Mecânica dos fluidos/Equações em coordenadas cilíndricas

Equações em coordenadas cilíndricas

Frequentemente, a geometria de um problema sugere seja usado um sistema de coordenada outro que não o sistema cartesiano. É importante, portanto, derivar as equações básicas em forma diferencial para outros sistemas. Esse problema não afeta as formas integrais das equações, que são as mesmas para qualquer sistema. Nesta seção, apresentaremos as equações básicas em coordenadas cilíndricas.

Equação da continuidade

A forma diferencial da equação de continuidade utiliza uma expressão genérica, que permite expressá-la facilmente em qualquer sistema de coordenadas.

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;+\;(\nabla \cdot (\rho {\vec {v}}))\;=\;0$

Basta empregar a expressão do divergente em coordenadas cilíndricas para encontrar

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;+\;\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}\;(r\rho v_{r})\;+\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial \theta }}\;(\rho v_{\theta })\;+\;{\frac {\partial }{\partial z}}\;(\rho v_{z})\right)\;=\;0$

Equações de Navier-Stokes

A derivação das equações de Navier-Stokes no sistema de coordenadas cilíndricas é dificultado pelo fato de não existir uma expressão genérica para as mesmas, que seja a mesma em qualquer sistema de coordenadas.