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Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Cap2/Sec1

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1[editar | editar código-fonte]

Seja um caminho diferenciável. Se é um ponto de acumulação do conjunto , para algum , então .

Prova[editar | editar código-fonte]

  • A existência de se deve por ser um caminho diferenciável.
  • . Assim, dizer que a é um ponto de acumulação de significa que .
  • .
    • Como e existe e .
  • Portanto .

2[editar | editar código-fonte]

Seja um caminho diferenciável com para algum . Se existem uma reta e uma sequência de números distintos tais que então é a reta tangente a no ponto .

Prova[editar | editar código-fonte]

  • Como é um caminho diferenciável então existe e como , existe uma reta .
  • Devemos provar que , isto é, que é o coeficiente angular da reta L.
    • Como é contínua então dado . Como . Segue de ser contínua que . Logo .
    • Como é uma reta, todo ponto aderente pertencerá a ela. Contudo e .
    • é um ponto de acumulação da reta , assim o coeficiente angular da reta é dada sobre , ou seja, é o coeficiente angular da reta

3[editar | editar código-fonte]

Seja um caminho diferenciável. Dados , afim de que pertença, para todo , à esfera de centro e raio , é necessário e suficiente que isto ocorra para um valor e que o vetor velocidade seja perpendicular a .

Prova que é necessário[editar | editar código-fonte]

Por hipótese temos que pertence, para todo , à esfera de centro e raio , queremos mostrar que isto ocorre para um valor e que o vetor velocidade seja perpendicular a .

  • Seja a Esfera de centro e raio : .
    • Se , logo
  • Para que o vetor velocidade seja perpendicular a , é necessário que .
    • Temos que é constante.
      • . Mas .

Prova que é suficiente[editar | editar código-fonte]

  • Por hipótese temos que pertença à esfera de centro e raio .
    • Logo .
  • Por hipótese temos que o vetor velocidade seja perpendicular a
    • Logo , onde

Devemos mostrar que , isto é, .

  • Pelo último resultado .
    • Assim a primitiva é
    • Como . Logo k = r e está provado!

4[editar | editar código-fonte]

Seja um caminho fechado diferenciável. Mostre que existe algum tal que

  • fechado aqui significa com

Prova[editar | editar código-fonte]

  • Como é um caminho fechado diferenciável, então .
    • Fixemos .
  • Seja . O domínio de é fechado e a função é contínua, logo pelo teorema de Weirstrass .
  • x
  • x
  • x
  • , derivando os dois últimos membros, teremos


14[editar | editar código-fonte]

Seja um caminho contínuo que possui em cada ponto de (a,b) um vetor velocidade à direita. Se é contínuo, prove que f é de classe .

Prova[editar | editar código-fonte]

  • Para que f seja de classe Devemos mostrar que é contínuo em (a,b). Para que seja contínuo em (a,b), deve-se ter que e sejam contínuos em (a,b). Como é contínuo em (a,b), então nos resta provar que é contínuo em (a,b).
    • Seja onde
    • Seja onde
    • Por ser contínuo em (a,b), logo são contínuas em (a,b). , tal que .

15[editar | editar código-fonte]

Seja o gráfico da função .

  • Mostre que existe um caminho , de classe , tal que e .
  • Prove que todo caminho diferenciável f nessas condições cumpre

Prova[editar | editar código-fonte]

  • Devemos mostrar que exist uma função f, nas condições acima.
    • Seja , onde .
    • Assim , onde e , onde
    • Seja , onde .
    • Então .
    • f é de classe . . .
    • Devemos mostrar que .

16[editar | editar código-fonte]

17[editar | editar código-fonte]