Topologia/Sequências

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Base-de-filtro[editar | editar código-fonte]

Num conjunto X, diz-se que um conjunto B de partes de X é uma base-de-filtro se, e somente se:

1) Ø ∉ B;

2) Para α, βB, existe γB tal que γα ∩ β.

Aderência e convergência[editar | editar código-fonte]

Dados dois conjuntos X, com um conjunto A de partes X, e Y, com um conjunto de B de partes de Y, dada uma função f: XY, pode-se perguntar se, dado αA, f(α) tem alguma relação com os elementos de B ou se, dado βB, f−1(β) tem alguma relação com os elementos de A. Considere-se os casos:

1) Diz-se que f é A,B-mensurável sse, para todos os βB, f−1(β) é um elemento de A.

2) Diz-se que f é A,B-aderente sse, para todos os βB e αA, vem que f(α) intersecta β.

3) Diz-se que f é A,B-convergente sse, para todos os βB, existe αA tal que f(α) ⊆ β.

4) É evidente que, se A, B são bases-de-filtro, vem que f ser A,B-convergente implica f ser A,B-aderente.

Composição de funções aderentes e convergentes[editar | editar código-fonte]

Sejam X, A; Y, B e Z, C conjuntos com bases-de-filtro respectivas e f: XY e g: YZ funções. Então:

1) Se f é aderente e g convergente, então gf é aderente.

2) Se f é convergente e g convergente, então gf é convergente.

Carácter local da aderência e da convergência[editar | editar código-fonte]

Sejam X, A e Y, B conjuntos com bases-de-filtro. Sejam ZA e C = {Z ∩ α : αA}, que é uma base-de-filtro em Z. Sejam f: XY e g: YZ funções. Então:

1) f é A,B-aderente (resp. convergente) sse fZ é C,B-aderente (resp. convergente).

2) g: YX é B,A-aderente (resp. convergente) sse g: YZ é B,C-aderente (resp. convergente).


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