada a distancia entre x e y. Prove e interprete geometricamente a "inequação triangular":

Resolução[editar | editar código-fonte]

1-6[editar | editar código-fonte]

Seja f e g integráveis sobre [a,b]

  • Prove que . Dica: Considere separadamente os casos para algum e .
  • Se a igualdade mantem, deve para algum ? Quais de f,g são continuos?
  • Mostre que o teorema 1-1(2) é um caso especial de (a).

Resolução[editar | editar código-fonte]

1-7[editar | editar código-fonte]

Uma transformação linear preserva a norma se , e preserva o produto interno se .

  • Prove que T preserva a norma se, e somente, se T preserva o produto interno.
  • Prove que uma tal transformação linear T é injetiva e a é da mesma maneira.

Resolução[editar | editar código-fonte]

  • Se T preserva a norma, então T preserva o produto interno.
    • .
    • Como T preserva a norma, . Então
  • Se T preserva o produto interno, então T preserva a norma.
    • .
  • T é injetiva
    • Seja , tal que , por ser T linear.
    • Mas
  • é linear
    • Seja
  • preserva a norma.
    • Seja
  • é injetiva
    • Seja , tal que , por ser linear.
    • Mas

1-8[editar | editar código-fonte]

Se são não-nulos, o ângulo entre x e y, denotado por é definido como o que faz sentido pelo teorema . A transformação linear T preserva o ângulo se T é injetiva e para tivermos .

  • Prove que se T preserva a norma, então T preserva o ângulo.
  • Se existe uma base de e números tal que , prove que T preserva o ângulo se, e somente se, todos os são iguais.
  • Quais todos os que preservam o ângulo?

Resolução[editar | editar código-fonte]

  • Mostrar que T preserva o ângulo: T preserva a norma, logo preserva o produto interno, isto é, .
    • Assim .
    • No exercício anterior provamos que toda T linear é injetiva.
  • T preserva o ângulo. Mostrar que são iguais para
    • Seja .
    • Mas T preserva o ângulo, então .
    • . Tome . Logo
    • .

1-9[editar | editar código-fonte]

Resolução[editar | editar código-fonte]

1-10[editar | editar código-fonte]

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1-11[editar | editar código-fonte]

Resolução[editar | editar código-fonte]

1-12[editar | editar código-fonte]

Resolução[editar | editar código-fonte]

1-13[editar | editar código-fonte]

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