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Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/A1

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Enunciado[editar | editar código-fonte]

Um cilindro de 12 cm de raio gira no interior de outro, que está fixo, e cujo raio mede 12.6 cm. Os eixos dos cilindros são concêntricos e ambos têm 30 cm de comprimento. É necessário aplicar um torque de 9.0 kg.cm para manter a velocidade de rotação em 60 rpm. Determinar a viscosidade do fluido que preenche o espaço entre os cilindros.

Dados do problema[editar | editar código-fonte]

r1 12 cm
r2 12.6 cm
l 30 cm
ω1 60 rpm
ω2 0 rpm
Ω 9.0 kg.cm
μ a calcular

Solução 1[editar | editar código-fonte]

Como o espaço entre os cilindros é pequeno perante as demais dimensões do problema, vamos considerar valores médios para todas as variáveis. Além disso, aproximaremos dv/dy nesse espaço por Δv/Δy.

O torque aplicado gera uma tensão na superfície do fluido que está em contato com o cilindro móvel. O torque é dado pelo produto da força aplicada aos cilindros pelo raio vetor; a força, por sua vez, é o produto da tensão pela área de aplicação:



A velocidade tangencial do cilindro móvel é



Essa é a velocidade do fluido que está em contato com a superfície do cilindro, onde a tensão τ é aplicada. A velocidade na outra superfície é nula. Essas superfícies distam Δr = r2 - r1 uma da outra. A viscosidade do fluido será então dada por







Solução 2[editar | editar código-fonte]

Para um valor mais preciso, vamos considerar a tensão τ e a velocidade v como funções da posição r:



Mas



Logo




Assim





O valor indica que a simplificação considerada na Solução 1 era razoável.