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Mecânica dos fluidos/Comportamento de um líquido em um recipiente móvel

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Comportamento de um líquido em um recipiente móvel[editar | editar código-fonte]

O comportamento de um líquido em um recipiente móvel pode ser analisado segundo os princípios da estática se ele estiver em equilíbrio interno e com esse recipiente, ou seja, se não houver movimento das partículas do líquido entre si e destas com relação ao recipiente. Neste caso, não haverá forças de cisalhamento e a viscosidade pode ser ignorada. Esse tipo de movimento, como já visto, é chamado de movimento de corpo rígido.

A análise depende, obviamente, da geometria do recipiente. A seguir, são analisados casos simples à guisa de exemplo, com o objetivo de ilustrar os princípios básicos que devem nortear a busca da solução. Os recipientes são escolhidos de forma a ter uma geometria que facilite os cálculos.

Translação linear horizontal[editar | editar código-fonte]

Se o recipiente que contém o líquido se mover linearmente na horizontal com aceleração aH, a superfície do líquido sofrerá uma inclinação Θ com relação à horizontal. Uma partícula de volume δV localizada na superfície do líquido, a uma distância r do eixo de rotação estará sujeita a uma única força, FN, normal à superfície, pois não haverá tensões de cisalhamento; a componente vertical FN cos Θ deverá equilibrar o peso da partícula, e a componente horizontal FN sen Θ deverá equilibrar a aceleração aH a que ela está sujeita. Assim:



Essa inclinação fará com que a pressão do fluido seja diferente nas paredes anterior e posterior do recipiente. Se considerarmos um recipiente retangular, de comprimento L, altura H e largura W, na primeira parede a superfície do líquido subirá de uma altura



e na segunda descerá um valor equivalente. A força sobre a parede anterior será, portanto



onde h0 é a profundidade do líquido com o recipiente em repouso. A forçca na parede posterior será



A diferença entre essas forças é





que é justamente a força necessária para acelerar a massa de fluido m.

Translação linear vertical[editar | editar código-fonte]

Se o recipiente que contém o líquido se mover linearmente na vertical com aceleração aV, a superfície do líquido permanecerá na horizontal. A pressão em cada ponto do líquido, no entanto, será dada pela expressão



Aqui, aV é positiva quando aponta para cima, no sentido contrário de h, conforme as convenções usuais.

Rotação em torno de um eixo vertical[editar | editar código-fonte]

Se o recipiente que contém o líquido girar em torno de um eixo vertical a uma velocidade angular ω, a superfície do líquido também sofrerá uma inclinação Θ. Uma partícula de volume δV localizada na superfície do líquido, a uma distância r do eixo de rotação estará sujeita a uma única força, FN, normal à superfície, pois não haverá tensões de cisalhamento; a componente vertical FN cos Θ deverá equilibrar o peso da partícula, e a componente horizontal FN sen Θ deverá equilibrar a aceleração ω2r a que ela está sujeita. Assim



Assim, diferentemente do caso da translação linear, Θ varia com r. Mas



Integrando



que é a equação de um parabolóide de revolução em coordenadas cilíndricas. A posição da origem do eixo das coordenadas com relação ao eixo Z é arbitrária, mas deve estar sobre o eixo de rotação. Se escolhermos um recipiente cilíndrico de diâmetro D e z = 0 no fundo do recipiente, podemos calcular z0 em função de h0, a profundidade do líquido quando o recipiente estiver em repouso, porque o volume de líquido deve permanecer constante. Assim:



onde z1 é a altura do líquido nas paredes do recipiente



Para calcular a integral, é preciso expressar r, ou melhor, r2, em função de z.



Assim,





Mas



e



Assim