Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Cap2/Sec1

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Seja $f:I\mapsto \mathbb {R} ^{n}$ um caminho diferenciável. Se $a\in I\;$ é um ponto de acumulação do conjunto $f^{-1}(v)\;$, para algum $v\in \mathbb {R} ^{n}\;$, então $f'(a)=0\;$.

Prova

• A existência de $f'(a)\;$ se deve por $f\;$ ser um caminho diferenciável.
• $f^{-1}(v)=\{w\in I/f(w)=v\}$. Assim, dizer que a é um ponto de acumulação de $f^{-1}(v)\;$ significa que $\forall \;\epsilon >0,\exists \;w\in f^{-1}(v);0<|w-a|<\epsilon$.
• $\forall \;w\in I,\exists \;t=w-a\Rightarrow w=a+t,0<|a+t-a|=|t|<\epsilon \Rightarrow f(a+t)=v,0<|t|<\epsilon \;$.
  • Como $f(a)=v\;$ e $f'(a)=lim_{t\mapsto 0}{\frac {f(a+t)-f(a)}{t}}$ existe e $f(a+t)-f(a)=v-v=0\;$.
• Portanto $f'(a)=0\;$.

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Seja $f:I\mapsto \mathbb {R} ^{n}$ um caminho diferenciável com $f'(a)\not =0\;$ para algum $a\in I\;$. Se existem uma reta $L\subset \mathbb {R} ^{n}\;$ e uma sequência de números distintos $t_{k}\mapsto a$ tais que $f(t_{k})\in L\;$ então $L\;$ é a reta tangente a $f\;$ no ponto $f(a)\;$.

Prova

• Como $f\;$ é um caminho diferenciável então existe $f'(a),\forall \;a\in I$ e como $f'(a)\not =0\;$, existe uma reta $G=\{f(a)+tf'(a),t\in \mathbb {R} \}$.
• Devemos provar que $L=G\;$, isto é, que $f(a)\in L,f'(a)\;$ é o coeficiente angular da reta L.
  • Como $f\;$ é contínua então dado $\epsilon >0,\exists \;\delta >0;x\in (t_{k}),|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon$. Como $t_{k}\mapsto a,\exists \;k_{0}\in \mathbb {N} ;k>k_{0}\Rightarrow |t_{k}-a|<\delta$. Segue de $f\;$ ser contínua que $k>k_{0}\Rightarrow |f(t_{k})-f(a)|<\epsilon$. Logo $lim_{k\mapsto \infty }f(t_{k})=f(a)$.
  • Como $L\;$ é uma reta, todo ponto aderente pertencerá a ela. Contudo $f(t_{k})\in L\;$ e $lim_{k\mapsto \infty }f(t_{k})=f(a)\Rightarrow f(a)\in L$.
  • $f(a)\;$ é um ponto de acumulação da reta $L\;$, assim o coeficiente angular da reta $L\;$ é dada sobre $f(a)\;$, ou seja, $f'(a)\;$ é o coeficiente angular da reta $L\;$

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Seja $f:I\mapsto \mathbb {R} ^{n}$ um caminho diferenciável. Dados $a\in \mathbb {R} ^{n},r>0\;$, afim de que $f(t)\;$ pertença, para todo $t\in I\;$, à esfera de centro $a\;$ e raio $r\;$, é necessário e suficiente que isto ocorra para um valor $t_{0}\in I\;$ e que o vetor velocidade $f'(t)\;$ seja perpendicular a $f(t)-a,\forall \;t\in I$.

Prova que é necessário

Por hipótese temos que $f(t)\;$ pertence, para todo $t\in I\;$, à esfera de centro $a\;$ e raio $r\;$, queremos mostrar que isto ocorre para um valor $t_{0}\in I\;$ e que o vetor velocidade $f'(t)\;$ seja perpendicular a $f(t)-a,\forall \;t\in I$.

• Seja a Esfera de centro $a\;$ e raio $r\;$: $S(a;r)\;$.
  • Se $f(t)\in S(a,r),\forall t\in I$, logo $f(t_{0})\in S(a,r)$
• Para que o vetor velocidade $f'(t)\;$ seja perpendicular a $f(t)-a,\forall \;t\in I$, é necessário que $\left\langle f(t)-a,f'(t)\right\rangle =0,\forall \;t\in I$.
  • Temos que $||(f(t)-a)||=r,\forall \;t\in I$ é constante.
    • $||(f(t)-a)||^{2}=\left\langle (f(t)-a),(f(t)-a)\right\rangle =r^{2},\forall \;t\in I$. Mas ${\frac {d}{dt}}[\left\langle f(t),f(t)\right\rangle -2\left\langle f(t),a\right\rangle +\left\langle a,a\right\rangle ]=2\left\langle f(t),f'(t)\right\rangle -2\left\langle a,f'(t)\right\rangle =2\left\langle f(t)-a,f'(t)\right\rangle =0,\forall \;t\in I$.

Prova que é suficiente

• Por hipótese temos que $f(t_{0})\;$ pertença à esfera de centro $a\;$ e raio $r\;$.
  • Logo $||(f(t_{0})-a)||=r\;$.
• Por hipótese temos que o vetor velocidade $f'(t)\;$ seja perpendicular a $f(t)-a,\forall \;t\in I$
  • Logo $(f(t)-a)f'(t)=0,\forall \;t\in I$, onde $f'(t)={\frac {d}{dt}}(f(t)-a),\forall \;t\in I$

Devemos mostrar que $f(t)\in S(a;r),\forall \;t\in I$, isto é, $||f(t)-a||=r,\forall \;t\in I$.

• Pelo último resultado $(f(t)-a)f'(t)=0\Rightarrow (f(t)-a){\frac {d}{dt}}(f(t)-a)=0,\forall \;t\in I$.
  • Assim a primitiva é $(f(t)-a)(f(t)-a)=k\Rightarrow ||(f(t)-a)||=k,\forall \;t\in I$
  • Como $||(f(t_{0})-a)||=r\;$. Logo k = r e está provado!

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Seja $\lambda :[a,b]\mapsto \mathbb {R} ^{n}$ um caminho fechado diferenciável. Mostre que existe algum $t\in (a,b)\;$ tal que $\left\langle \lambda (t),\lambda '(t)\right\rangle =0$

• fechado aqui significa $\lambda (a)=\lambda (b)\;$ com $\lambda '(a)=\lambda '(b)\;$

Prova

• Como $\lambda :[a,b]\mapsto \mathbb {R} ^{n}$ é um caminho fechado diferenciável, então $\forall \;\epsilon >0,\exists \;\delta >0;t\in [a,b],\|t-t_{0}\|<\epsilon \Rightarrow \|\lambda (t)-\lambda (t_{0})\|<\delta$.
  • Fixemos $t_{0}\in [a,b],\epsilon =\max\{\|t-t_{0}\|;t\in [a,b]\}\Rightarrow \lambda (t)\in B(\lambda (t_{0});\delta ),\forall \;t\in [a,b]$.
• Seja $H=\{\lambda (t);t\in [a,b]\}$. O domínio de $\lambda \;$ é fechado e a função é contínua, logo pelo teorema de Weirstrass $\exists t_{1},t_{2}\in [a,b];\lambda (t_{1})\leq \lambda (t)\leq \lambda (t_{1}),\forall \;t\in [a,b]$.
• x
• x
• x
• $\|\lambda (t)-\lambda (t_{0})\|^{2}=\left\langle \lambda (t)-\lambda (t_{0}),\lambda (t)-\lambda (t_{0})\right\rangle =\left\langle \lambda (t),\lambda (t)\right\rangle -2\left\langle \lambda (t),\lambda (t_{0})\right\rangle +\left\langle \lambda (t_{0}),\lambda (t_{0})\right\rangle <\delta ^{2}$, derivando os dois últimos membros, teremos
  • $2\left\langle \lambda (t),\lambda '(t)\right\rangle -2\left\langle \lambda (t_{0}),\lambda '(t)\right\rangle =2\left\langle \lambda (t)-\lambda (t_{0}),\lambda '(t)\right\rangle <0$

$\mathbb {R} \Rightarrow \rightarrow \Leftarrow \Leftrightarrow \mapsto \setminus \left\langle \right\rangle \|\|\forall \in \subset {\bar {}}{1 \over 2}\cap \cup \;{\mbox{e}}$

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Seja $f:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}$ um caminho contínuo que possui em cada ponto de (a,b) um vetor velocidade à direita. Se $f'_{+}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}$ é contínuo, prove que f é de classe $C^{1}\;$.

Prova

• Para que f seja de classe $C^{1}\;$ Devemos mostrar que $f'\;$ é contínuo em (a,b). Para que $f'\;$ seja contínuo em (a,b), deve-se ter que $f'_{+}\;$ e $f'_{-}\;$ sejam contínuos em (a,b). Como $f'_{+}\;$ é contínuo em (a,b), então nos resta provar que $f'_{-}\;$ é contínuo em (a,b).
  • Seja $f'_{-}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}$ onde $\forall y\in (a,b),f'(y^{-})=\lim _{t\to 0^{-}}{f(y+t)-f(y) \over t}=\lim _{t\to 0^{-}}\left({f_{1}(y+t)-f_{1}(y) \over t},...,{f_{n}(y+t)-f_{n}(y) \over t}\right)\Rightarrow$ $\left(\lim _{t\to 0^{-}}{f_{1}(y+t)-f_{1}(y) \over t},...,\lim _{t\to 0^{-}}{f_{n}(y+t)-f_{n}(y) \over t}\right)=(f'_{1}(y^{-}),...,f'_{n}(y^{-}))$
  • Seja $f'_{+}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}$ onde $\forall y\in (a,b),f'(y+)=\lim _{t\to 0^{+}}{f(y+t)-f(y) \over t}=\lim _{t\to 0^{+}}\left({f_{1}(y+t)-f_{1}(y) \over t},...,{f_{n}(y+t)-f_{n}(y) \over t}\right)\Rightarrow$ $\left(\lim _{t\to 0^{+}}{f_{1}(y+t)-f_{1}(y) \over t},...,\lim _{t\to 0^{+}}{f_{n}(y+t)-f_{n}(y) \over t}\right)=(f'_{1}(y^{+}),...,f'_{n}(y^{+}))$
  • Por ser $f'_{+}\;$ contínuo em (a,b), logo $f'_{1^{+}},...,f'_{n^{+}}\;$ são contínuas em (a,b). $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$, tal que $y\in (a,b),\left\|y-x\right\|\leq \delta \Rightarrow \left\|f'_{i+}(y)-f'_{i+}(x)\right\|\leq \epsilon ,1\leq i\leq n$.

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Seja $G\subset \mathbb {R} ^{2}$ o gráfico da função $y=|x|\;$.

• Mostre que existe um caminho $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$, de classe $C^{\infty }$, tal que $f(\mathbb {R} )=G$ e $f(0)=(0,0)\;$.
• Prove que todo caminho diferenciável f nessas condições cumpre $f'(0)=0\;$

Prova

• Devemos mostrar que exist uma função f, nas condições acima.
  • Seja $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$, onde $g(x)=(x,|x|)={\begin{cases}(x,x),&{\mbox{se }}x\geq 0\\(x,-x),&{\mbox{se }}x<0\end{cases}},\forall x\in \mathbb {R}$.
  • Assim $g/\mathbb {R} _{+}=g_{1}:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{2}$, onde $g_{1}(x)=(x,x)\;$ e $g/\mathbb {R} _{-}^{*}=g_{2}:\mathbb {R} _{-}^{*}\to \mathbb {R} ^{2}$, onde $g_{2}(x)=(x,-x)\;$
  • Seja $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$, onde $f(t)=(t^{k+1},|t|t^{k})={\begin{cases}(t^{k+1},t^{k+1}),&{\mbox{se }}t\geq 0\\(t^{k+1},-t^{k+1}),&{\mbox{se }}t<0\end{cases}},\forall t\in \mathbb {R}$.
  • Então $f'(t)={d \over dt}(t^{k+1},|t|t^{k})={\begin{cases}((k+1)t^{k},(k+1)t^{k}),&{\mbox{se }}t\geq 0\\((k+1)t^{k},-(k+1)t^{k}),&{\mbox{se }}t<0\end{cases}},\forall t\in \mathbb {R}$ .
  • f é de classe $C^{\infty }\;$. $f(\mathbb {R} )=G$. $f(0)=(0,0)\;$.
  • Devemos mostrar que $f'(0)=0\;$.
  • $f'(0)=\lim _{t\to 0^{+}}{f(0+t)-f(0) \over t}=\lim _{t\to 0^{-}}{f(0+t)-f(0) \over t}\Rightarrow \lim _{t\to 0^{+}}{(t^{k+1},t^{k+1})-(0,0) \over t}=\lim _{t\to 0^{-}}{(t^{k+1},-t^{k+1})-(0,0) \over t}\Rightarrow$ $\lim _{t\to 0^{+}}(t^{k},t^{k})=\lim _{t\to 0^{-}}(t^{k},-t^{k})=(0,0)$