Mecânica dos fluidos/Comportamento de um líquido em um recipiente móvel

Comportamento de um líquido em um recipiente móvel

O comportamento de um líquido em um recipiente móvel pode ser analisado segundo os princípios da estática se ele estiver em equilíbrio interno e com esse recipiente, ou seja, se não houver movimento das partículas do líquido entre si e destas com relação ao recipiente. Neste caso, não haverá forças de cisalhamento e a viscosidade pode ser ignorada. Esse tipo de movimento, como já visto, é chamado de movimento de corpo rígido.

A análise depende, obviamente, da geometria do recipiente. A seguir, são analisados casos simples à guisa de exemplo, com o objetivo de ilustrar os princípios básicos que devem nortear a busca da solução. Os recipientes são escolhidos de forma a ter uma geometria que facilite os cálculos.

Translação linear horizontal

Se o recipiente que contém o líquido se mover linearmente na horizontal com aceleração a_H, a superfície do líquido sofrerá uma inclinação Θ com relação à horizontal. Uma partícula de volume δV localizada na superfície do líquido, a uma distância r do eixo de rotação estará sujeita a uma única força, F_N, normal à superfície, pois não haverá tensões de cisalhamento; a componente vertical F_N cos Θ deverá equilibrar o peso da partícula, e a componente horizontal F_N sen Θ deverá equilibrar a aceleração a_H a que ela está sujeita. Assim:

$\tan \theta \;=\;{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\;=\;{\frac {F_{N}\sin \theta }{F_{N}\cos \theta }}\;=\;{\frac {a_{H}}{g}}$

Essa inclinação fará com que a pressão do fluido seja diferente nas paredes anterior e posterior do recipiente. Se considerarmos um recipiente retangular, de comprimento L, altura H e largura W, na primeira parede a superfície do líquido subirá de uma altura

$\Delta h\;=\;{\frac {L}{2}}\tan \theta \;=\;{\frac {La_{H}}{2g}}$

e na segunda descerá um valor equivalente. A força sobre a parede anterior será, portanto

$F_{a}\;=\;\rho g{\frac {h_{a}}{2}}A_{aH}\;=\;\rho g{\frac {h_{a}}{2}}(h_{a}W)\;=\;{\frac {\rho gWh_{a}^{2}}{2}}\;=\;{\frac {\rho gW\left(h_{0}\;+\;{\frac {La_{H}}{2g}}\right)^{2}}{2}}$

onde h₀ é a profundidade do líquido com o recipiente em repouso. A forçca na parede posterior será

$F_{p}\;=\;{\frac {\rho gW\left(h_{0}\;-\;{\frac {La_{H}}{2g}}\right)^{2}}{2}}$

A diferença entre essas forças é

$\Delta F\;=\;F_{a}\;-\;F_{p}\;=\;{\frac {\rho gW\left(h_{0}\;+\;{\frac {La_{H}}{2g}}\right)^{2}}{2}}\;-\;{\frac {\rho gW\left(h_{0}\;-\;{\frac {La_{H}}{2g}}\right)^{2}}{2}}$

$\Delta F\;=\;{\frac {\rho gW}{2}}\left[\left(h_{0}\;+\;{\frac {La_{H}}{2g}}\right)^{2}\;-\;\left(h_{0}\;-\;{\frac {La_{H}}{2g}}\right)^{2}\right]$

$\Delta F\;=\;{\frac {\rho gW}{2}}\left[4{\frac {La_{H}h_{0}}{2g}}\right]\;=\;\rho WLh_{0}a_{H}\;=\;ma_{H}$

que é justamente a força necessária para acelerar a massa de fluido m.

Translação linear vertical

Se o recipiente que contém o líquido se mover linearmente na vertical com aceleração a_V, a superfície do líquido permanecerá na horizontal. A pressão em cada ponto do líquido, no entanto, será dada pela expressão

$p\;=\;\rho \;h\;{\frac {g\;+\;a_{V}}{g}}$

Aqui, a_V é positiva quando aponta para cima, no sentido contrário de h, conforme as convenções usuais.

Rotação em torno de um eixo vertical

Se o recipiente que contém o líquido girar em torno de um eixo vertical a uma velocidade angular ω, a superfície do líquido também sofrerá uma inclinação Θ. Uma partícula de volume δV localizada na superfície do líquido, a uma distância r do eixo de rotação estará sujeita a uma única força, F_N, normal à superfície, pois não haverá tensões de cisalhamento; a componente vertical F_N cos Θ deverá equilibrar o peso da partícula, e a componente horizontal F_N sen Θ deverá equilibrar a aceleração ω₂r a que ela está sujeita. Assim

$\tan \theta \;=\;{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\;=\;{\frac {F_{N}\sin \theta }{F_{N}\cos \theta }}\;=\;{\frac {\rho \;\delta V\;\omega ^{2}r}{\rho g\;\delta V}}\;=\;{\frac {\omega ^{2}r}{g}}$

Assim, diferentemente do caso da translação linear, Θ varia com r. Mas

$\tan \theta \;=\;{\frac {dz}{dr}}\Rightarrow \;\;\;{\frac {dz}{dr}}\;=\;{\frac {\omega ^{2}r}{g}}\Rightarrow \;\;\;dz\;=\;{\frac {\omega ^{2}}{g}}\;r\;dr$

Integrando

$\int _{z0}^{z}dz\;=\;\int _{0}^{r}{\frac {\omega ^{2}}{g}}\;r\;dr\Rightarrow \;\;\;z\;=\;z_{0}\;+\;{\frac {\omega ^{2}r^{2}}{2g}}$

que é a equação de um parabolóide de revolução em coordenadas cilíndricas. A posição da origem do eixo das coordenadas com relação ao eixo Z é arbitrária, mas deve estar sobre o eixo de rotação. Se escolhermos um recipiente cilíndrico de diâmetro D e z = 0 no fundo do recipiente, podemos calcular z₀ em função de h₀, a profundidade do líquido quando o recipiente estiver em repouso, porque o volume de líquido deve permanecer constante. Assim:

$\pi \;{\frac {D^{2}}{4}}\;h_{0}\;=\;V\;=\;\int _{0}^{z1}\pi \;r^{2}\;dz$

onde z₁ é a altura do líquido nas paredes do recipiente

$z_{1}\;=\;z_{0}\;+\;{\frac {\omega ^{2}\left({\frac {D}{2}}\right)^{2}}{2g}}\;=\;z_{0}\;+\;{\frac {\omega ^{2}D^{2}}{8g}}$

Para calcular a integral, é preciso expressar r, ou melhor, r², em função de z.

$r^{2}\;=\;{\frac {D^{2}}{4}},\;se\;z<z_{0}\qquad r^{2}\;=\;{\frac {2g(z\;-\;z_{0})}{\omega ^{2}}},\;se\;z>z_{0}$

Assim,

$V\;=\;\int _{0}^{z0}\pi \;r^{2}\;dz\;+\;\int _{z0}^{z1}\pi \;r^{2}\;dz\;=\;\int _{0}^{z0}\pi \;{\frac {D^{2}}{4}}\;dz\;+\;\int _{z0}^{z1}\pi \;{\frac {2g(z\;-\;z_{0})}{\omega ^{2}}}\;dz$

$\pi \;{\frac {D^{2}}{4}}\;h_{0}\;=\;\pi \;\left.{\frac {D^{2}}{4}}\;z\right|_{0}^{z0}\;+\;{\frac {2\pi g}{\omega ^{2}}}\;\left.\left({\frac {z^{2}}{2}}\;-\;z_{0}z\right)\right|_{z0}^{z1}$

${\frac {D^{2}}{4}}\;h_{0}\;=\;{\frac {D^{2}}{4}}\;z_{0}\;+\;{\frac {2g}{\omega ^{2}}}\;\left({\frac {z_{1}^{2}}{2}}\;-\;z_{0}z_{1}\;-\;{\frac {z_{0}^{2}}{2}}\;+\;z_{0}^{2}\right)$

Mas

$z_{1}z_{0}\;=\;\left(z_{0}\;+\;{\frac {\omega ^{2}D^{2}}{8g}}\right)\;z_{0}\;=\;z_{0}^{2}\;+\;{\frac {\omega ^{2}D^{2}z_{0}}{8g}}$

e

$z_{1}^{2}\;=\;\left(z_{0}\;+\;{\frac {\omega ^{2}D^{2}}{8g}}\right)^{2}\;=\;z_{0}^{2}\;+\;{\frac {\omega ^{2}D^{2}z_{0}}{4g}}\;+\;{\frac {\omega ^{4}D^{4}}{64g^{2}}}$

Assim

${\frac {D^{2}}{4}}\;h_{0}\;=\;{\frac {D^{2}}{4}}\;z_{0}\;+\;{\frac {2g}{\omega ^{2}}}\;\left({\frac {z_{0}^{2}\;+\;{\frac {\omega ^{2}D^{2}z_{0}}{4g}}\;+\;{\frac {\omega ^{4}D^{4}}{64g^{2}}}}{2}}\;-\;\left(z_{0}^{2}\;+\;{\frac {\omega ^{2}D^{2}z_{0}}{8g}}\right)\;-\;{\frac {z_{0}^{2}}{2}}\;+\;z_{0}^{2}\right)$

${\frac {D^{2}}{4}}\;h_{0}\;=\;{\frac {D^{2}}{4}}\;z_{0}\;+\;{\frac {2g}{\omega ^{2}}}\;\left({\frac {\omega ^{4}D^{4}}{128g^{2}}}\right)\;=\;{\frac {D^{2}}{4}}\;z_{0}\;+\;{\frac {\omega ^{2}D^{4}}{64g}}$

$h_{0}\;=\;z_{0}\;\left(1\;+\;{\frac {\omega ^{2}D^{2}}{16g}}\right)\Rightarrow \;\;\;z_{0}\;=\;{\frac {h_{0}}{\left(1\;+\;{\frac {\omega ^{2}D^{2}}{16g}}\right)}}$