Topologia/Sequências

Base-de-filtro

Num conjunto X, diz-se que um conjunto B de partes de X é uma base-de-filtro se, e somente se:

1) Ø ∉ B;

2) Para α, β ∈ B, existe γ ∈ B tal que γ ⊆ α ∩ β.

Aderência e convergência

Dados dois conjuntos X, com um conjunto A de partes X, e Y, com um conjunto de B de partes de Y, dada uma função f: X → Y, pode-se perguntar se, dado α ∈ A, f(α) tem alguma relação com os elementos de B ou se, dado β ∈ B, f⁻¹(β) tem alguma relação com os elementos de A. Considere-se os casos:

1) Diz-se que f é A,B-mensurável sse, para todos os β ∈ B, f⁻¹(β) é um elemento de A.

2) Diz-se que f é A,B-aderente sse, para todos os β ∈ B e α ∈ A, vem que f(α) intersecta β.

3) Diz-se que f é A,B-convergente sse, para todos os β ∈ B, existe α ∈ A tal que f(α) ⊆ β.

4) É evidente que, se A, B são bases-de-filtro, vem que f ser A,B-convergente implica f ser A,B-aderente.

Composição de funções aderentes e convergentes

Sejam X, A; Y, B e Z, C conjuntos com bases-de-filtro respectivas e f: X → Y e g: Y → Z funções. Então:

1) Se f é aderente e g convergente, então g ○ f é aderente.

2) Se f é convergente e g convergente, então g ○ f é convergente.

Carácter local da aderência e da convergência

Sejam X, A e Y, B conjuntos com bases-de-filtro. Sejam Z ∈ A e C = {Z ∩ α : α ∈ A}, que é uma base-de-filtro em Z. Sejam f: X → Y e g: Y → Z funções. Então:

1) f é A,B-aderente (resp. convergente) sse f│Z é C,B-aderente (resp. convergente).

2) g: Y → X é B,A-aderente (resp. convergente) sse g: Y → Z é B,C-aderente (resp. convergente).

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