Notas de Mecânica/Movimento em duas e três dimensões

Redefinição das grandezas cinemáticas

Posição

Em 2D:

${\vec {r}}=x{\hat {i}}+y{\hat {j}}$

Em 3D:

${\vec {r}}=x{\hat {i}}+y{\hat {j}}+z{\hat {k}}$

Deslocamento

Em 2D:

${\vec {r}}_{i}=x_{i}{\hat {i}}+y_{i}{\hat {j}}$

${\vec {r}}_{f}=x_{f}{\hat {i}}+y_{f}{\hat {j}}$

$\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}_{f}-{\vec {r}}_{i}$

$\Delta {\vec {r}}=(x_{f}{\hat {i}}+y_{f}{\hat {j}})-(x_{i}{\hat {i}}+y_{i}{\hat {j}})$

$\Delta {\vec {r}}=(x_{f}-x_{i}){\hat {i}}+(y_{f}-y_{i}){\hat {j}}$

$\Delta {\vec {r}}=\Delta x{\hat {i}}+\Delta y{\hat {j}}$

Em 3D :

${\vec {r}}_{i}=x_{i}{\hat {i}}+y_{i}{\hat {j}}+z_{i}{\hat {k}}$

${\vec {r}}_{f}=x_{f}{\hat {i}}+y_{f}{\hat {j}}+z_{f}{\hat {k}}$

$\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}_{f}-{\vec {r}}_{i}$

$\Delta {\vec {r}}=(x_{f}{\hat {i}}+y_{f}{\hat {j}}+z_{f}{\hat {k}})-(x_{i}{\hat {i}}+y_{i}{\hat {j}}+z_{i}{\hat {k}})$

$\Delta {\vec {r}}=(x_{f}-x_{i}){\hat {i}}+(y_{f}-y_{i}){\hat {j}}+(z_{f}-z_{i}){\hat {k}}$

$\Delta {\vec {r}}=\Delta x{\hat {i}}+\Delta y{\hat {j}}+\Delta z{\hat {k}}$

Velocidade

${\vec {v}}_{med}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}$

em 2D:

${\vec {v}}_{med}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {\Delta x{\hat {i}}+\Delta y{\hat {j}}}{\Delta t}}$

${\vec {v}}_{med}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {i}}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {j}}$

${\vec {v}}_{med}=v_{med,x}{\hat {i}}+v_{med,y}{\hat {j}}$

${\vec {v}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}$

${\vec {v}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {i}}+\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {j}}$

${\vec {v}}=v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}}$

em 3D:

${\vec {v}}_{med}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {\Delta x{\hat {i}}+\Delta y{\hat {j}}+\Delta z{\hat {k}}}{\Delta t}}$

${\vec {v}}_{med}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {i}}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {j}}+{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\hat {k}}$

${\vec {v}}_{med}=v_{med,x}{\hat {i}}+v_{med,y}{\hat {j}}+v_{med,z}{\hat {k}}$

${\vec {v}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}$

${\vec {v}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {i}}+\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {j}}+\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\hat {k}}$

${\vec {v}}=v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}}+v_{z}{\hat {k}}$

Aceleração

${\vec {a}}_{med}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$

em 2D:

${\vec {a}}_{med}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}={\frac {\Delta v_{x}{\hat {i}}+\Delta v_{y}{\hat {j}}}{\Delta t}}$

${\vec {a}}_{med}={\frac {\Delta v_{x}}{\Delta t}}{\hat {i}}+{\frac {\Delta v_{y}}{\Delta t}}{\hat {j}}$

${\vec {a}}_{med}=a_{med,x}{\hat {i}}+a_{med,y}{\hat {j}}$

${\vec {a}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$

${\vec {a}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v_{x}}{\Delta t}}{\hat {i}}+\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v_{y}}{\Delta t}}{\hat {j}}$

${\vec {a}}=a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}}$

em 3D:

${\vec {a}}_{med}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}={\frac {\Delta v_{x}{\hat {i}}+\Delta v_{y}{\hat {j}}+\Delta v_{z}{\hat {k}}}{\Delta t}}$

${\vec {a}}_{med}={\frac {\Delta v_{x}}{\Delta t}}{\hat {i}}+{\frac {\Delta v_{y}}{\Delta t}}{\hat {j}}+{\frac {\Delta v_{z}}{\Delta t}}{\hat {k}}$

${\vec {a}}_{med}=a_{med,x}{\hat {i}}+a_{med,y}{\hat {j}}+a_{med,z}{\hat {k}}$

${\vec {a}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$

${\vec {a}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v_{x}}{\Delta t}}{\hat {i}}+\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v_{y}}{\Delta t}}{\hat {j}}+\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v_{z}}{\Delta t}}{\hat {k}}$

${\vec {a}}=a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}}+a_{z}{\hat {k}}$

Princípio da Independência dos Movimentos (Galileu)

Consideremos um bloco deslizando sobre um plano inclinado de maneira que sua aceleração é constante. Admitamos que em $t=0$ seu vetor velocidade inicial seja ${\vec {v}}_{0}$ .

Se orientarmos nosso eixo coordenado da maneira indicada na figura podemos usar tudo que vimos anteriormente sobre movimentos unidimensionais com aceleração constante. Isto é as equações que descrevem o movimento serão :

$Y=Y_{0}$ (a coordenada Y não varia )

$X=X_{0}+v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}$

$v=v_{0}+at$

Contudo não necessariamente precisamos usar o sistema $XY$ de eixos coordenados, poderiamos, por exemplo usar o sistema coordenado $xy$ mostrado na figura abaixo para descrever o mesmo movimento.

(vai a figura aqui)

A natureza física do problema não irá mudar pelo fato de termos mudado a orientação dos eixos coordenados para analisar o movimento ou seja, se em $XY$ tinhamos um movimento com aceleração constante em $xy$ também teremos. Contudo agora teremos que nos valer da descrição bidimensional do movimento, desta forma teremos as seguintes equações vetoriais para descrever o movimento:

${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}$

e

${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t$

Por termos um problema bidimensional (em $xy$) teremos as grandezas:

${\vec {r}}=x{\hat {i}}+y{\hat {j}}$

${\vec {r}}_{0}=x_{0}{\hat {i}}+y_{0}{\hat {j}}$

${\vec {v}}_{0}=v_{0,x}{\hat {i}}+v_{0,y}{\hat {j}}$

${\vec {v}}=v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}}$

${\vec {a}}=a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}}$

Desta maneira teremos:

${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}$

$x{\hat {i}}+y{\hat {j}}=x_{0}{\hat {i}}+y_{0}{\hat {j}}+(v_{0,x}{\hat {i}}+v_{0,y}{\hat {j}})t+{\frac {(a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}})t^{2}}{2}}$

$x{\hat {i}}+y{\hat {j}}=x_{0}{\hat {i}}+v_{0,x}t{\hat {i}}+{\frac {a_{x}t^{2}}{2}}{\hat {i}}+y_{0}{\hat {j}}+v_{0,y}t{\hat {j}}+{\frac {a_{y}t^{2}}{2}}{\hat {j}}$

$x{\hat {i}}+y{\hat {j}}=\left(x_{0}+v_{0,x}t+{\frac {a_{x}t^{2}}{2}}\right){\hat {i}}+\left(y_{0}+v_{0,y}+{\frac {a_{y}t^{2}}{2}}\right){\hat {j}}$

Logo :

$x=x_{0}+v_{0,x}t+{\frac {a_{x}t^{2}}{2}}$

$y=y_{0}+v_{0,y}t+{\frac {a_{y}t^{2}}{2}}$

da mesma forma para:

${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t$

teremos:

$v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}}=v_{0,x}{\hat {i}}+v_{0,y}{\hat {j}}+(a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}})t$

$v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}}=v_{0,x}{\hat {i}}+a_{x}t{\hat {i}}+v_{0,y}{\hat {j}}+a_{y}{\hat {j}}t$

$v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}}=(v_{0,x}+a_{x}t){\hat {i}}+(v_{0,y}+a_{y}t){\hat {j}}$

Logo:

$v_{x}=v_{0,x}+a_{x}t$

$v_{y}=v_{0,y}+a_{y}t$

Podemos generalizar para o caso em 3D:

${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}\Rightarrow {\begin{cases}x=x_{0}+v_{0,x}t+{\frac {a_{x}t^{2}}{2}}\\\\y=y_{0}+v_{0,y}+{\frac {a_{y}t^{2}}{2}}\\\\z=z_{0}+v_{0,z}t+{\frac {a_{z}t^{2}}{2}}\end{cases}}$

e

${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t\Rightarrow {\begin{cases}v_{x}=v_{0,x}+a_{x}t\\\\v_{y}=v_{0,y}+a_{y}t\\\\v_{z}=v_{0,z}+a_{z}t\end{cases}}$

Movimento Balístico

${\vec {a}}=0{\hat {i}}+(-g){\hat {j}}$

ONDE $g=9,8m/s^{2}$

$x=x_{0}+{\color {red}v_{0,x}}t$ (1)

$y=y_{0}+{\color {blue}v_{0,y}}t-{\frac {gt^{2}}{2}}$

$v_{x}={\color {red}v_{0,x}}$

$v_{y}={\color {blue}v_{0,y}}-gt$

onde:

${\color {blue}v_{0,y}=v_{0}\sin \theta }$

${\color {red}v_{0,x}=v_{0}\cos \theta }$

Definimos como alcance $A$ do projétil o seu deslocamento na direção $x$, ou seja  :

$A=x_{f}-x_{i}$

e desta forma pela equação (1) temos:

$A={\color {red}v_{0,x}}t_{v}$

onde chamamos $t_{v}$ o tempo de voo da partícula ou seja o tempo que ela permanece em movimento no ar.

Equação da trajetória

$x=x_{0}+{\color {red}v_{0,x}}t$

Isolando o tempo:

$t={\frac {x-x_{0}}{v_{0,x}}}$

$t={\frac {x-x_{0}}{v_{0}\cos \theta }}$

substituindo em :

$y=y_{0}+{\color {blue}v_{0,y}}t-{\frac {gt^{2}}{2}}$

$y=y_{0}+{\color {blue}v_{0}\sin \theta }t-{\frac {gt^{2}}{2}}$

temos:

$y=y_{0}+v_{0}\sin \theta \left({\frac {x-x_{0}}{v_{0}\cos \theta }}\right)-{\frac {g\left({\frac {x-x_{0}}{v_{0}\cos \theta }}\right)^{2}}{2}}$

$y=y_{0}+\tan \theta \left({x-x_{0}}\right)-{\frac {g}{\left(2v_{0}\cos \theta \right)^{2}}}\left(x-x_{0}\right)^{2}$

UM CASO PARTICULAR: Lançamento num plano horizontal

Usando o sistema de eixos coordenados indicados na figura temos:

$x_{0}=0$

$y_{0}=0$

$y_{f}=0$

Nosso alcance será então $x_{f}=A$

Pelas equações anteriores:

$A={v_{0}\cos \theta }t_{v}$

o tempo que o projétil permanece em movimento podemos calcular pela equação em $y$ , desta forma:

$y=y_{0}+{v_{0}\sin \theta }t-{\frac {gt^{2}}{2}}$

$0=0+{v_{0}\sin \theta }t_{v}-{\frac {gt_{v}^{2}}{2}}$

${\frac {g{t_{v}}^{2}}{2}}=v_{0}\sin \theta t_{v}$

${\frac {gt_{v}}{2}}=v_{0}\sin \theta$

$t_{v}={\frac {2v_{0}}{g}}\sin \theta$

Substituindo na equação em $x$ teremos:

$A={v_{0}\cos \theta }\left({\frac {2v_{0}}{g}}\sin \theta \right)$

$A={\frac {v_{0}^{2}}{g}}(2\sin \theta \cos \theta )$

Usando a identidade trigométrica:

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )$

No caso particular se $\alpha =\beta$ :

$\sin(\beta \pm \beta )=\sin(\beta )\cos(\beta )\pm \cos(\beta )\sin(\beta )$

$\sin(2\beta )=2\sin(\beta )\cos(\beta )$

Desta forma usando na equação para o alcance:

$A={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin(2\theta )$