Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Cap1/Sec2

2.1

$\forall \;f\in L(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )=(\mathbb {R} ^{n})^{*},\exists !\;y\in \mathbb {R} ^{n}$ tal que $f(x)=\langle y,x\rangle ,\forall x\in \mathbb {R} ^{n}$.

Resolução

• Tome $f\in (\mathbb {R} ^{n})^{*}$ um funcional linear arbitrário. Sabemos que de $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ têm-se que $\exists A_{n\times 1}\in M(n\times 1)$ tal que $f(x)=Ax=(A_{11}A_{12}...A_{1n})\cdot (x_{1}x_{2}...x_{n})^{t}=A_{11}x_{1}+A_{12}x_{2}+...+A_{1n}x_{n}=\langle A,x\rangle$; Definimos $A_{1i}=y_{i}$, assim A=y e portanto $\forall f\in (\mathbb {R} ^{n})^{*},f(x)=\langle A,x\rangle =\langle y,x\rangle ,\forall x\in \mathbb {R} ^{n}$.

2.2

Um conjunto $\{u_{1},u_{2},...,u_{r}\}\subset \mathbb {R} ^{n}$ diz-se ortonormal quando $\langle u_{j},u_{j}\rangle =1\;e\;\langle u_{i},u_{j}\rangle =0,\;para\;i\not =j$ quaisquer. Todo conjunto ortonormal é parte de um base ortonormal. Se $\{u_{1},...,u_{n}\}\;$ é uma base ortonormal então $x=\sum _{i=1}^{n}\langle x,u_{i}\rangle u_{i},\forall x\in \mathbb {R} ^{n}$.

Resolução

• Seja $S_{k}\subset W$, um conjunto ortonormal contido num espaço vetorial. Devemos mostrar que $S_{k}\subset \beta _{W}$, onde $\beta _{W}\;$ é uma base de W.
• Seja $S_{k}=\{u_{1},u_{2},...,u_{k}\},\beta _{W}=\{u_{1},u_{2},...,u_{k-1},u_{k},u_{k+1},...,u_{n}\}\;$, onde n = dim W. Desses dois conjuntos vemos claramente o que queremos, onde os vetores que faltam a $S_{k}\;$, podem ser determinados pelo processo de Gram-Schimidt.
• Tomando K = {o conjunto das combinações lineares dos elementos de $S_{k}\;$ } = $\{u/u=\langle S_{k},x\rangle ,\forall x\in \mathbb {R} ^{k}\}$. Como $S_{k}\subset W$. Logo K é subespaço de W.
• Seja $v\in K\Rightarrow v=\langle S_{k},y\rangle \Rightarrow \langle v,u_{l}\rangle ,onde\;1\leq l\leq k\Rightarrow \sum _{i=1}^{k}\langle y_{i}u_{i},u_{l}\rangle \Rightarrow \sum _{i=1}^{k}y_{i}\langle u_{i},u_{l}\rangle =c_{j}$.
• Quando v = 0, $c_{j}=0\;$, isso implica que $S_{k}\;$ é linearmente independente.
• Tome $w\in W\Rightarrow w=w_{1}u_{1}+...+w_{n}u_{n},$ onde $w_{1},...,w_{n}\;$ são as coordenadas de w em relação à base $\beta _{W}\;$.
• $\langle w,u_{i}\rangle =\langle w_{1}u_{1}+...+w_{n}u_{n},u_{i}\rangle =\langle w_{1}u_{1},u_{i}\rangle +...+\langle w_{n}u_{n},u_{i}\rangle =w_{1}\langle u_{1},u_{i}\rangle +...+w_{n}\langle u_{n},u_{i}\rangle =w_{i}$. Logo $w=w_{1}u_{1}+...+w_{n}u_{n}=\langle w,u_{1}\rangle u_{1}+...+\langle w,u_{n}\rangle u_{n},\forall w\in \mathbb {R} ^{n}$

2.3

Considere em $\mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} ^{n}$ a norma euclidiana. Dada uma aplicação linear $A:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$, existe uma única aplicação linear $A^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$, chamada a adjunta de A, tal que $\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,\forall x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$. Dado $b\in \mathbb {R} ^{n}$, a equação $Ax=b\;$, possui solução $x\in \mathbb {R} ^{m}$ se, e somente se, b é ortogonal a todo elemento do núcleo de $A^{*}\;$. Conclua que a imagem de $A^{*}\;$ e a imagem de A têm a mesma dimensão.

Resolução

• Vamos verificar que $\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle$.
  • Seja $y\in \mathbb {R} ^{n}$ e $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$. Então $f(x)=\langle Ax,y\rangle ,\forall x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$ é um funcional linear sobre $\mathbb {R} ^{m}$. Pelo exercício 2.1 acima $\exists !\;z\in \mathbb {R} ^{m}$ tal que $f(x)=\langle x,z\rangle \Rightarrow \langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle ,\forall x\in \mathbb {R} ^{m}$. Indiquemos $A^{*}(y)=z\;$, assim temos que $\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle$.
• Vamos verificar que $A^{*}\;$ é linear:
  • $\langle x,A^{*}(ca+b)\rangle =\langle Ax,(ca+b)\rangle =\langle Ax,ca\rangle +\langle Ax,b\rangle =c\langle Ax,a\rangle +\langle Ax,b\rangle =c\langle x,A^{*}a\rangle +\langle x,A^{*}b\rangle =\langle x,cA^{*}a\rangle +\langle x,A^{*}b\rangle =$ $=\langle x,cA^{*}a+A^{*}b\rangle$
• unicidade de $A^{*}\;$.
  • Para $y\in \mathbb {R} ^{n}$ arbitrário, o vetor $z=A^{*}y\in \mathbb {R} ^{m}$ é determinado de modo único como sendo o vetor z tal que $\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,\forall x\in \mathbb {R} ^{n}$
• Dado $b\in \mathbb {R} ^{n}$, a equação $Ax=b\;$, possui solução $x\in \mathbb {R} ^{m}\Rightarrow$ b é ortogonal a todo elemento do núcleo de $A^{*}\;$.
  • Tome $Ax=b\in \mathbb {R} ^{n}$, onde $\langle b,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle$. Tome $y\in \mathbb {R} ^{n}$ tal $A^{*}y=0\Rightarrow \langle b,y\rangle =\langle x,0\rangle =0\Rightarrow b\perp y,y\in Ker(A^{*})$
• Dado b é ortogonal a todo elemento do núcleo de $A^{*}\Rightarrow b\in \mathbb {R} ^{n}$, a equação $Ax=b\;$, possui solução $x\in \mathbb {R} ^{m}$.
  • Tome $b,y\in \mathbb {R} ^{n};b\perp y,y\in Ker(A^{*})\Rightarrow \langle b,y\rangle =0=\langle x,0\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle =\langle Ax,y\rangle \Rightarrow Ax=b$
• A imagem de $A^{*}\;$ e a imagem de A têm a mesma dimensão.
  • Como b é ortogonal aos vetores $y\in Ker(A^{*})$ logo $b\in Im(A^{*})$, mas $b=Ax,b\in Im(A)$, portanto $dim(Im(A^{*}))=dim(Im(A))\;$