Topologia/Pontos em conjuntos
Interior, exterior, fronteira e fecho
[editar | editar código-fonte]Sejam X espaço topológico, A parte de X e x ∈ X. Então:
1) Diz-se que x é interior a A sse A é vizinhança de x.
2) Diz-se que x é exterior a A sse X − A é vizinhança de x.
3) Diz-se que x é fronteiro a A sse x não é interior a A e x não é exterior a A sse qualquer vizinhança de x tem pontos de A e pontos exteriores a A.
4) Diz-se que x é aderente a A sse x é interior a A ou x é fronteiro a A sse qualquer vizinhança de x intersecta A.
5) Ao conjunto de todos os pontos interiores (resp. exteriores, fronteiros, aderentes) a A chama-se o interior (resp. exterior, fronteira, fecho) de A e denota-se int A (resp. ext A, front A, fecho A).
6) int A, ext A, front A constituem uma partição de X.
7) int A, ext A são abertos e front A, fecho A são fechados.
8) int A é o maior aberto contido em A e fecho A é o menor fechado que contém A.
9) int A = ext(X − A), ext A = int(X − A), front A = front(X − A), fecho A = X − ext A = front A ∪ int A = front A ∪ A, front A = fecho A ∩ fecho(X − A).
10) int int A = int A, ext ext A = int A, front int A = front ext A = front A, fecho int A = fecho A.
Proposição
[editar | editar código-fonte]Num espaço topológico X:
1) A é aberto sse A é vizinhança de todos os seus pontos sse A = int A.
2) A é fechado sse A = fecho A.
3) int(A ∩ B) = int A ∩ int B.
4) int ∩i Ai ⊆ ∩i int Ai.
5) ext(A ∪ B) = ext A ∩ ext B.
6) ext ∪i Ai ⊆ ∩i ext Ai.
7) fecho(A ∪ B) = fecho A ∪ fecho B.
8) fecho(A ∩ B) ⊆ fecho A ∩ fecho B.
9) fecho ∪i Ai ⊇ ∪i fecho Ai.
10) Sendo A aberto, vem que A ∩ B = Ø sse A ∩ fecho B = Ø.
Ponto de acumulação, ponto isolado, conjunto perfeito e conjunto puro
[editar | editar código-fonte]Sejam X espaço topológico, A parte de X e x ∈ X. Então:
1) Diz-se que x é ponto isolado de A sse, para alguma V vizinhança pontuada de x, V não intersecta A.
2) Diz-se que x é ponto de acumulação de A sse x não é ponto isolado de A sse x ∈ fecho(A − {x}).
3) O conjunto dos pontos isolados (resp. de acumulação) de A denota-se isol A (resp. acum A).
4) Note-se que pode haver pontos isolados de A que pertençam a A, assim como pode haver pontos de acumulação de A que não pertençam a A.
5) acum A ⊆ fecho A.
6) A é fechado sse acum A ⊆ A.
7) Diz-se que A é perfeito sse A = acum A.
8) Diz-se que A é puro sse A = A ∩ isol A sse a sub-topologia em A é a topologia discreta.
9) Se A é perfeito, então A é fechado.
10) Num espaço de Hausdorff, um conjunto finito é puro.
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