Seja um caminho diferenciável. Se é um ponto de acumulação do conjunto , para algum , então .
- A existência de se deve por ser um caminho diferenciável.
- . Assim, dizer que a é um ponto de acumulação de significa que .
- .
- Como e existe e .
- Portanto .
Seja um caminho diferenciável com para algum . Se existem uma reta e uma sequência de números distintos tais que então é a reta tangente a no ponto .
- Como é um caminho diferenciável então existe e como , existe uma reta .
- Devemos provar que , isto é, que é o coeficiente angular da reta L.
- Como é contínua então dado . Como . Segue de ser contínua que . Logo .
- Como é uma reta, todo ponto aderente pertencerá a ela. Contudo e .
- é um ponto de acumulação da reta , assim o coeficiente angular da reta é dada sobre , ou seja, é o coeficiente angular da reta
Seja um caminho diferenciável. Dados , afim de que pertença, para todo , à esfera de centro e raio , é necessário e suficiente que isto ocorra para um valor e que o vetor velocidade seja perpendicular a .
Por hipótese temos que pertence, para todo , à esfera de centro e raio , queremos mostrar que isto ocorre para um valor e que o vetor velocidade seja perpendicular a .
- Seja a Esfera de centro e raio : .
- Se , logo
- Para que o vetor velocidade seja perpendicular a , é necessário que .
- Temos que é constante.
- . Mas .
- Por hipótese temos que pertença à esfera de centro e raio .
- Logo .
- Por hipótese temos que o vetor velocidade seja perpendicular a
- Logo , onde
Devemos mostrar que , isto é, .
- Pelo último resultado .
- Assim a primitiva é
- Como . Logo k = r e está provado!
Seja um caminho fechado diferenciável. Mostre que existe algum tal que
- fechado aqui significa com
- Como é um caminho fechado diferenciável, então .
- Fixemos .
- Seja . O domínio de é fechado e a função é contínua, logo pelo teorema de Weirstrass .
- x
- x
- x
- , derivando os dois últimos membros, teremos
Seja um caminho contínuo que possui em cada ponto de (a,b) um vetor velocidade à direita. Se é contínuo, prove que f é de classe .
- Para que f seja de classe Devemos mostrar que é contínuo em (a,b). Para que seja contínuo em (a,b), deve-se ter que e sejam contínuos em (a,b). Como é contínuo em (a,b), então nos resta provar que é contínuo em (a,b).
- Seja onde
- Seja onde
- Por ser contínuo em (a,b), logo são contínuas em (a,b). , tal que .
Seja o gráfico da função .
- Mostre que existe um caminho , de classe , tal que e .
- Prove que todo caminho diferenciável f nessas condições cumpre
- Devemos mostrar que exist uma função f, nas condições acima.
- Seja , onde .
- Assim , onde e , onde
- Seja , onde .
- Então .
- f é de classe . . .
- Devemos mostrar que .
-