Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/B1

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Enunciado

Calcular a pressão no oceano a uma profundidade de 1500 m, considerando a água salgada como um líquido compressível com ε = 21.000 kg/cm² e densidade absoluta de 1025 kg/m³ na superfície.

Dados do problema

ρ0	1025 kg/m3
hf	1500 m
pf	a calcular

ε = 21.000 kg/cm²

Solução

Da definição de módulo de elasticidade volumétrica

$\epsilon \;=\;-{\frac {dp}{({\frac {dV}{V}})}}\Rightarrow \;\;\;{\frac {dV}{V}}\;=\;-{\frac {1}{\epsilon }}\;dp$

Como equação de estado, utilizemos a relação ρV = m = constante. Assim, d(ρV) = ρdV + Vdρ = 0, e

${\frac {d\rho }{\rho }}\;=\;-{\frac {dV}{V}}\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\;dp$

Integrando, teremos

$\int {\frac {d\rho }{\rho }}\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\int dp\Rightarrow \;\;\;p_{f}\;=\;p_{0}+\epsilon \ln \left({\frac {\rho _{f}}{\rho _{0}}}\right)$

Da equação básica

${\frac {dp}{dz}}\;=\;-\rho g$

tiramos que dp = - ρdz = ρdh, pois vamos considerar h como uma profundidade (h = -z). Assim,

${\frac {d\rho }{\rho }}\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\;dp\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\rho dh\Rightarrow \;\;\;{\frac {d\rho }{\rho ^{2}}}\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\;dh$

Integrando, teremos

$\int {\frac {d\rho }{\rho ^{2}}}\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\int dh\Rightarrow \;\;\;\left({\frac {1}{\rho _{0}}}\;-\;{\frac {1}{\rho _{f}}}\right)\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})$

${\frac {1}{\rho _{f}}}\;=\;{\frac {1}{\rho _{0}}}\;-\;{\frac {1}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})\Rightarrow \;\;\;\ \rho _{f}\;=\;{\frac {1}{{\frac {1}{\rho _{0}}}\;-\;{\frac {1}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})}}$

${\frac {\rho _{f}}{\rho _{0}}}\;=\;{\frac {1}{1\;-\;{\frac {\rho _{0}}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})}}$

E assim

$p_{f}\;=\;p_{0}+\epsilon \ln \left({\frac {\rho _{f}}{\rho _{0}}}\right)\;=\;p_{0}\;+\;\epsilon \ln \left({\frac {1}{1\;-\;{\frac {\rho _{0}}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})}}\right)$

$p_{f}\;=\;p_{0}\;-\;\epsilon \ln \left(1\;-\;{\frac {\rho _{0}}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})\right)$

$p_{f}\;=\;0\;-\;21000\;kg/cm^{2}\ln \left(1\;-\;{\frac {1025\;kg/m^{3}}{21000\;kg/cm^{2}}}(1500\;m\;-\;0)\right)\;=\;\;-\;210000000\;kg/m^{2}\ln \left(1\;-\;{\frac {1025\;kg/m^{3}}{210000000\;kg/cm^{2}}}\cdot 1500\;m\right)$

$\;=\;1540000\;kg/m^{2}\;=\;154\;kg/cm^{2}$ (pressão manométrica)