Vamos começar agora, na prática, a calcular probabilidades de eventos. Consideremos o espaço amostral
finito. É o caso mais simples, e a partir dele poderemos desenvolver as idéias da seção anterior. Assim, podemos considerar:
![{\displaystyle {\mathcal {S}}=\left\{x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\right\}\!\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f6ef945f098adce0c3f378587e3de559d8fa09)
Já observamos anteriormente que
é uma classe formada por todos os subconjuntos de
. Precisamos contruir
, uma probabilidade definida em
. Vamos começar observando que,
, com
, se
é um evento do espaço amostral
, então podemos definir a probabilidade de
ocorrer como um número
tal que
.
Podemos notar que
.
Além disso, o
deve ser escolhido de modo que
, pois, como já vimos, uma probabilidade possui valores sempre entre
e
.
De modo que:
.
Ou seja, a soma de todos os
corresponde à probabilidade do espaço amostral, que já vimos ser igual a
.
Agora, consideremos um evento qualquer
, com
. Temos que
, ou seja, a união de todos os
constitui um evento
, que por sua vez é subconjunto do espaço amostral
.
De modo que as probabilidades
devem satisfazer:
.
Ou seja, a probabilidade do evento
ocorrer deve ser a soma das probabilidades de todos os elementos escolhidos ao acaso
que compõem o conjunto
.
Precisamos, ainda, tornar mais precisa a expressão "escolher ao acaso".
Para tanto, consideremos
objetos. Quando afirmamos que escolhemos ao acaso um dos
objetos, isto significa que cada um dos objetos teve a mesma chance de ser escolhido.
Se os resultados particulares do evento
são igualmente prováveis, ou seja,
, decorre que:
![{\displaystyle 1={\mathit {np}}\to p={\frac {1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93fe378f832fb940784cdc57c29ffd7997d9d93)
No caso do evento
qualquer, temos:
.
Tal modo de enunciar
é frequentemente encontrado da seguinte forma:
![{\displaystyle P\left(A\right)={\frac {\mathrm {n{\acute {u}}mero\ de\ casos\ favor{\acute {a}}veis\ a\ A} }{\mathrm {n{\acute {u}}mero\ total\ de\ casos\ poss{\acute {i}}veis} }}\!\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a8835b5c7efd2f977006bbfb9eba392d270921)
Entretanto, a expressão acima não serve como definição geral de probabilidade. Ela é somente uma consequência do fato de que todos os resultados do evento são equiprováveis, e só deve ser usada quando isto acontecer.
- Consideremos um escritório formado por uma população distribuída da seguinte forma:
- 3 pessoas são mulheres maiores de 30 anos;
- 4 pessoas são homens maiores de 30 anos;
- 5 pessoas são mulheres menores de 30 anos;
- 4 pessoas são homens menores de 30 anos.
Escolhemos uma pessoa do escritório, ao acaso. Dados os eventos
![{\displaystyle {\mathcal {A}}=\left\{\mathrm {escolher\ pessoa\ menor\ de\ 30\ anos} \right\}\!\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6f2b20ba61c74438c49aa69cfc8f91aacc1793)
![{\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\mathrm {escolher\ pessoa\ maior\ de\ 30\ anos} \right\}\!\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9142cedff263cce20c7ee4b77cc9154bed8a6bf)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{\mathrm {escolher\ uma\ mulher} \right\}\!\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d2e77378f051eb9b4aeca2a7ce8dafab622dca)
![{\displaystyle {\mathcal {D}}=\left\{\mathrm {escolher\ um\ homem} \right\}\!\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65d0acba3f0fc24fd852d1161dd1ff0d0e2a6663)
calcule as probabilidades
e
.
Nota: Utilizaremos o símbolo
sucedido de um conjunto para denotar o número de elementos do conjunto.
Inicialmente, vamos procurar saber qual o número de elementos de cada conjunto. Podemos notar que
,
,
,
e
.
Assim, torna-se possível descobrir a probabilidade de ocorrência de cada evento, a saber:
,
,
,
.
Queremos saber
, o que corresponde à probabilidade de escolher ou uma pessoa maior de 30 anos, ou uma mulher. Calculando:
![{\displaystyle P\left({\mathcal {B}}\cup {\mathcal {C}}\right)=P\left({\mathcal {B}}\right)+P\left({\mathcal {C}}\right)-P\left({\mathcal {B}}\cap {\mathcal {C}}\right)={\frac {7}{16}}+{\frac {8}{16}}-P\left({\mathcal {B}}\cap {\mathcal {C}}\right)\!\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e01533e0480688d4061bcebede6714a375dc8a)
significa a probabilidade de escolher uma pessoa maior de 30 anos e mulher. Do próprio enunciado, sabemos que 3 pessoas são mulheres maiores de 30 anos, então
. Portanto,
![{\displaystyle P\left({\mathcal {B}}\cup {\mathcal {C}}\right)={\frac {12}{16}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46cafbc51e51e1f20ab9d3451516ac1509602d2)
Para calcular
, basta perceber que
e que
. Daí tiramos que
, conforme calculamos anteriormente.