Seja
um caminho diferenciável. Se
é um ponto de acumulação do conjunto
, para algum
, então
.
- A existência de
se deve por
ser um caminho diferenciável.
. Assim, dizer que a é um ponto de acumulação de
significa que
.
.
- Como
e
existe e
.
- Portanto
.
Seja
um caminho diferenciável com
para algum
. Se existem uma reta
e uma sequência de números distintos
tais que
então
é a reta tangente a
no ponto
.
- Como
é um caminho diferenciável então existe
e como
, existe uma reta
.
- Devemos provar que
, isto é, que
é o coeficiente angular da reta L.
- Como
é contínua então dado
. Como
. Segue de
ser contínua que
. Logo
.
- Como
é uma reta, todo ponto aderente pertencerá a ela. Contudo
e
.
é um ponto de acumulação da reta
, assim o coeficiente angular da reta
é dada sobre
, ou seja,
é o coeficiente angular da reta ![{\displaystyle L\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eaa3f97b12fdbe439b649fe24b7d8e882ce85d5)
Seja
um caminho diferenciável. Dados
, afim de que
pertença, para todo
, à esfera de centro
e raio
, é necessário e suficiente que isto ocorra para um valor
e que o vetor velocidade
seja perpendicular a
.
Por hipótese temos que
pertence, para todo
, à esfera de centro
e raio
, queremos mostrar que isto ocorre para um valor
e que o vetor velocidade
seja perpendicular a
.
- Seja a Esfera de centro
e raio
:
.
- Se
, logo ![{\displaystyle f(t_{0})\in S(a,r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc66c64b5e114f3b338f83f01c7d32d370327a84)
- Para que o vetor velocidade
seja perpendicular a
, é necessário que
.
- Temos que
é constante.
. Mas
.
- Por hipótese temos que
pertença à esfera de centro
e raio
.
- Logo
.
- Por hipótese temos que o vetor velocidade
seja perpendicular a
- Logo
, onde ![{\displaystyle f'(t)={\frac {d}{dt}}(f(t)-a),\forall \;t\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e2f4b7108a220558d3576521e5ba68b8a71eee)
Devemos mostrar que
, isto é,
.
- Pelo último resultado
.
- Assim a primitiva é
![{\displaystyle (f(t)-a)(f(t)-a)=k\Rightarrow ||(f(t)-a)||=k,\forall \;t\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b60b09bf0b9150bdc038074e099bb67c610240)
- Como
. Logo k = r e está provado!
Seja
um caminho fechado diferenciável. Mostre que existe algum
tal que
- fechado aqui significa
com ![{\displaystyle \lambda '(a)=\lambda '(b)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c6c0dd0334653e67973f9f89608d2fb84d1840)
- Como
é um caminho fechado diferenciável, então
.
- Fixemos
.
- Seja
. O domínio de
é fechado e a função é contínua, logo pelo teorema de Weirstrass
.
- x
- x
- x
, derivando os dois últimos membros, teremos
![{\displaystyle 2\left\langle \lambda (t),\lambda '(t)\right\rangle -2\left\langle \lambda (t_{0}),\lambda '(t)\right\rangle =2\left\langle \lambda (t)-\lambda (t_{0}),\lambda '(t)\right\rangle <0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a3118f4f53f3b6d6e9ae5b9f93690c6020ad8e)
Seja
um caminho contínuo que possui em cada ponto de (a,b) um vetor velocidade à direita. Se
é contínuo, prove que f é de classe
.
- Para que f seja de classe
Devemos mostrar que
é contínuo em (a,b). Para que
seja contínuo em (a,b), deve-se ter que
e
sejam contínuos em (a,b). Como
é contínuo em (a,b), então nos resta provar que
é contínuo em (a,b).
- Seja
onde
![{\displaystyle \left(\lim _{t\to 0^{-}}{f_{1}(y+t)-f_{1}(y) \over t},...,\lim _{t\to 0^{-}}{f_{n}(y+t)-f_{n}(y) \over t}\right)=(f'_{1}(y^{-}),...,f'_{n}(y^{-}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d489fa54242d518ca0fca3199cdc9a9aa89a2635)
- Seja
onde
![{\displaystyle \left(\lim _{t\to 0^{+}}{f_{1}(y+t)-f_{1}(y) \over t},...,\lim _{t\to 0^{+}}{f_{n}(y+t)-f_{n}(y) \over t}\right)=(f'_{1}(y^{+}),...,f'_{n}(y^{+}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fbe97b7747334cc6708b3ad761b0f19a896d96c)
- Por ser
contínuo em (a,b), logo
são contínuas em (a,b).
, tal que
.
Seja
o gráfico da função
.
- Mostre que existe um caminho
, de classe
, tal que
e
.
- Prove que todo caminho diferenciável f nessas condições cumpre
![{\displaystyle f'(0)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03cf34bffe6ff955e115d960ddf4d0ce3968d6db)
- Devemos mostrar que exist uma função f, nas condições acima.
- Seja
, onde
.
- Assim
, onde
e
, onde ![{\displaystyle g_{2}(x)=(x,-x)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e20862626eb0fc02cbf06dbaafe572ae0c35e33)
- Seja
, onde
.
- Então
.
- f é de classe
.
.
.
- Devemos mostrar que
.
![{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}(t^{k},t^{k})=\lim _{t\to 0^{-}}(t^{k},-t^{k})=(0,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81c66f1f27f32068d93213d58aa455de4acc2d0)