Probabilidade e Estatística/Espaços amostrais finitos

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Construindo probabilidades em espaços amostrais finitos[editar | editar código-fonte]

Vamos começar agora, na prática, a calcular probabilidades de eventos. Consideremos o espaço amostral finito. É o caso mais simples, e a partir dele poderemos desenvolver as idéias da seção anterior. Assim, podemos considerar:

Já observamos anteriormente que é uma classe formada por todos os subconjuntos de . Precisamos contruir , uma probabilidade definida em . Vamos começar observando que, , com , se é um evento do espaço amostral , então podemos definir a probabilidade de ocorrer como um número tal que .

Podemos notar que .

Além disso, o deve ser escolhido de modo que , pois, como já vimos, uma probabilidade possui valores sempre entre e .

De modo que:

.

Ou seja, a soma de todos os corresponde à probabilidade do espaço amostral, que já vimos ser igual a .

Agora, consideremos um evento qualquer , com . Temos que , ou seja, a união de todos os constitui um evento , que por sua vez é subconjunto do espaço amostral .

De modo que as probabilidades devem satisfazer:

.

Ou seja, a probabilidade do evento ocorrer deve ser a soma das probabilidades de todos os elementos escolhidos ao acaso que compõem o conjunto .

Precisamos, ainda, tornar mais precisa a expressão "escolher ao acaso". Para tanto, consideremos objetos. Quando afirmamos que escolhemos ao acaso um dos objetos, isto significa que cada um dos objetos teve a mesma chance de ser escolhido.

Se os resultados particulares do evento são igualmente prováveis, ou seja, , decorre que:

No caso do evento qualquer, temos:

.

Tal modo de enunciar é frequentemente encontrado da seguinte forma:

Entretanto, a expressão acima não serve como definição geral de probabilidade. Ela é somente uma consequência do fato de que todos os resultados do evento são equiprováveis, e só deve ser usada quando isto acontecer.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Consideremos um escritório formado por uma população distribuída da seguinte forma:
    • 3 pessoas são mulheres maiores de 30 anos;
    • 4 pessoas são homens maiores de 30 anos;
    • 5 pessoas são mulheres menores de 30 anos;
    • 4 pessoas são homens menores de 30 anos.

Escolhemos uma pessoa do escritório, ao acaso. Dados os eventos

calcule as probabilidades e .

Nota: Utilizaremos o símbolo sucedido de um conjunto para denotar o número de elementos do conjunto.

Inicialmente, vamos procurar saber qual o número de elementos de cada conjunto. Podemos notar que , , , e .

Assim, torna-se possível descobrir a probabilidade de ocorrência de cada evento, a saber:

, , , .

Queremos saber , o que corresponde à probabilidade de escolher ou uma pessoa maior de 30 anos, ou uma mulher. Calculando:

significa a probabilidade de escolher uma pessoa maior de 30 anos e mulher. Do próprio enunciado, sabemos que 3 pessoas são mulheres maiores de 30 anos, então . Portanto,

Para calcular , basta perceber que e que . Daí tiramos que , conforme calculamos anteriormente.