Mecânica Newtoniana/Trajetórias e geometria diferencial

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Elementos de geometria diferencial de curvas.[editar | editar código-fonte]

Trajetórias são curvas no espaço tridimensional. Para melhorar nosso arsenal de terminologia e objetos matemáticos à disposição para tratar trajetórias, vamos fazer uma incursão brevíssima sobre os capítulos introdutórios da geometria diferencial. Imagine que, a partir de certa posição inicial deixemos transcorrer um intervalo de tempo infinitesimal dt. Neste intervalo de tempo, a variação no vetor posição será dada por:

A distância percorrida neste pequeno intervalo de tempo será então dada por:

Logo, a distância entre dois pontos separados por uma distância finita na trajetória de um corpo puntual é dada por:

Podemos usar para para parametrizar a trajetória a função com um certo ponto inicial sobre a trajetória. Dessa forma podemos escrever a trajetória da forma:

Vamos definir então o vetor como:

Este vetor aponta sempre na direção tangente à trajetória, e será denominado simplesmente vetor tangente. O vetor tangente tem módulo unitário:

Repare que o vetor varia ao longo da trajetória e é, portanto, um função do tempo. Note que a velocidade é dada por:

e portante é sempre paralela ao vetor tangente. A quantidade:

é a distância percorrida por unidade de tempo sobre a trajetória, comumente denominada nos livros de Física do Ensino Médio de velocidade escalar instantânea. A partir desse resultado podemos escrever então:

Vamos definir neste ponto o que denominaremos vetor de curvatura:

O vetor de curvatura é perpendicular ao vetor tangente, como podemos facilmente deduzir da expressão para o módulo de :

Definimos a função curvatura de uma curva espacial como o módulo do vetor de curvatura . A razão dessa definição é que o inverso da curvatura é exatamente igual ao inverso do raio do círculo osculante à curva no ponto , ou seja, do círculo que melhor aproxima o trecho infinitesimal da curva em torno deste ponto. Escrevendo de forma explícita:

também é denominado raio de curvatura no ponto . O vetor unitário associado a é perpendicular à tangente da trajetória e é denominado vetor normal:

Este vetor é unitário, perpendicular à tangente da curva e aponta sempre na direção do centro do círculo osculante.

Acelerações centrípeta e tangencial.[editar | editar código-fonte]

A expressão para a aceleração pode ser escrita na forma:

A aceleração pode ser, portanto, separada em duas contribuições, a aceleração tangencial:

e a aceleração centrípeta: