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Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Cap1/Sec1

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Mostre que as operações usuais de soma de aplicações e produto de uma aplicação por um número real fazem do conjunto um espaço vetorial. Analogamente para o conjunto . Mostre que as bijeções estabelecidas no texto entre esses conjuntos e são isomorfismos entre espaços vetoriais. Exiba explicitamente bases para os espaços .

  • Mostrar que é um espaço vetorial.
    • Para isso tome , isto é, aplicações lineares, ou seja, .
    • , Logo A+B é uma aplicação linear.
    • , onde a adição é comutativa.
    • , onde a adição é associativa.
    • . A aplicação nula ( 0(x) ) é o elemento neutro da adição.
    • . Toda aplicação linear têm uma aplicação inversa aditiva.
    • . Logo kA é um aplicação linear.
    • . Logo .
    • .
    • .
    • .
  • Mostrar que é um espaço vetorial.
    • Para isso tome , onde .
    • , onde a adição é comutativa.
    • , , onde a adição é associativa.
    • . A matriz nula () é o elemento neutro da adição.
    • . Toda matriz têm uma matriz inversa aditiva.
    • . Logo .
    • .
    • .
    • .
  • Mostre que as bijeções estabelecidas no texto entre esses conjuntos e são isomorfismos entre espaços vetoriais.
    • Tome , onde , onde
    • injetiva
    • sobrejetiva
    • linear
  • Exiba explicitamente bases para os espaços .
    • Base de é
    • Base de é

Seja o conjunto das aplicações bilineares . Mostre que as operações usuais fazem de E um espaço vetorial de dimensão mnp.

  • Mostrar que é um espaço vetorial.
    • Para isso tome , isto é, aplicações bilineares, ou seja, .
    • , Logo A+B é uma aplicação linear.
    • , onde a adição é comutativa.
    • , onde a adição é associativa.
    • . A aplicação nula ( 0(x) ) é o elemento neutro da adição.
    • . Toda aplicação linear têm uma aplicação inversa aditiva.
    • . Logo kA é um aplicação linear.
    • . Logo .
    • .
    • .
    • .