Topologia/Espaços métricos

Origem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto.
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa

Espaços métricos[editar | editar código-fonte]

Seja M um conjunto não-vazio e uma função. Dizemos que é um espaço métrico se, para todo , a função d satisfizer as seguintes propriedades:

  • M1: ;
  • M2: , simetria;
  • M3: ;
  • M4: , desigualdade trigonométrica.

Define-se, num espaço métrico M, a bola aberta de centro em x e raio .

Estrutura de espaço topológico[editar | editar código-fonte]

Pode-se provar que o conjunto é uma topologia sobre M. De fato, temos, por vacuidade, e, para quaisquer , , donde . Sejam e . Então existem tais que e . Escolhemos . Vemos que e , logo e . Seja uma família em T. Se , então, para algum μ, , donde existe um tal que . Logo . Isto completa a demonstração de que T é uma topologia sobre M.