Probabilidade e Estatística/Fundamentos de probabilidade

Fenômenos aleatórios

Vamos agora descrever o tipo de fenômeno que será examinado neste livro. Inicialmente, chamaremos de experimento (experiência) qualquer procedimento que pode ser ensaiado repetidas vezes, de maneira que, a cada novo ensaio, as condições de execução se mantenham inalteradas. Um experimento é aleatório se seus resultados puderem variar a cada ensaio, mesmo que as condições sejam as mesmas. Tais fenômenos precisam de um modelo matemático diferente para seu estudo. São o que chamaremos de modelos não-determinísticos ou probabilísticos.

Lançamento de dados: um exemplo de experimento aleatório.

Podemos tomar como exemplo uma situação em que deseja-se medir a quantidade de chuva que cai em uma determinada localidade. Por mais que as observações meteorológicas tornem possível prever a natureza da tempestade, não é possível dizer exatamente quanta chuva irá cair. Um outro exemplo seria o de um laboratório que deseja testar o tempo de reação a certo medicamento e, para tanto, ministra este medicamento em vários pacientes, sob as mesmas condições. Não se pode prever o tempo que cada um dos pacientes levará para reagir ao medicamento. Um terceiro exemplo que podemos tomar é o lançamento de um dado não viciado, sempre sob as mesmas condições. Não é possível afirmar com exatidão qual será a face observada a cada novo lançamento.

A partir destes exemplos, podemos perceber que, em fenômenos aleatórios, as condições sob as quais um experimento é executado não determinam com precisão o resultado que será obtido do experimento.

Espaços amostrais

Chamamos de espaço amostral o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Denotamos o espaço amostral por ${\mathcal {S}}\!\;$. Por exemplo, no lançamento de um dado não viciado, temos como espaço amostral os números 1,2,3,4,5 e 6, que podemos denotar como ${\mathcal {S}}=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$. No exemplo do tempo de reação dos pacientes ao medicamento, temos ${\mathcal {S}}=\left(0,+\infty \right)$. Além disso, podemos dar mais alguns exemplos:

• Se, em 3 lançamentos de uma moeda, queremos observar o número de coroas obtido, temos: ${\mathcal {S}}=\left\{0,1,2,3\right\}$.

• Um elemento radioativo emite partículas alfa. Queremos saber quantas partículas são emitidas em um certo intervalo de tempo. Logo, temos como espaço amostral todos os números naturais maiores que zero, ou seja, ${\mathcal {S}}=\mathbb {N} _{0}$.

• Um gene A, dominante, determina visão normal nos indivíduos. Um gene a, recessivo, determina miopia. Dois indivíduos normais, ambos com o gene a da miopia, cruzam entre si. As possíveis combinações de genes para seus filhos determinam um espaço amostral, a saber: ${\mathcal {S}}=\left\{\mathrm {AA,Aa,aa} \right\}$.

• Uma urna contém bolas azuis e vermelhas. Dela retira-se apenas uma bola, e observa-se sua cor. Temos ${\mathcal {S}}=\left\{\mathrm {bola\ azul} ,\mathrm {bola\ vermelha} \right\}$.

• Uma fábrica produz um determinado tipo de lâmpada. Deseja-se saber o tempo de vida útil desta, e ela é colocada em um ensaio em que determina-se seu tempo $t\!\;$ de duração. Temos ${\mathcal {S}}=\left\{t\in \mathbb {R} |t\geq 0\right\}$.

Na hora de descrever um espaço amostral, é preciso sempre ter uma idéia clara do que está sendo observado. O resultado do experimento nem sempre é um número, como pôde ser visto nos exemplos. No entanto, é importante observar o número de resultados em um espaço amostral. Ele pode ser considerado finito, infinito numerável ou infinito não-numerável. O exemplo do último tópico dado acima é infinito não-numerável; os demais são exemplos de espaços amostrais finitos.

Acontecimentos aleatórios

Sendo ${\mathcal {S}}\!\;$ um espaço amostral para um determinado experimento aleatório, chamamos de evento qualquer um dos subconjuntos de ${\mathcal {S}}\!\;$, ou seja, um evento é um conjunto de resultados possíveis. Um resultado individual do experimento também pode ser considerado um evento. Denotaremos um evento por ${\mathcal {A}}\!\;$. Para cada um dos exemplos anteriores, podemos atribuir um evento:

• No lançamento de um dado não-viciado, um número ímpar ocorre, ou seja: ${\mathcal {A}}=\left\{1,3,5\right\}$.

• O tempo de reação dos pacientes ao medicamento pode encontrar-se no intervalo ${\mathcal {A}}=\left(2,1;5,3\right)$, em horas.

• Em 3 lançamentos de uma moeda, observamos 1 coroa, ou seja, ${\mathcal {A}}=\left\{1\right\}$.

• O elemento radioativo emitiu 5 mil partículas alfa, ou seja, ${\mathcal {A}}=\left\{5000\right\}$.

• Obtemos uma combinação de genes em que o casal tem um filho normal, ou seja, ${\mathcal {A}}=\left\{\mathrm {AA,Aa} \right\}$.

• Retiramos uma bola vermelha da urna, ou seja, ${\mathcal {A}}=\left\{\mathrm {bola\ vermelha} \right\}$.

• A vida útil da lâmpada é inferior a 40 horas, ou seja, ${\mathcal {A}}=\left\{t\in \mathbb {R} |t<40\right\}$.

Vale ressaltar que um evento pode não referir-se somente a uma possibilidade dentro do espaço amostral. Um evento pode reunir várias possibilidades dentro de um mesmo espaço amostral, como foi mostrado nos exemplos acima. Se o espaço amostral for finito ou infinito numerável, qualquer subconjunto deste pode ser tomado como evento. Quando tratamos de espaços amostrais infinitos não-numeráveis, verificamos que nem todo subconjunto deste pode ser considerado evento. No entanto, não trataremos deles deste livro.

Uma noção de conjuntos

Uma vez que podemos interpretar os eventos de um espaço amostral como conjuntos, precisamos desenvolver algumas noções básicas de Teoria dos Conjuntos.

Vamos definir algumas relações entre conjuntos. Seja um espaço amostral ${\mathcal {S}}\!\;$. Chamemos $A\!\;$ e $B\!\;$ dois eventos de ${\mathcal {S}}\!\;$.

• ${\mathcal {S}}\!\;$ é o evento "algo ocorre".

• $\varnothing$ pode ser entendido como o evento "nada ocorre".

• $A\cup B\!\;$ deve ser entendido como "ao menos um dos eventos $A\!\;$ ou $B\!\;$ ocorre", ou $\left\{x\in {\mathcal {S}}:x\in A\ \mathrm {ou} \ x\in B\right\}$.

• $A\cap B\!\;$ deve ser entendido como "ambos os eventos $A\!\;$ e $B\!\;$ ocorrem", ou $\left\{x\in {\mathcal {S}}:x\in A\ \mathrm {e} \ x\in B\right\}$.

• $A\subset B\!\;$ deve ser entendido como "se $A\!\;$ ocorre, então $B\!\;$ ocorre", ou seja, $\forall x\in A$, $x\in B$.

• $A^{c}\!\;$ significa que "o evento $A\!\;$ não ocorre", ou $\left\{x\in {\mathcal {S}}:x\not \in A\right\}$.

• $A=B\!\;$ é interpretado como "o evento $A\!\;$ ocorre se, e somente se, $B\!\;$ ocorre", ou seja, $A\subset B\!\;$ e $B\subset A\!\;$.

• Os eventos $A\!\;$ e $B\!\;$ são chamados de disjuntos quando $A\cap B=\varnothing \!\;$, e podem ser interpretados como "se $A\!\;$ ocorre, $B\!\;$ não ocorre" e "se $B\!\;$ ocorre, $A\!\;$ não ocorre".

• $A\cap B^{c}\!\;$ é entendido como "o evento $A\!\;$ ocorre, mas $B\!\;$ não ocorre, ou $\left\{x\in {\mathcal {S}}:x\in A\ \mathrm {e} \ x\not \in B\right\}$.

Além destes conceitos de relação, faz-se necessário expor propriedades e operações entre conjuntos. Segue abaixo uma lista com algumas destas propriedades:

• $A\cup B=B\cup A\!\;$, $A\cap B=B\cap A\!\;$
• $A\cup \varnothing =A$, $A\cap \varnothing =\varnothing \!\;$
• $A\subset B\iff A\cup B=B$
• $\varnothing ^{c}={\mathcal {S}}$, ${\mathcal {S}}^{c}=\varnothing$
• $A\cup A^{c}={\mathcal {S}}$, $A\cap A^{c}=\varnothing$, $\left(A^{c}\right)^{c}=A$
• $A\cup \left(B\cup C\right)=\left(A\cup B\right)\cup C\!\;$, $A\cap \left(B\cap C\right)=\left(A\cap B\right)\cap C\!\;$
• $A\cup \left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)\!\;$, $A\cap \left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)\!\;$
• $\left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$, $\left(A\cap B\right)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$

• $A\cup \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)$ $=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\left(A\cup A_{n}\right)$, $A\cap \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)$$=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left(A\cap A_{n}\right)$

• $\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)^{c}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}^{c}$, $\left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)^{c}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}^{c}$.

Consideremos agora um algum experimento aleatório e seu espaço amostral ${\mathcal {S}}\!\;$. Pode acontecer que nem todos os eventos de ${\mathcal {S}}\!\;$ sejam tratáveis pela probabilidade, dependendo de sua natureza. No entanto, trabalharemos apenas com eventos razoáveis para calcular suas probabilidades de ocorrência.

Vamos denotar por $\Psi \!\;$ uma classe formada por todos os eventos de ${\mathcal {S}}\!\;$ cujas probabilidades são possíveis de serem calculadas. Para tanto, valem as propriedades que se seguem:

• ${\mathcal {S}}\in \Psi \!\;$.

Ou seja, é possível calcular a probabilidade do espaço amostral.

• $\forall A,B\in \Psi \Rightarrow A\cap B^{c}\!\;$.

Esta propriedade nos diz que, se é possível calcular as probabilidades de dois eventos $A\!\;$ e $B\!\;$, certamente poderemos calcular também a probabilidade de que $A\!\;$ ocorra e $B\!\;$ não ocorra, ou vice-versa.

• Se $A_{1},A_{2},A_{3},...\in \Psi$ temos $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in \Psi$ e $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in \Psi$.

Se é possível calcular a probabilidade de ocorrência de uma sequência de eventos, podemos determinar a probabilidade de que ao menos um destes eventos ocorra, da mesma forma que podemos também calcular a probabilidade de que todos eles ocorram.

• $\varnothing \in \Psi$.

ou seja, é possível calcular a probabilidade de que nada ocorra.

Probabilidade de um evento

Tomemos um espaço amostral ${\mathcal {S}}\!\;$ como o universo de possibilidades associado a um fenômeno aleatório. Seja $A\!\;$ um evento de ${\mathcal {S}}\!\;$. Intuitivamente, podemos interpretar a probabilidade de que $A\!\;$ ocorra como o "peso relativo" de $A\!\;$ em relação a ${\mathcal {S}}\!\;$.

Dessa forma, podemos pensar na probabilidade como grau de chance de ocorrência de $A\!\;$. Denotaremos a probabilidade de $A\!\;$ ocorrer por $P\left(A\right)\!\;$.

O "peso relativo" que $A\!\;$ representa em ${\mathcal {S}}\!\;$ não pode ser negativo nem deve ser maior que o "peso" de ${\mathcal {S}}\!\;$, ou seja $0\leq P\left(A\right)\leq P\left(S\right)$. O "peso" de ${\mathcal {S}}\!\;$ em relação a seu próprio "peso" é 1, isto é, $P\left(S\right)=1\!\;$.

Seja um evento $B\!\;$. Se $A\!\;$ e $B\!\;$ são disjuntos, para encontrarmos $P\left(A\cup B\right)$ somamos os pesos individuais, de modo que $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)\!\;$.

Frequência relativa

A idéia de frequência relativa pode nos ajudar a compreender melhor como funciona a probabilidade. Sendo ${\mathcal {A}}\!\;$ e ${\mathcal {B}}\!\;$ dois eventos associados a um experimento, ensaiamos ${\mathit {n}}\!\;$ vezes tal experimento. Denotemos por ${\mathit {n}}_{A}\!\;$ o número de vezes que o evento ${\mathcal {A}}\!\;$ ocorre, e chamemos de ${\mathit {n}}_{B}\!\;$ o número de vezes que o evento ${\mathcal {B}}\!\;$ ocorre nas ${\mathit {n}}\!\;$ repetições. A frequência relativa do evento ${\mathcal {A}}\!\;$ é dada por ${\mathit {f}}_{A}={\frac {{\mathit {n}}_{A}}{\mathit {n}}}$.

A frequência relativa apresenta propriedades semelhantes às que veremos adiante para probabilidades:

• $0\leq {\mathit {f}}_{A}\leq 1\!\;$;
• ${\mathit {f}}_{A}=1\!\;$ se ${\mathcal {A}}\!\;$ ocorre em todas as ${\mathit {n}}\!\;$ repetições;
• ${\mathit {f}}_{A}=0\!\;$ se ${\mathcal {A}}\!\;$ não ocorre em nenhuma das ${\mathit {n}}\!\;$ repetições;
• Se considerarmos ${\mathit {f}}_{A}\!\;$ uma função de ${\mathit {n}}\!\;$, verificamos que "converge" para $P\left({\mathcal {A}}\right)\!\;$ quando fazemos ${\mathit {n}}\to \infty$.

A última propriedade será tornada mais precisa adiante, quando tratarmos da Lei dos grandes números. Entretanto, não é difícil compreender intuitivamente que a frequência relativa de um evento vai se estabilizando e varia cada vez menos à medida que aumentamos o número de ensaios. Esta característica é chamada de regularidade estatística.

A frequência relativa pode nos fornecer um número bastante preciso para sabermos a chance de ocorrência de um evento ${\mathcal {A}}\!\;$. À medida que aumentamos o número de ensaios daquele experimento, sabemos que ele se estabilizará próximo de um número, a probabilidade do evento ${\mathcal {A}}\!\;$ ocorrer. Contudo, não está claro o quão grande deve ser ${\mathit {n}}\!\;$ para que possamos obter a precisão desejada. Verificar a estabilização da frequência relativa exige muito tempo e paciência, e nós precisamos de um meio de obter a probabilidade sem utilizar experimentação.

Definição

Finalmente, temos condições de definir com mais rigor o que é uma probabilidade. Seja ${\mathcal {S}}\!\;$ um espaço amostral associado a um determinado experimento aleatório. Seja $\Psi \!\;$ uma classe de eventos de ${\mathcal {S}}\!\;$. A probabilidade $P\!\;$ é uma função $f:\Psi \to \mathbb {R} \!\;$ tal que:

• $\forall A\in \Psi$ temos $0\leq P\left(A\right)\leq 1\!\;$
• $P\left(S\right)=1\!\;$
• $\forall A,B$ disjuntos temos $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)\!\;$
• $\forall A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{n},...\in \Psi$ disjuntos dois a dois, temos $P\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }P\left(A_{n}\right)$.

A partir destas propriedades, podemos deduzir outras, que acabam fazendo sentido intuitivo e podem ser facilmente demonstradas a partir das propriedades de operações de conjuntos que enumeramos anteriormente.

• $P\left(\varnothing \right)=0$
• $P\left(A\right)=1-P\left(A^{c}\right)$
• Se $A\subset B$, então $P\left(A^{c}\cap B\right)=P\left(B\right)-P\left(A\right)$, com $P\left(A\right)\leq P\left(B\right)$.
• $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)\!\;$.

Temos ainda que, se $A,B\!\;$ e $C\!\;$ são três eventos associados a um espaço amostral ${\mathcal {S}}\!\;$, então:

$P\left(A\cup B\cup C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap B\right)-P\left(A\cap C\right)$ $-P\left(B\cap C\right)+P\left(A\cap B\cap C\right)$.