Probabilidade e Estatística/Espaços amostrais finitos

Construindo probabilidades em espaços amostrais finitos

Vamos começar agora, na prática, a calcular probabilidades de eventos. Consideremos o espaço amostral ${\mathcal {S}}\!\;$ finito. É o caso mais simples, e a partir dele poderemos desenvolver as idéias da seção anterior. Assim, podemos considerar:

${\mathcal {S}}=\left\{x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\right\}\!\;$

Já observamos anteriormente que $\Psi \!\;$ é uma classe formada por todos os subconjuntos de ${\mathcal {S}}\!\;$. Precisamos contruir ${\mathcal {P}}\!\;$, uma probabilidade definida em $\Psi \!\;$. Vamos começar observando que, $\forall {\mathit {i}}=1,...,{\mathit {n}}$, com ${\mathit {n}}\in \mathbb {N}$, se $\left\{x_{\mathit {i}}\right\}$ é um evento do espaço amostral ${\mathcal {S}}\!\;$, então podemos definir a probabilidade de $\left\{x_{\mathit {i}}\right\}$ ocorrer como um número ${\mathit {p}}_{\mathit {i}}\in \mathbb {R}$ tal que $P\left(\left\{x_{\mathit {i}}\right\}\right)={\mathit {p}}_{\mathit {i}}$.

Podemos notar que ${\mathcal {S}}=\bigcup _{{\mathit {i}}=1}^{\mathit {n}}\left\{x_{\mathit {i}}\right\}$.

Além disso, o ${\mathit {p}}_{\mathit {i}}\!\;$ deve ser escolhido de modo que $0\leq {\mathit {p}}_{\mathit {i}}\leq 1$, pois, como já vimos, uma probabilidade possui valores sempre entre $0\!\;$ e $1\!\;$.

De modo que:

$\sum _{{\mathit {i}}=1}^{\mathit {n}}{\mathit {p}}_{\mathit {i}}=\sum _{{\mathit {i}}=1}^{\mathit {n}}P\left(\left\{x_{\mathit {i}}\right\}\right)=P\left({\mathcal {S}}\right)=1$.

Ou seja, a soma de todos os ${\mathit {p}}_{\mathit {i}}\!\;$ corresponde à probabilidade do espaço amostral, que já vimos ser igual a $1\!\;$.

Agora, consideremos um evento qualquer ${\mathcal {A}}=\left\{x_{{\mathit {i}}_{1}},x_{{\mathit {i}}_{2}},...,x_{{\mathit {i}}_{\mathit {k}}}\right\}\subset {\mathcal {S}}$, com ${\mathit {k}}\in \mathbb {N}$. Temos que ${\mathcal {A}}=\bigcup _{{\mathit {j}}=1}^{\mathit {k}}\left\{x_{\mathit {i_{\mathit {j}}}}\right\}$, ou seja, a união de todos os $\left\{x_{\mathit {i_{\mathit {j}}}}\right\}$ constitui um evento ${\mathcal {A}}\!\;$, que por sua vez é subconjunto do espaço amostral ${\mathcal {S}}\!\;$.

De modo que as probabilidades ${\mathit {p}}_{\mathit {i}}\!\;$ devem satisfazer:

$P\left(A\right)=\sum _{{\mathit {j}}=1}^{\mathit {k}}P\left(\left\{x_{{\mathit {i}}_{\mathit {j}}}\right\}\right)=\sum _{{\mathit {j}}=1}^{\mathit {k}}{\mathit {p}}_{{\mathit {i}}_{\mathit {j}}}$.

Ou seja, a probabilidade do evento ${\mathcal {A}}\!\;$ ocorrer deve ser a soma das probabilidades de todos os elementos escolhidos ao acaso $\left\{x_{{\mathit {i}}_{\mathit {j}}}\right\}$ que compõem o conjunto ${\mathcal {A}}\!\;$.

Precisamos, ainda, tornar mais precisa a expressão "escolher ao acaso". Para tanto, consideremos ${\mathit {n}}\!\;$ objetos. Quando afirmamos que escolhemos ao acaso um dos ${\mathit {n}}\!\;$ objetos, isto significa que cada um dos objetos teve a mesma chance de ser escolhido.

Se os resultados particulares do evento ${\mathcal {S}}=\left\{x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\right\}\!\;$ são igualmente prováveis, ou seja, ${\mathit {p}}_{1}={\mathit {p}}_{2}=...={\mathit {p}}_{n}={\mathit {p}}\!\;$, decorre que:

$1={\mathit {np}}\to p={\frac {1}{n}}$

No caso do evento ${\mathcal {A}}=\left\{x_{{\mathit {i}}_{1}},x_{{\mathit {i}}_{2}},...,x_{{\mathit {i}}_{\mathit {k}}}\right\}\subset {\mathcal {S}}$ qualquer, temos:

$P\left(A\right)={\frac {k}{n}}$.

Tal modo de enunciar $P\left(A\right)\!\;$ é frequentemente encontrado da seguinte forma:

$P\left(A\right)={\frac {\mathrm {n{\acute {u}}mero\ de\ casos\ favor{\acute {a}}veis\ a\ A} }{\mathrm {n{\acute {u}}mero\ total\ de\ casos\ poss{\acute {i}}veis} }}\!\;$

Entretanto, a expressão acima não serve como definição geral de probabilidade. Ela é somente uma consequência do fato de que todos os resultados do evento são equiprováveis, e só deve ser usada quando isto acontecer.

Exemplos

• Consideremos um escritório formado por uma população distribuída da seguinte forma:
  • 3 pessoas são mulheres maiores de 30 anos;
  • 4 pessoas são homens maiores de 30 anos;
  • 5 pessoas são mulheres menores de 30 anos;
  • 4 pessoas são homens menores de 30 anos.

Escolhemos uma pessoa do escritório, ao acaso. Dados os eventos

${\mathcal {A}}=\left\{\mathrm {escolher\ pessoa\ menor\ de\ 30\ anos} \right\}\!\;$

${\mathcal {B}}=\left\{\mathrm {escolher\ pessoa\ maior\ de\ 30\ anos} \right\}\!\;$

${\mathcal {C}}=\left\{\mathrm {escolher\ uma\ mulher} \right\}\!\;$

${\mathcal {D}}=\left\{\mathrm {escolher\ um\ homem} \right\}\!\;$

calcule as probabilidades $P\left({\mathcal {B}}\cup {\mathcal {C}}\right)\!\;$ e $P\left({\mathcal {A}}^{c}\cap {\mathcal {D}}^{c}\right)\!\;$.

Nota: Utilizaremos o símbolo $\sharp \!\;$ sucedido de um conjunto para denotar o número de elementos do conjunto.

Inicialmente, vamos procurar saber qual o número de elementos de cada conjunto. Podemos notar que $\sharp {\mathcal {S}}=16\!\;$, $\sharp {\mathcal {A}}=9\!\;$, $\sharp {\mathcal {B}}=7\!\;$, $\sharp {\mathcal {C}}=8\!\;$ e $\sharp {\mathcal {D}}=8\!\;$.

Assim, torna-se possível descobrir a probabilidade de ocorrência de cada evento, a saber:

$P\left({\mathcal {A}}\right)={\frac {9}{16}}$, $P\left({\mathcal {B}}\right)={\frac {7}{16}}$, $P\left({\mathcal {C}}\right)={\frac {8}{16}}$, $P\left({\mathcal {D}}\right)={\frac {8}{16}}$.

Queremos saber $P\left({\mathcal {B}}\cup {\mathcal {C}}\right)\!\;$, o que corresponde à probabilidade de escolher ou uma pessoa maior de 30 anos, ou uma mulher. Calculando:

$P\left({\mathcal {B}}\cup {\mathcal {C}}\right)=P\left({\mathcal {B}}\right)+P\left({\mathcal {C}}\right)-P\left({\mathcal {B}}\cap {\mathcal {C}}\right)={\frac {7}{16}}+{\frac {8}{16}}-P\left({\mathcal {B}}\cap {\mathcal {C}}\right)\!\;$

$P\left({\mathcal {B}}\cap {\mathcal {C}}\right)\!\;$ significa a probabilidade de escolher uma pessoa maior de 30 anos e mulher. Do próprio enunciado, sabemos que 3 pessoas são mulheres maiores de 30 anos, então $P\left({\mathcal {B}}\cap {\mathcal {C}}\right)={\frac {3}{16}}\!\;$. Portanto,

$P\left({\mathcal {B}}\cup {\mathcal {C}}\right)={\frac {12}{16}}$

Para calcular $P\left({\mathcal {A}}^{c}\cap {\mathcal {D}}^{c}\right)\!\;$, basta perceber que ${\mathcal {A}}^{c}={\mathcal {B}}\!\;$ e que ${\mathcal {D}}^{c}={\mathcal {C}}\!\;$. Daí tiramos que $P\left({\mathcal {A}}^{c}\cap {\mathcal {D}}^{c}\right)=P\left({\mathcal {B}}\cap {\mathcal {C}}\right)={\frac {3}{16}}\!\;$, conforme calculamos anteriormente.